Анализ напряженно-деформированного состояния прямоугольной плиты при различных способах опирания краев и произвольном загружении

А. В. Резунов¹, Ю. Н. Лютоева ²

Воронежский государственный технический университет^{1, 2}

Россия, г. Воронеж

1 Канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры строительной механики Тел.:+7(910)7440700, e-mail: rezav1950@rambler.ru 2 Магистрант кафедры строительной механики

Рассматривается расчет прямоугольной плиты по технической теории (тонкая жёсткая плита), основанной на гипотезах Кирхгоффа-Лява. Подобные плиты наиболее широко используются в строительной практике. Для расчета применяется решение М. Леви в одинарных тригонометрических рядах. Выводятся аналитические выражения для искомых величин при всех случаях закрепления краев плиты, для которых возможно использовать решение Леви. Вычисления выполняются с использованием пакета компьютерной математики Mathcad, в среде которого была разработана и зарегистрирована программа для ЭВМ. Полученные результаты сопоставлялись с численным решением тех же задач с помощью ПК Лира. Исследовалась сходимость численного решения к аналитическому решению Леви при уменьшении размеров конечных элементов.

Ключевые слова: прямоугольная плита, прогиб, изгибающий момент, крутящий момент, поперечная сила, Mathcad, МКЭ.

Решение Леви, полученное в конце 19-го века, может быть использовано для расчета плиты, два противоположных края которой шарнирно оперты, а два других могут быть шарнирно оперты, защемлены или свободны [1, 2, 3]. В литературе обычно рассматриваются случаи, когда все края плиты шарнирно оперты либо два противоположных края шарнирно оперты, а два других края защемлены. При этом плита нагружена равномерно распределенной нагрузкой. Соотношения, охватывающие все указанные выше случаи применения решения Леви для расчета на изгиб прямоугольных плит при произвольном загружении, приведены в данной работе.

Рассматривается расчет прямоугольной плиты (рис. 1), у которой два противоположных края OC и AB шарнирно оперты, а каждый из двух других краев OA и BC может быть шарнирно опертым, защемлен или свободен. Нагрузка задается с помощью произвольной функции двух аргументов .

Рис. 1. Прямоугольная плита

_________________________________

© Резунов А. В., Лютоева Ю. Н., 2019

Все параметры напряженно-деформированного состояния плиты полностью определяются через ее прогиб . Функция удовлетворяет уравнению Софи Жермен – Лагранжа

(1)

и на краях ОС и АВ при x = 0 и x = a следующим граничным условиям:

(2)

Здесь – цилиндрическая жёсткость, E – модуль упругости,

ν – коэффициент Пуассона, h – толщина плиты.

Решение задачи (1) – (2) будем искать в виде

(3)

где , – некоторые функции одного аргумента. При этом условия (2) удовлетворяются тождественно. Для определения функций подставим (3) в (1), функцию нагрузки разложим в ряд Фурье по синусам и полученное выражение также подставим в (3). После этого сгруппируем слагаемые при и приравняем их нулю. Получим линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка:

, (4)

где .

Общее решение уравнения (4) можно представить в виде

(5)

где ‑ частное решение уравнения (4), которое возьмем в виде [1]:

. (6)

Произвольные постоянные находятся из условий закрепления границ плиты OA и BC (см. рис. 1). Все возможные варианты закрепления этих границ для использования решения Леви [1-3] исчерпываются шестью случаями, которые рассмотрены ниже.

1. Оба края OA и BC шарнирно оперты.

(7)

Из (7) с учетом (3) найдем

(8)

2. Края OA и BC защемлены.

(9)

Из (9) с учетом (3) получим

(10)

3. Край OA защемлен, BC шарнирно оперт.

(11)

Из (11) с учетом (3) будем иметь

(12)

4. Край OA свободный, BC защемлен.

(13)

Из (13) с учетом (3) найдем

(14)

5. Край OA свободный, BC шарнирно оперт.

(15)

Из (15) с учетом (3) получим

(16)

6. Края OA и BC свободные.

(17)

Из (17) с учетом (3) будем иметь

(18)

Подставляя в (8), (10), (12), (14), (16), (18) выражения (5) и решая полученную систему линейных алгебраических уравнений, найдем значения постоянных (табл. 1). Входящие в полученные выражения производные от функции имеют вид

Из этих соотношений следуют условия

.

Изложенная выше методика расчета прямоугольных плит была реализована в виде программы для ЭВМ [6] с использованием пакета компьютерной математики Mathcad. Программа позволяет по известным геометрическим размерам плиты, значениям упругих постоянных и виду нагрузки найти в заданной точке значения прогиба плиты, изгибающих и крутящего моментов, поперечных сил и построить объёмный график любой из этих величин.

Возможно использование программы в строительной практике, а также в учебном процессе при преподавании таких дисциплин, как "Теория упругости", "Теория расчета пластин и оболочек" и т. д.

В литературе имеется ряд источников [4, 5], содержащих таблицы с результатами расчетов прямоугольных плит. Недостаток использования этих таблиц заключается в том, что в них рассматривается дискретный набор геометрических параметров, некоторое фиксированное значение коэффициента Пуассона и ограниченный набор видов загружения. Для других значений исходных данных приводятся достаточно сложные формулы.

Для расчета реальных объектов в настоящее время широко используются программные комплексы на основе метода конечных элементов. Для применения этих методов необходимо наличие и умение пользоваться достаточно сложным программным обеспечением.

В данной работе приводятся результаты расчетов конкретной плиты методом Леви и с помощью ПК Лира. Использовался прямоугольный конечный элемент №11. Для анализа точности численного решения выполнялось разбиение области решения на конечные элементы разного размера.

Рассмотрим плиту с размерами в плане и высотой из материала со значением коэффициента Пуассона и модуля упругости Значения прогибов и силовых факторов найдем в точке с координатами В табл. 2-4 и на рис. 2-11 (Mathcad) приведены результаты расчетов, соответствующие равномерно распределенной нагрузке .

^{Таблица 1}

Значения произвольных постоянных , , ,

Края OA и BC шарнирно оперты

Края OA и BC жестко защемлены

К 24 рая OA и BC свободные

Край OA жестко защем­лен, BC шарнирно оперт

Окончание табл. 1

Край OA свободный, BC шарнирно оперт

К 25 рай OA – свободный, BC – жестко защемлен

,

Края OA и BC шарнирно оперты ^{Таблица 2}

Прогибы и усилия, полученные в ПК Лира		Прогибы и усилия, полученные в среде Mathcad
Сетка с шагом 0,1 м	Сетка с шагом 0,05 м	Решение М. Леви

Рис. 2. График прогибов w, мм	Рис. 3. График изгибающих моментов , кН
Рис. 4. График крутящих моментов H, кН	Рис. 5. График поперечных сил

Край OA свободный, BC защемлён. ^{Таблица 3}

Прогибы и усилия, полученные в ПК Лира		Прогибы и усилия, полученные в среде Mathcad
Сетка с шагом 0,1 м	Сетка с шагом 0,05 м	Решение М. Леви

Рис. 6. График прогибов w, мм	Рис. 7. График изгибающих моментов , кН
Рис. 8. График крутящих моментов H, кН	Рис. 9. График поперечных сил
Рис. 10. График изгибающих моментов , кН	Рис.11. График поперечных сил

В табл. 4-5 и на рис. 13-24 (Mathcad) приведены результаты расчетов, соответствующие нагрузке (рис. 12).

Рис. 12. Вид нагрузки на плиту

^Край OA защемлен, BC шарнирно оперт ^{Таблица 4}

Прогибы и усилия, полученные в ПК Лира			Прогибы и усилия, полученные в среде Mathcad
Сетка с шагом 0,2 м	Сетка с шагом 0,1 м		Решение М. Леви
Рис. 13. График прогибов w, мм		Рис. 14. График изгибающих моментов ,кН
Рис. 15. График крутящих моментов H, кН		Рис. 16. График поперечных
Рис. 17. График изгибающих моментов , кН		Рис. 18. График поперечных сил ,

Край OA свободен, BC шарнирно оперт ^{Таблица 5}

Прогибы и усилия, полученные в ПК Лира			Прогибы и усилия, полученные в среде Mathcad
Сетка с шагом 0,2 м	Сетка с шагом 0,1 м		Решение М. Леви
Рис. 19. График прогибов w, мм		Рис. 20. График изгибающих моментов ,кН
Рис. 21 - График крутящих моментов H, кН		Рис. 22 - График поперечных
Рис. 23. График изгибающих моментов , кН		Рис. 24. График поперечных сил ,

При выполнении решения методом Леви в выражениях для прогибов и силовых факторов использовалось 7÷9 членов ряда. Если же функция загружения задается гладкой функцией, то с точностью до 1 % можно ограничиться 3÷5 слагаемыми. Ряды для прогибов сходятся очень быстро, для моментов и поперечных сил ‑ медленнее. При числе слагаемых более 9 в Matchad возможна потеря значимости при вычислении гиперболических функций.

Сравнение результатов расчетов, полученных методами Леви и МКЭ, показывает, что с уменьшением размеров конечных элементов численное решение сходится к аналитическому. При размерах КЭ 0,05х0,05 м (общее количество элементов 4256) численное и аналитическое решения рассматриваемой задачи совпадают с точностью до 4 значащих цифр (см. табл. 2, 3). При использовании более редкой сетки 0,1х0,1 м разница между решениями не превосходит 0,5 % (см. табл. 4, 5) и лишь для одного значения составила 3,6 % (см. табл. 5). Заметим, что в ПК Лира задание загружения с помощью функции возможно только в последних платных версиях программы.

Библиографический список

1. Самуль, В. И. Основы теории упругости и пластичности: учеб. пособие для студентов вузов. / В. И. Самуль. – 2-е изд., перераб. – М.: Высш. школа, 1982. – 264 с.

2. Александров, А. В. Основы теории упругости и пластичности: учеб. для строит. спец. вузов / А. В. Александров, В. Д. Потапов. – М.: Высш. школа, 1990. – 400 с.

3. Тимошенко, С. П. Курс теории упругости / С. П. Тимошенко; под ред. Э. И. Григолюка. – Киев: Наукова Думка, 1972. – 507 с.

4. Калманюк, А. С. Расчет пластинок: Справочное пособие / А. С. Калманюк; под ред. И. К. Снитко. – М.: Гос. изд. лит. по стр-ву, арх-ре и строит. мат-ам, 1959. – 212 с.

5. Вайнберг, Д. В. Расчет пластин. / Д. В. Вайнберг, Е. Д. Вайнберг. – 2-е изд., перераб. – Киев: Будiвельник, 1970. – 436 с.

6. Резунов, А. В.,Исследование напряженно-деформированного состояния прямоугольной плиты при произвольном загружении и различных способах опирания краев с использованием решения Леви. – А. В. Резунов, Ю. Н. Куликова. – Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019615169 от 19 апреля 2019 (http://new.fips.ru/publication-web/publications/document?type=doc&tab= PrEVM&id=ED2D0AA5-AFA7-4692-9D8C-A812117868AA).

References

1. Samul V.I. Basics of the Theory of Elasticity and Plasticity: Proc. manual for university students. 2nd ed. revised. M.: Higher School, 1982. 264 p.

2. Aleksandrov A.V., Potapov V.D. Fundamentals of the theory of elasticity and plasticity: Proc. for builds specialist. universities. M.: Higher School, 1990. 400 p.

3. Timoshenko S.P. Course of the theory of elasticity. By ed. Grigolyuk E.I. Kiev: Naukova Dumka, 1972. 507 p.

4. Kalmanyuk A.S. The Calculation of Records: A Reference Manual. By ed. Snitko I.K. M.: State. ed. literature on building, architecture and building materials, 1959. 212 p.

5. Weinberg, D.V., Weinberg, E.D. Calculation of plates. 2nd ed. revised. Kiev: Budivelnik, 1970. 436 p.

6. Rezunov A.V., Kulikova Yu.N. Investigation of the stress-strain state of a rectangular plate with arbitrary loading and various ways of supporting edges using the Levy solution. Cetificate of state registration of computer programs No. 2019615169 dated April 19, 2019 (http://new.fips.ru/publication-web/publications/document?type=doc&tab= PrEVM & id = ED2D0AA5-AFA7-4692-9D8C-A812117868AA).

ANALYSIS OF STRESSED-DEFORMED STATE

RECTANGULAR PLATE WITH DIFFERENT METHODS

 OF THE SURFACING OF THE EDGES AND ARBITRARY LOADING

A. V. Rezunov¹, Yu. N. Lyutoeva²

Voronezh State Technical University^{1, 2}

Russia, Voronezh

1 PhD of Physical and Mathematical Sciences, Assoc. Prof. of the Department of Structural Mechanics Tel.: + 7 (910) 7440700, e-mail: rezav1950@rambler.ru 2 MA Student of the Department of Structural Mechanics

The calculation of a rectangular slab according to the technical theory (thin rigid slab), based on the Kirchhoff-Love hypotheses, is considered in this article. Such plates are most widely used in construction practice. For the calculation, the solution of M. Levi in ​​a single trigonometric series is applied. Analytical expressions for the desired quantities are derived for all cases of fixing the edges of the slab for which it is possible to use the Levy solution. Calculations are performed using the Mathcad computer math package, in the medium of which the computer program was developed and registered. The results obtained were compared with the numerical solution of the same problems with the help of PC Lyra. The convergence of the numerical solution to the Levy analytical solution was investigated with decreasing finite element sizes.

Keywords: rectangular plate, deflection, bending moment, torque, shear force, Mathcad, FEM.

УДК 624.04