9. Геометрический смысл полного
ДИФФЕРЕНЦИАЛА. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
Подобно тому, как дифференциал функции одной переменной является приращением ординаты касательной, полный дифференциал функции двух переменных есть приращение аппликаты касательной плоскости.
Пусть функция имеет в точке частные производные первого порядка.
Определение.
Касательной плоскостью к поверхности
в ее точке
(точке касания) называется плоскость,
содержащая в себе все касательные к
кривым, проведенным на поверхности
через эту точку.
Определение. Нормалью к поверхности называется прямая перпендикулярная касательной плоскости и проходящая через точку касания.
Уравнение
касательной плоскости к поверхности
в точке
имеет вид:
,
тогда из условия перпендикулярности прямой и плоскости, легко получить уравнения нормали:
Если
уравнение поверхности задано неявно
,
то уравнение касательной плоскости имеет вид
,
а
уравнения нормали:
Заметим,
что полное приращение функции
на
касательной
плоскости имеет вид
,
то есть совпадает с полным дифференциалом
функции
.
Пример
9.1. Найти уравнения касательной плоскости
и нормали к поверхности
в точке
.
Решение.
Обозначим через
левую часть уравнения поверхности,
найдем частные производные и их значения
в точке :
Подставляя найденные значения частных производных в уравнения касательной плоскости и нормали, получаем
или
-
уравнение касательной плоскости;
или
-
уравнение нормали.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке М0:
1.1.
,
(2,2,1).
1.2.
,
(1,2,5).
1.3.
(4,3,4).
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
10. Производные сложных функций
Пусть
,
тогда
является сложной
функцией аргументов
Предположим, что функции
-
дифференцируемые функции своих
аргументов. Тогда формулы нахождения
частных производных сложной функции
по
и по
имеют вид:
Пример10.1.
Вычислить частные производные сложной
функции
Решение.
=
=
Пример
10.2.
Найти
,
если
,
,
.
Решение. Имеем
,
,
,
,
,
.
Отсюда получаем
,
.
Если
функция
,
где функции
зависят от одного аргумента
:
то функция
фактически зависит от одной переменной
и можно находить полную производную
:
.
С учетом
того, что
,
а функции
зависят от одного аргумента
,
и
,
получаем формулу для нахождения полной
производной:
.
Задачи для самостоятельной работы
1.
Найти производные
и
функции
,
где
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
2. Найти
сложной функции
,
где
при
.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
,
где
11. Полный дифференциал сложной функции
Пусть . Найдем полный дифференциал сложной функции.
,
но
,
,
поэтому
или
.
Мы показали, что выражения полного дифференциала
функции нескольких переменных (дифференциала первого порядка) сохраняет форму, следовательно, он обладает свойством инвариантности.
Задачи для самостоятельной работы
1. Найти
,
если
:
1.1
1.2.
2. Найти
,
если
3. Выразить
через
и
,
если:
3.1.
3.2.
3.3.
