3. Рпр № 6. Расчет сжатых стоек на устойчивость
3.1. Задания на рпр № 6
3.1.1. Задача №1. Проектный расчет на устойчивость
Для заданной стойки со сферическими
или цилиндрическими шарнирами (табл.
3.1 и рис. 3.1) с заданной формой поперечного
сечения, имеющего оси симметрии (табл.
3.1 и рис. 3.2), требуется из условия
устойчивости подобрать размер поперечного
сечения d. Величину
промежуточной гибкости вычислять по
приближенной формуле
.
Здесь
– предельная гибкость. Принять
коэффициент запаса устойчивости
.
Таблица 3.1
№ варианта |
Схема закрепления (рис. 3.1) |
Форма поперечного сечения (рис. 3.2) |
№ варианта |
Схема закрепления (рис. 3.1) |
Форма поперечного сечения (рис. 3.2) |
1 |
1 |
1 |
18 |
6 |
2 |
2 |
2 |
2 |
19 |
7 |
3 |
3 |
3 |
3 |
20 |
8 |
4 |
4 |
4 |
4 |
21 |
9 |
5 |
5 |
5 |
5 |
22 |
10 |
6 |
6 |
6 |
6 |
23 |
11 |
7 |
7 |
7 |
7 |
24 |
12 |
8 |
8 |
8 |
8 |
25 |
1 |
3 |
9 |
9 |
1 |
26 |
2 |
4 |
10 |
10 |
2 |
27 |
3 |
5 |
11 |
11 |
3 |
28 |
4 |
6 |
12 |
12 |
4 |
29 |
5 |
7 |
13 |
1 |
5 |
30 |
6 |
8 |
14 |
2 |
6 |
31 |
7 |
1 |
15 |
3 |
7 |
32 |
8 |
2 |
16 |
4 |
8 |
33 |
9 |
3 |
17 |
5 |
1 |
34 |
10 |
4 |
148 |
|
|
35 |
11 |
5 |
-
М
еханические
свойстваЕ, МПа
70000
71000
72000
73000
74000
75000
76000
77000
78000
81000
80000
76000
73000
71000
72000
70500
69000
σ0,2, МПа
160
170
160
180
195
175
170
200
165
200
145
165
205
175
170
185
215
σпц, МПа
120
125
110
130
135
130
120
140
110
135
105
120
145
115
130
135
150
Коэффициенты
γ
0,4
0,4
0,5
0,5
0,5
0,4
0,5
0,2
0,3
0,5
0,4
0,5
0,4
0,3
0,3
0,2
0,4
β
0,3
0,5
0,3
0,4
0,4
0,3
0,3
0,3
0,2
0,4
0,2
0,1
0,2
0,2
0,4
0,3
0,2
α
0,8
0,6
0,4
0,3
0,6
0,4
0,7
0,4
0,7
0,6
0,8
0,4
0,7
0,6
0,4
0,3
0,7
Длина l, м
3,0
2,7
2,8
2,9
3,1
3,0
2,6
2,5
2,4
2,9
2,8
2,7
2,8
2,7
2,6
2,8
3,0
Эксплуатационная нагрузка Рэ, кН
55
57
60
56
59
53
72
110
120
60
70
66
58
70
100
90
95
№ варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
149
-
Механические свойства
Е, МПа
68000
72500
75000
69000
75500
73500
74000
72500
72000
74000
76000
75000
74500
78000
74500
73500
72500
69500
σ0,2, МПа
200
180
165
180
190
175
195
190
165
170
180
185
190
195
200
205
220
150
σпц, МПа
145
115
125
135
140
125
130
135
110
115
120
125
130
135
140
145
150
100
Коэффициенты
γ
0,5
0,2
0,3
0,4
0,2
0,4
0,5
0,3
0,4
0,4
0,5
0,4
0,4
0,4
0,4
0,3
0,4
0,3
β
0,1
0,3
0,2
0,1
0,4
0,2
0,1
0,2
0,3
0,1
0,2
0,2
0,5
0,3
0,3
0,2
0,2
0,1
α
0,3
0,9
0,7
0,6
0,2
0,6
0,4
0,7
0,6
0,4
0,3
0,6
0,4
0,8
0,3
0,4
0,6
0,7
Длина l, м
2,9
3,4
3,8
2,8
2,6
3,1
3,2
2,7
2,8
2,5
2,7
2,8
3,1
3,2
3,4
3,3
3,0
3,2
Эксплуатационная нагрузка Рэ, кН
54
62
75
82
95
100
110
82
84
92
94
96
98
102
104
111
98
101
№ варианта
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
150
Рис. 3.1
152
153
3.1.2. Задача №2. Расчет эксплуатационной нагрузки
Для заданной стойки со сферическими или цилиндрическими шарнирами (табл. 3.3), (см. рис. 3.1), с заданной формой и размерами поперечного сечения в виде стандартных стальных профилей (табл. 3.3, табл. 3.4 и рис. 3.3) требуется из условия устойчивости определить критическую и эксплуатационную нагрузки.
Величину промежуточной гибкости
вычислять по приближенной формуле
.
Здесь
- предельная гибкость. Принять коэффициент
запаса устойчивости
.
Таблица 3.3
№ строки |
Схема закрепления (рис. 3.1) |
Размеры и форма поперечного сечения (рис. 3.3) |
|
1 |
1 |
1 |
Швеллеры №18 |
2 |
2 |
2 |
Уголки 80х80х6 |
3 |
3 |
3 |
Уголки 90х90х8 |
4 |
4 |
4 |
Швеллеры №20 |
5 |
5 |
5 |
Уголки 40х40х3 |
6 |
6 |
6 |
Двутавры №16 |
7 |
7 |
7 |
Уголки 36х36х4 |
8 |
8 |
8 |
Уголки 40х40х4 |
9 |
9 |
9 |
Уголки 70х70х5 |
10 |
10 |
1 |
Швеллеры №18 |
11 |
11 |
2 |
Уголки 80х80х6 |
12 |
12 |
3 |
Уголки 90х90х8 |
13 |
1 |
4 |
Швеллеры №20 |
14 |
2 |
5 |
Уголки 40х40х3 |
15 |
3 |
6 |
Двутавры №16 |
16 |
4 |
7 |
Уголки 36х36х4 |
17 |
5 |
8 |
Уголки 40х40х4 |
18 |
6 |
9 |
Уголки 70х70х5 |
19 |
7 |
1 |
Швеллеры №18 |
2
154 |
8 |
2 |
Уголки 80х80х6 |
Продолжение табл. 3.3
№ строки |
Схема закрепления (рис. 3.1) |
Размеры и форма поперечного сечения (рис. 3.3) |
|
21 |
9 |
3 |
Уголки 70х70х5 |
22 |
10 |
4 |
Швеллеры №20 |
23 |
11 |
5 |
Уголки 40х40х3 |
24 |
12 |
6 |
Двутавры №16 |
25 |
1 |
7 |
Уголки 36х36х4 |
26 |
2 |
8 |
Уголки 40х40х4 |
27 |
3 |
9 |
Уголки 70х70х5 |
28 |
4 |
1 |
Швеллеры №18 |
29 |
5 |
2 |
Уголки 80х80х6 |
30 |
6 |
3 |
Уголки 90х90х8 |
31 |
7 |
4 |
Швеллеры №16 |
32 |
8 |
5 |
Уголки 40х40х3 |
33 |
9 |
6 |
Двутавры №16 |
34 |
10 |
7 |
Уголки 36х36х4 |
35 |
11 |
8 |
Уголки 70х70х5 |
155
Таблица 3.4 |
Модуль упругости Е, МПа |
200000 |
210000 |
200000 |
220000 |
220000 |
210000 |
220000 |
230000 |
240000 |
200000 |
220000 |
240000 |
220000 |
240000 |
210000 |
220000 |
240000 |
200000 |
|
Предел текучести σ0,2, МПа |
300 |
290 |
295 |
310 |
280 |
270 |
280 |
290 |
255 |
275 |
285 |
280 |
275 |
285 |
250 |
285 |
305 |
295 |
||
Предел пропорциональности σпц, МПа |
280 |
260 |
270 |
290 |
250 |
245 |
265 |
275 |
230 |
240 |
260 |
255 |
250 |
270 |
230 |
250 |
290 |
270 |
||
Коэффициент α |
0,81 |
0,76 |
0,66 |
0,55 |
0,45 |
0,67 |
0,65 |
0,78 |
0,77 |
0,45 |
0,64 |
0,53 |
0,83 |
0,55 |
0,88 |
0,67 |
0,43 |
0,56 |
||
Длина l, м |
3,4 |
3,0 |
3,6 |
3,4 |
2,9 |
3,3 |
3,0 |
2,8 |
3,3 |
3,8 |
3,9 |
3,7 |
3,5 |
3,2 |
3,1 |
3,3 |
3,0 |
2,9 |
||
№ строки |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
||
Продолжение табл. 3.4 |
Модуль упругости Е, МПа |
210000 |
220000 |
230000 |
210000 |
230000 |
200000 |
190000 |
180000 |
170000 |
180000 |
190000 |
180000 |
240000 |
230000 |
220000 |
210000 |
200000 |
|
|
Предел текучести σ0,2, МПа |
275 |
300 |
285 |
295 |
285 |
275 |
295 |
300 |
285 |
310 |
260 |
260 |
275 |
285 |
275 |
295 |
290 |
|
||
Предел пропорциональности σпц, МПа |
265 |
285 |
255 |
265 |
245 |
255 |
275 |
285 |
270 |
285 |
245 |
230 |
240 |
265 |
250 |
260 |
270 |
|
||
Коэффициент α |
0,74 |
0,57 |
0,38 |
0,48 |
0,78 |
0,38 |
0,60 |
0,73 |
0,83 |
0,56 |
0,61 |
0,59 |
0,63 |
0,59 |
0,68 |
0,57 |
0,63 |
|
||
Длина l, м |
2,8 |
3,8 |
3,7 |
3,6 |
3,5 |
3,4 |
3,3 |
3,2 |
4,0 |
3,9 |
3,8 |
3,6 |
3,5 |
3,3 |
3,6 |
3,8 |
4,4 |
|
||
№ строки |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
|
||
157
156
9
Рис. 3.3
158
3.2. Основные понятия и зависимости. Порядок расчета [1]
Под устойчивостью стержня понимается
его способность сохранять прямолинейную
форму равновесия при приложении сжимающей
силы. Расчет сжатого стержня на
устойчивость заключается в нахождении
критической силы. Критической силой
называют наименьшее значение сжимающего
усилия, при котором исходное состояние
равновесия стержня становится
неустойчивым. При достижении сжимающей
силой критического значения осуществляется
переход стержня к другому состоянию
равновесия (криволинейная форма) или в
режим движения. Отношение критической
силы
к фактической (эксплуатационной) силе
называют коэффициентом запаса устойчивости
.
(3.1)
Критическую силу можно определить,
умножив критическое напряжение на
площадь поперечного сечения стержня
F. При напряжении, меньшем
предела пропорциональности
,
критическое напряжение рассчитывается
по формуле Эйлера
,
(3.2)
где E – модуль упругости
материала;
- гибкость стержня;
-
коэффициент приведения длины, зависящий
от способа закрепления стержня;
-
длина стойки;
-
минимальный радиус инерции сечения; J
– минимальный осевой момент инерции
сечения стойки.
Формула (3.2) применима при гибкости
стержня
большей предельной гибкости
.
Предельная гибкость
.
(3.3)
159
).
В этой области изменения гибкости за
критическое напряжение принимают предел
текучести
(
),
если материал пластичный, или предел
прочности
,
если материал хрупкий.
Для стержней средней гибкости (λ0≤λ<λпр) потеря устойчивости происходит при упруго-пластических деформациях. Критическое напряжение для стержней средней гибкости рассчитывают по формуле Ф.С. Ясинского
,
(3.4)
где a,b –
коэффициенты, зависящие от свойств
материала. Их величину можно определить
по справочнику или рассчитать из условия
прохождения прямой (3.4) через две точки
с координатами(
,
)
и (
,
)
по формулам
;
.
(3.5)
Таким образом, зависимость
от
можно представить в виде
(3.6)
160
,
определяем эксплуатационную нагрузку.
Гибкость стержня зависит от коэффициента приведения длины , то есть от коэффициента, который сравнивает данные условия закрепления с условиями закрепления, принятыми в задаче Эйлера. Для определения коэффициента необходимо решить полную задачу устойчивости, то есть построить решение и удовлетворить всем граничным условиям. Во многих случаях это сделать довольно трудно. Для нахождения предложен приближенный метод, основанный на использовании энергетического критерия устойчивости. Согласно этому критерию критическая сила определяется по следующей зависимости
,
(3.7)
где y(z) – функция, описывающая упругую линию изогнутого стержня.
Необходимо заметить, что, как и формула Эйлера, формула (3.7) справедлива только в пределах действия закона Гука. Для определения формы упругой линии необходимо опять же решить полную задачу устойчивости, то есть проинтегрировать дифференциальное уравнение равновесия. В результате получится решение в виде формулы Эйлера
.
(3.8)
161
.
(3.9)
Переходя к безразмерному параметру
,
перепишем последнее уравнение в виде
.
(3.10)
Здесь
- безразмерная координата.
Поскольку форма упругой линии стержня заранее неизвестна, для нахождения приближенного решения упругую линию потерявшего устойчивость стержня аппроксимируют алгебраическим полиномом
.
(3.11)
Степень n полинома определяется числом заданных граничных условий задачи (числом наложенных связей, ограничивающих изгиб стержня). В безразмерном виде уравнение (3.11) примет вид
.
(3.12)
При определении критического напряжения необходимо вычислить максимальную гибкость стержня, то есть определить плоскость, в которой стержень может потерять устойчивость (изогнется) в первую очередь.
3.2.1. Проектный расчет на устойчивость
162
,
коэффициент запаса устойчивости
,
материал стержня, условия его закрепления,
форма поперечного сечения и длина l.
Так как размеры поперечного сечения
стержня неизвестны, то, следовательно,
неизвестна и гибкость стержня, а значит
неизвестно, по какой зависимости
рассчитывать критическое напряжение
.
В связи с этим расчет размеров поперечного
сечения предлагается выполнять методом
последовательных приближений. В качестве
первого приближения можно принять
,
.
Определяется площадь сечения
/
.
По найденной площади устанавливают
размеры сечения и определяют
,
.
Затем вычисляют
.
Далее принимают
и повторяют счет, определяя
и т.д. Расчет продолжают до тех пор, пока
не будет соблюдено условие
,
(3.13)
где
- заданная точность определения
напряжения.
3.2.2. Расчет эксплуатационной нагрузки
163
поперечного сечения. Затем рассчитывается
минимальный радиус инерции сечения
.
Определяется коэффициент приведения
длины
.
Если нет возможности определить
коэффициент приведения длины точно, то
используется приближенная зависимость
(3.10), основанная на энергетическом
критерии устойчивости. После чего
вычисляют гибкость стержня и, следовательно,
величину критического напряжения
.
Критическая нагрузка
.
Делением критической нагрузки
на коэффициент запаса устойчивости
получаем искомую эксплуатационную
нагрузку
.
3.2.3. Расчет на устойчивость по коэффициенту снижения допускаемого напряжения
Расчет сжатых стоек на устойчивость
может быть выполнен по допускаемому
напряжению на устойчивость
,
которое вычисляется через коэффициент
снижения допускаемого напряжения
.
(3.14)
Коэффициент зависит от материала стойки и ее гибкости. Таблицы значений коэффициента приведены, например, в [1]. Условие устойчивости в этом случае записывается в виде
.
(3.15)
Из условия устойчивости (3.15) можно, в частности, рассчитать допускаемую (эксплуатационную) нагрузку. При выполнении этого вида расчета заданы: условия закрепления стержня и его длина l, а также материал стержня и размеры поперечного сечения. Сначала определяют коэффициент приведения длины, как и в предыдущем случае. Затем по размерам поперечного сечения вычисляют площадь F, минимальный осевой момент инерции и рассчитывают минимальный радиус инерции сечения . Далее вычисляют гибкость стержня. По гибкости стержня и материалу стойки из таблиц [1] устанавливают коэффициент снижения допускаемого напряжения . После этого из условия устойчивости (3.15) определяют эксплуатационную нагрузку .
3.3. Задача. Проектный расчет на устойчивость сжатого стержня
Для заданной стойки со сферическими
или цилиндрическими шарнирами (рис.
3.4), (l=2,1м и α=0,5),
из материала сталь Ст.3, имеющего
;
;
;
с заданной формой поперечного сечения
(рис. 3.5), (β=0,6 и γ=0,7) требуется из
условия устойчивости подобрать размер
поперечного сечения d.
Величину промежуточной гибкости
вычислять по приближенной формуле
.
Эксплуатационная нагрузка
.
Принять коэффициент запаса устойчивости
.
Решение
1. Коэффициент приведения длины определим согласно энергетическому критерию устойчивости (3.10). В качестве аппроксимирующей функции изогнутой оси стойки с числом опор≤3 примем алгебраический полином
,
(3.16)
где показатели степени p,r,s могут принимать значения 0,1,2 в зависимости от числа связей, накладываемых соответствующим закреплением.
В нашем случае (см. рис. 3.4) аппроксимирующая функция имеет вид
164
165
(3.17)
и удовлетворяет граничным условиям:
при z=0: y=0 и y׳ = 0; при z=l/2: y=0; при z=1: y=0.
Раскрывая в (3.17) скобки и введя безразмерную переменную , получим
,
(3.18)
где
- безразмерная координата.
Проводя расчеты, определяем
.
2. Предельную гибкость рассчитываем по формуле (3.3)
.
Находим промежуточную гибкость, ограничивающую потерю устойчивости стержня
.
Рис. 3.4 Рис. 3.5
166
167
;
.
Таким образом, зависимость критического напряжения от гибкости стержня можно представить в виде
(3.19)
График зависимости
,
построенный с использованием (3.19),
представлен на рис. 3.6.
Рис.3.6
4. По заданному значению эксплуатационной нагрузки и коэффициенту запаса устойчивости определяем критическую нагрузку
.
5. Подбираем размеры поперечного сечения стойки. Анализируем, относительно оси при нагружении стержня произойдет потеря устойчивости. Так как условия закрепления во всех направлениях одинаковы, то гибкость будет максимальной для оси, относительно которой осевой момент инерции минимален. В данном примере (см. рис .3.5)
.
Площадь сечения стойки
.
Минимальный радиус инерции сечения стойки
.
Размер d подбираем
методом последовательных приближений.
За первое приближение возьмем
.
Соответствующее критическое напряжение
.
Тогда
Так как
и
отличаются существенно, то делаем
следующее приближение, принимая
168
Так как
,
то критическое напряжение определяем
по формуле Ясинского
Оцениваем отличие критических напряжений
Точность недостаточная. Продолжаем итерационный процесс до тех пор, пока не будет соблюдено условие
Результаты расчета представлены в табл.3.5.
Таблица 3.5
Номер Прибл. |
|
, МПа |
F, см2 |
d, см |
, см |
|
, МПа |
1 |
94,72 |
220 |
6,95 |
2,61 |
0,826 |
81,96 |
- |
2 |
88,34 |
222,92 |
6,86 |
2,60 |
0,823 |
82,26 |
2,92 |
3 |
85,30 |
224,29 |
6,82 |
2,59 |
0,820 |
82,56 |
1,37 |
4 |
83,93 |
224,90 |
6,80 |
2,58 |
0,810 |
83,60 |
0,61 |
5 |
83,77 |
225,00 |
6,80 |
2,58 |
0,810 |
83,60 |
0,10 |
Таким образом, окончательный размер d=2,58 см.
На графике (см. рис. 3.6) для подобранного стержня показываем значения вычисленного критического и действительного напряжений
3.4. Задача. Расчет эксплуатационной нагрузки для сжатого стержня
169
.
Форма и размеры поперечного сечения
заданы в виде двух стандартных равнобоких
уголков 40х40х3 (рис. 3.3). Требуется из
условия устойчивости определить
эксплуатационную нагрузку. Величину
средней гибкости вычислять по приближенной
формуле
.
Принять коэффициент запаса устойчивости
.
Решение
Для решения данной задачи необходимо сначала выполнить первые три пункта предыдущей задачи №1 (см. п. 3.3)
1. Коэффициент приведения длины .
2. Предельная гибкость
.
Промежуточная гибкость
.
3. Параметры линейной зависимости Ясинского a=262,846МПа, b=0,452МПа.
Вычисления приведены в предыдущей задаче.
z
P
yс
40×40×3
y x
xC
xс C
z0
y
b
Рис. 3.7 Рис. 3.8
170
Таким образом, зависимость критического напряжения от гибкости стержня представляется в виде (3.19).
График зависимости , построенный с использованием (3.19), представлен на рис. 3.6.
4. Для вычисления эксплуатационной нагрузки определим минимальную гибкость рассматриваемого стержня. Выясним, относительно какой из осей поперечного сечения произойдет потеря устойчивости. Так как условия закрепления во всех направлениях одинаковы, то гибкость будет максимальной относительно той оси, относительно которой осевой момент инерции минимален. Вычислим главные центральные моменты инерции сечения (см. рис. 3.8). Согласно сортаменту проката (ГОСТ 8509-72) для одного уголка №4 (40х40х3 мм):
F=2,35 см2; b=40 мм; Jy=Jx=3,55 см4; zс=1,09 см. Для составного сечения из двух уголков
Сопоставляя моменты инерции, устанавливаем,
что минимальный момент инерции
Тогда минимальная гибкость стержня
По гибкости стержня и зависимости (3.19) вычисляем критическое напряжение
Потеря устойчивости стойки происходит при упруго-пластических деформациях. Критическая нагрузка
Эксплуатационная нагрузка определяется по формуле
171
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данное учебное пособие содержит сведения о методах расчетов на прочность, жесткость и устойчивость стержней и стержневых систем. В пособии представлены задания на расчетно-проектировочные работы и приведены конкретные примеры выполнения проектных и проверочных расчетов, а также расчетов допускаемой нагрузки.
Последовательное изложение материала пособия, от теоретических основ рассматриваемого раздела до решения конкретных задач, будет способствовать лучшему усвоению студентами дисциплины «Сопротивление материалов». Наглядная реализация способов и алгоритмов решения рассматриваемых задач, связанных с оценкой прочности, жесткости и устойчивости стержневых систем, позволяет применить эти методы к решению задач любой сложности.
Представленное учебное пособие восполняет имеющиеся в технической литературе пробелы по решению задач, связанных с применением метода сил. Оно будет полезно студентам всех форм обучения, изучающим курс «Сопротивление материалов» в полном объеме, при их работе над домашними заданиями и самостоятельном изучении дисциплины.
Авторы будут признательны за любые критические замечания, которые помогут улучшить качество настоящего издания.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: изд. МГТУ, 1999. 591 с.
2. Сборник задач по сопротивлению материалов /Под ред. А.С.Вольмира. М.: Наука, 1984. 408 с.
3. Миролюбов И.Н. и др. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов. М.: Высш. шк., 1985. 392 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение…................................................................................….3