4. Предел и непрерывность функции

НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Определение. Окрестностью радиуса точки называется совокупность всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству , то есть совокупность точек, лежащих внутри круга радиуса , с центром в точке

Пусть функция определенна в некоторой замкнутой области D плоскости , точка лежит в области D или на ее границе.

Определение. Число называется пределом функции при стремлении точки к точке , если для каждого числа найдется такое число , что для всех точек из окрестности радиуса точки выполняется неравенство

В этом случае принято писать

Заметим, что предел функции двух переменных не должен зависеть от того, по какой линии точка стремится к точке .

Примеры.

1. Найти предел функции = в начале координат.

Решение. Поскольку, 0 £ £ , а ® 0 при

® 0, то = 0.

2. Найти предел функции = в начале координат.

Решение. Найдем предел функции по любой прямой =

= , ¹ 0. = ® 0 при ® 0. Найдем теперь предел этой функции по параболе = .

= = . Следовательно, предела данная функция в точке (0, 0) не имеет.

3.Вычислить предел

Решение. Представим функцию в виде Так как

при , то

Далее, Поэтому искомый предел равен

4. Существует ли предел ?

Решение. Пусть точка стремится к точке по прямой , проходящей через точку . Тогда получим Таким образом, приближаясь к точке по различным прямым, соответствующим разным значениям , получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке не существует.

Определение. Пусть точка принадлежит области определения функции . Функция называется непрерывной в точке , если имеет место равенство причем точка стремится к точке произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Из определения следует, что для непрерывности функции в точке должны быть выполнены следующие условия:

1. функция определена в точке ;

2. существует предел ;

3. предел равен значению функции в точке .

Если в некоторой точке не выполняется хотя бы одно из

условий (1-3), то точка называется точкой разрыва функции .

Приведем еще одно определение непрерывности функции в точке, эквивалентное данному выше:

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если :

1) функция определена в этой точке;

2) бесконечно малым приращениям соответствует бесконечно малое приращение

Определение. Функция, непрерывная в каждой точке

некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Примеры.

1. Исследовать непрерывность функции .

Решение. Найдем полное приращение функции

. Тогда , то есть функция непрерывна.

2. Найти точки разрыва функции .

Решение. Данная функция не определена в тех точках, где

знаменатель дроби равен нулю: , то есть функция не определена на прямой В остальных точках плоскости функция определена и непрерывна. Множество точек разрыва данной функции есть прямая Отметим, что в любой точке , лежащей на прямой и не совпадающей с точкой , существует предел функции Поэтому точки при можно назвать точками устранимого разрыва: если положить , то функция станет непрерывной в точке . В точке имеем

,

то есть - точка неустранимого разрыва данной функции.

Задачи для самостоятельной работы

1. Вычислить пределы:

1.1. 1.2. 1.3. ;

1.4. 1.5.

1.6. 1.7.

1.8.

2. Докажите, что следующие пределы не существуют:

2.1 2.2. 2.3.

3.Найти точки разрыва следующих функций:

3.1. 3.2.

3.3. ; 3.4. 3.5. ;