1.2. Основные понятия и зависимости [1]

При прямом изгибе балки ее ось, искривляясь, остается в силовой плоскости. Изогнутая ось балки, представляющая собой геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформированной балки, называется упругой линией. Деформация балки в плоскости yz характеризуется двумя перемещениями (рис. 1.3):

Рис. 1.3

1) прогибом (y) – линейным перемещением точек оси балки по нормали к ее первоначально прямой оси;

2) углом поворота сечения (Θ) – углом, на который поворачивается поперечное сечение балки относительно его первоначального положения (поперечное сечение остается плоским и перпендикулярным изогнутой оси балки).

1.2.1. Определение перемещений методом Мора. Порядок расчета

97

Метод Мора представляет собой универсальный метод определения линейных и угловых перемещений в любых плоских и пространственных системах. Для того чтобы определить методом Мора перемещение (прогиб или угол поворота) в некотором сечении бруса, необходимо:

1) рассмотреть «грузовое» состояние (“Р”), представляющее брус под действием заданных нагрузок;

2) рассмотреть «единичное» состояние (“i”), представляющее тот же брус, освобожденный от заданных нагрузок и нагруженный единичным силовым фактором (единичной силой, когда определяется прогиб, или единичным моментом, когда определяется угол поворота), приложенным в сечении, перемещение которого определяется, в направлении искомого перемещения;

3) «грузовое» и «единичное» состояния разбить на одинаковые участки;

4) на каждом k - м участке записать аналитические выражения изгибающих моментов, соответствующих «грузовому» состоянию и «единичному» состоянию ;

5) определить искомое перемещение, как сумму интегралов Мора по участкам бруса

(1.1)

где m – число участков; k – номер участка; – длина участка; – изгибная жесткость участка.

Если > 0, то направление искомого перемещения совпадает с направлением единичного силового фактора, если < 0, то противоположно ему.

1.2.2. Определение перемещений способом Верещагина.

Порядок расчета

98

11

Если брус состоит из прямолинейных участков с постоянной в пределах каждого из них жесткостью, то интегралы Мора можно вычислять по способу Верещагина.

Определение способом Верещагина перемещения (прогиба или угла поворота) некоторого сечения бруса ведут в следующей последовательности:

1) строят независимо друг от друга эпюру изгибающих моментов для «грузового» состояния и эпюру изгибающих моментов для «единичного» состояния, соответствующего искомому перемещению;

2) обе эти эпюры разбивают на одинаковые участки, в пределах каждого из которых эпюра изгибающих моментов «единичного» состояния является регулярной функцией (непрерывной и не имеющей точек излома), а изгибная жесткость бруса постоянна;

3) эпюру изгибающих моментов «грузового» состояния разбивают на простые фигуры (прямоугольники, треугольники и т.п.), для каждой из которых определяют площадь и положение ее центра тяжести. Значения площадей и положения их центров тяжести для некоторых простейших фигур приведены в табл. 1.3;

4) под центром тяжести каждой площади ω_k определяют ординату M_ki на эпюре изгибающих моментов “единичного” состояния;

5) искомое перемещение определяется как алгебраическая сумма

(1.2)

г

99

100

де k – номер площади; m – число простейших фигур, на которые разбита эпюра изгибающих моментов “грузового” состояния. Произведение ω_kM_ki считается положительным, если часть эпюры изгибающих моментов “грузового” состояния, имеющая площадь ω_k, и соответствующая ей ордината M_ki расположены по одну сторону от нулевой линии.

Положительное значение перемещения δ_i получается в случае, если его направление совпадает с направлением единичного силового фактора (единичной силы или момента).

Таблица 1.3

Эпюра	Зависимость	Площадь	Координата центра тяжести

13

Заметим, что если интенсивность q распределённой нагрузки, действующей на брус, постоянна или распределённая нагрузка отсутствует, то эпюру M_xp “грузового” состояния всегда можно разбить на площади, представленные в табл. 1.3. Для доказательства рассмотрим, например, балку, изображённую на рис. 1.4, а, эпюра изгибающих моментов которой представлена на рис. 1.4, б. Тогда выражение для изгибающего момента M_xp можно записать в виде

где (площадь – прямоугольник, см. рис. 1.4, в); (площадь – прямоугольный треугольник, см. рис. 1.4, г); (площадь – симметричный параболический сегмент, см. рис. 1.4, д).

При этом высота h параболического сегмента (см. табл. 1.3.) в случае равномерно распределённой нагрузки интенсивностью q всегда равна . Таким образом, площадь ω эпюры изгибающего момента M_xp равна (площадь параболического сегмента отрицательна, если распределённая нагрузка направлена вверх, см. рис.1.4, д, и положительна, если распределённая нагрузка направлена вниз).