Дополнение. Распределение
(Хи-квадрат с n степенями свободы)
Пусть
X1,
Х2,…,Хn-
независимые СВ, каждая из которых имеет
стандартное нормальное распределение
Хi
N(0,1).
-распределением
называется распределение CВ
.
Плотность распределения имеет вид
.
Математическое
ожидание и дисперсия определяются
формулами:
.
Индивидуальное домашнее задание
Хронометраж затрат времени на сборку узла машин у n слесарей дал следующее распределение (мин.)
а) Записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда. Найти размах варьирования и разбить его на 5 интервалов. Построить гистограмму относительных частот.
б)
Найти числовые характеристики выборки
и
,
где
-
середины интервалов (
);
в)
Определить доверительные интервалы
для неизвестных математического ожидания
и среднего квадратического отклонения
,
отвечающие заданной доверительной
вероятности
,
в предположении, что выборка взята из
нормальной генеральной совокупности;
1. Доверительный интервал для математического ожидания в случае нормального распределения
,
где n-
объем выборки,
-
выборочное среднее,
-
исправленное среднее квадратическое
отклонение выборки,
-
доверительная вероятность, значение
параметра
определяется из таблицы приложений по
заданному уровню значимости
при числе степеней свободы
2.
Доверительный интервал для среднего
квадратического отклонения
с заданной надежностью
при
и
при
,
где
-
исправленное среднее квадратическое
отклонение, параметр
находим
из таблицы приложений.
г)
Проверить гипотезу о нормальном законе
распределения генеральной совокупности
по критерию
при уровне значимости
Вычислить наблюдаемое значение критерия Пирсона
,
где
.
-
функция Лапласа, значения в таблице
приложений . Для первого интервала левый
конец устремляем в
,
для последнего интервала правый конец
стремится к
По
таблице (приложений) критических точек
распределения
,
уровню значимости
и числу степеней свободы
,
(
-число
интервалов) находим
.
Если
,
то гипотеза
о нормальном распределении генеральной
совокупности принимается, если
,
то гипотеза отвергается.
№ вар. |
Выборка |
||||||||||||||||
1 |
17 |
15 |
23 |
16 |
19 |
19 |
13 |
14 |
11 |
18 |
16 |
18 |
15 |
19 |
16 |
15 |
12 |
18 |
19 |
10 |
8 |
19 |
16 |
12 |
12 |
17 |
17 |
11 |
16 |
18 |
22 |
14 |
18 |
10 |
|
17 |
15 |
16 |
20 |
16 |
18 |
14 |
12 |
11 |
3 |
6 |
20 |
14 |
13 |
17 |
9 |
11 |
|
2 |
16 |
15 |
13 |
12 |
16 |
12 |
16 |
15 |
13 |
15 |
8 |
11 |
10 |
16 |
13 |
20 |
12 |
14 |
7 |
5 |
16 |
9 |
13 |
9 |
8 |
14 |
13 |
14 |
15 |
19 |
11 |
14 |
15 |
13 |
|
12 |
13 |
17 |
15 |
11 |
8 |
9 |
3 |
5 |
17 |
11 |
10 |
14 |
6 |
9 |
7 |
8 |
|
3 |
15 |
7 |
13 |
12 |
7 |
16 |
21 |
17 |
12 |
14 |
10 |
14 |
17 |
10 |
9 |
10 |
1 |
1 |
12 |
2 |
15 |
4 |
9 |
15 |
18 |
16 |
9 |
12 |
14 |
11 |
14 |
16 |
16 |
15 |
|
17 |
20 |
7 |
13 |
12 |
10 |
14 |
15 |
8 |
14 |
15 |
13 |
16 |
13 |
17 |
18 |
|
|
4 |
14 |
13 |
10 |
11 |
4 |
9 |
12 |
9 |
11 |
1 |
5 |
11 |
14 |
5 |
12 |
8 |
10 |
7 |
12 |
11 |
12 |
13 |
6 |
5 |
2 |
1 |
8 |
1 |
8 |
10 |
7 |
10 |
12 |
12 |
|
11 |
13 |
16 |
3 |
13 |
8 |
6 |
11 |
5 |
14 |
12 |
8 |
10 |
10 |
12 |
11 |
12 |
|
5 |
17 |
19 |
25 |
12 |
10 |
21 |
18 |
21 |
15 |
16 |
20 |
13 |
20 |
18 |
21 |
17 |
20 |
18 |
17 |
20 |
21 |
18 |
14 |
19 |
14 |
19 |
13 |
18 |
20 |
24 |
16 |
20 |
19 |
17 |
|
22 |
18 |
20 |
18 |
16 |
14 |
13 |
5 |
22 |
18 |
15 |
19 |
14 |
11 |
12 |
10 |
15 |
|
6 |
14 |
16 |
9 |
22 |
15 |
13 |
7 |
12 |
13 |
10 |
17 |
15 |
17 |
18 |
14 |
15 |
18 |
17 |
18 |
15 |
11 |
16 |
11 |
5 |
16 |
10 |
15 |
17 |
21 |
13 |
17 |
16 |
14 |
14 |
|
15 |
17 |
13 |
11 |
10 |
2 |
19 |
18 |
13 |
12 |
16 |
8 |
11 |
13 |
18 |
15 |
19 |
|
7 |
18 |
11 |
17 |
16 |
24 |
17 |
20 |
14 |
15 |
15 |
12 |
19 |
17 |
19 |
20 |
16 |
20 |
16 |
19 |
20 |
11 |
9 |
17 |
13 |
20 |
2 |
18 |
3 |
18 |
12 |
17 |
19 |
23 |
15 |
|
16 |
17 |
17 |
21 |
16 |
19 |
15 |
13 |
12 |
4 |
7 |
15 |
21 |
11 |
13 |
9 |
17 |
|
8 |
20 |
18 |
16 |
17 |
20 |
15 |
19 |
18 |
17 |
19 |
12 |
15 |
14 |
19 |
16 |
22 |
14 |
18 |
17 |
9 |
8 |
17 |
12 |
13 |
18 |
17 |
11 |
16 |
18 |
23 |
15 |
19 |
17 |
15 |
|
16 |
17 |
21 |
11 |
12 |
10 |
18 |
14 |
15 |
20 |
4 |
16 |
18 |
15 |
13 |
12 |
7 |
|
14 |
13 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
15 |
17 |
24 |
17 |
19 |
14 |
11 |
9 |
20 |
19 |
15 |
16 |
20 |
15 |
19 |
17 |
15 |
17 |
11 |
10 |
8 |
19 |
16 |
13 |
12 |
17 |
17 |
10 |
15 |
17 |
21 |
14 |
17 |
18 |
|
9 |
16 |
21 |
16 |
19 |
12 |
15 |
12 |
11 |
4 |
5 |
19 |
14 |
13 |
18 |
10 |
12 |
|
16 |
16 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
15 |
16 |
11 |
9 |
11 |
10 |
14 |
10 |
11 |
17 |
5 |
17 |
13 |
16 |
11 |
18 |
12 |
13 |
19 |
23 |
15 |
19 |
18 |
14 |
17 |
16 |
18 |
14 |
16 |
11 |
9 |
8 |
15 |
12 |
|
15 |
20 |
14 |
18 |
15 |
17 |
8 |
14 |
16 |
7 |
20 |
13 |
16 |
9 |
16 |
9 |
13 |
|
11 |
14 |
17 |
6 |
16 |
20 |
14 |
17 |
11 |
16 |
21 |
9 |
16 |
12 |
8 |
1 |
8 |
14 |
16 |
10 |
15 |
17 |
16 |
8 |
24 |
17 |
20 |
2 |
18 |
4 |
4 |
7 |
12 |
13 |
8 |
|
7 |
11 |
19 |
13 |
12 |
17 |
19 |
20 |
7 |
17 |
2 |
10 |
12 |
15 |
19 |
28 |
20 |
|
12 |
23 |
19 |
16 |
9 |
14 |
13 |
8 |
13 |
15 |
9 |
8 |
11 |
10 |
11 |
13 |
6 |
18 |
13 |
21 |
9 |
5 |
22 |
11 |
7 |
16 |
19 |
13 |
17 |
20 |
8 |
11 |
19 |
14 |
16 |
|
11 |
14 |
18 |
7 |
8 |
18 |
21 |
8 |
16 |
15 |
19 |
15 |
18 |
10 |
15 |
13 |
17 |
|
15 |
19 |
25 |
5 |
12 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
20 |
21 |
17 |
19 |
23 |
15 |
12 |
21 |
11 |
16 |
11 |
12 |
21 |
17 |
9 |
15 |
13 |
15 |
23 |
7 |
13 |
15 |
12 |
7 |
10 |
16 |
17 |
12 |
14 |
10 |
14 |
17 |
10 |
10 |
|
12 |
2 |
1 |
15 |
4 |
15 |
9 |
16 |
18 |
9 |
12 |
14 |
16 |
16 |
10 |
9 |
17 |
|
14 |
16 |
13 |
18 |
13 |
12 |
15 |
9 |
14 |
11 |
18 |
16 |
6 |
7 |
5 |
16 |
13 |
10 |
14 |
14 |
21 |
13 |
14 |
16 |
17 |
8 |
12 |
2 |
13 |
6 |
16 |
17 |
8 |
11 |
13 |
|
16 |
20 |
9 |
8 |
15 |
9 |
12 |
10 |
1 |
11 |
12 |
16 |
10 |
11 |
15 |
7 |
13 |
|
11 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
17 |
26 |
18 |
37 |
12 |
34 |
30 |
27 |
12 |
28 |
14 |
17 |
25 |
32 |
23 |
28 |
30 |
17 |
21 |
19 |
28 |
22 |
27 |
29 |
30 |
32 |
21 |
26 |
29 |
30 |
29 |
21 |
26 |
29 |
|
23 |
27 |
30 |
18 |
21 |
29 |
24 |
26 |
21 |
15 |
24 |
22 |
18 |
28 |
31 |
18 |
26 |
|
16 |
9 |
12 |
26 |
24 |
27 |
16 |
20 |
17 |
15 |
23 |
19 |
20 |
17 |
22 |
18 |
18 |
23 |
23 |
24 |
27 |
22 |
28 |
20 |
24 |
23 |
21 |
21 |
22 |
26 |
22 |
24 |
20 |
18 |
17 |
|
21 |
16 |
23 |
14 |
29 |
22 |
25 |
19 |
17 |
20 |
21 |
24 |
22 |
24 |
25 |
21 |
21 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
25 |
14 |
14 |
17 |
16 |
24 |
23 |
20 |
19 |
20 |
17 |
18 |
23 |
21 |
9 |
11 |
13 |
26 |
25 |
14 |
14 |
17 |
16 |
24 |
23 |
20 |
19 |
20 |
20 |
13 |
23 |
21 |
9 |
11 |
|
23 |
26 |
24 |
22 |
17 |
18 |
22 |
23 |
21 |
16 |
23 |
28 |
18 |
24 |
21 |
19 |
20 |
|
18 |
7 |
10 |
5 |
1 |
6 |
14 |
13 |
11 |
10 |
11 |
5 |
12 |
10 |
14 |
8 |
13 |
6 |
11 |
8 |
12 |
3 |
10 |
11 |
9 |
6 |
4 |
5 |
5 |
6 |
0 |
14 |
13 |
17 |
11 |
|
11 |
9 |
17 |
12 |
11 |
13 |
6 |
4 |
3 |
10 |
2 |
7 |
6 |
18 |
9 |
7 |
12 |
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
10 |
8 |
2 |
8 |
7 |
10 |
1 |
13 |
9 |
7 |
6 |
4 |
16 |
2 |
1 |
6 |
11 |
9 |
17 |
10 |
11 |
13 |
11 |
5 |
4 |
0 |
8 |
12 |
10 |
11 |
13 |
4 |
12 |
5 |
|
10 |
13 |
12 |
9 |
14 |
9 |
10 |
4 |
10 |
0 |
10 |
5 |
4 |
11 |
1 |
9 |
6 |
|
5 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
12 |
9 |
15 |
4 |
8 |
6 |
6 |
9 |
13 |
2 |
3 |
6 |
8 |
4 |
1 |
5 |
4 |
8 |
1 |
13 |
8 |
11 |
4 |
9 |
7 |
9 |
1 |
7 |
4 |
13 |
7 |
9 |
2 |
7 |
|
10 |
1 |
4 |
8 |
6 |
4 |
2 |
1 |
2 |
11 |
7 |
4 |
7 |
7 |
7 |
1 |
10 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
7 |
13 |
5 |
5 |
9 |
4 |
12 |
6 |
8 |
5 |
0 |
6 |
8 |
0 |
2 |
4 |
2 |
4 |
7 |
1 |
7 |
6 |
8 |
3 |
4 |
8 |
9 |
5 |
9 |
2 |
4 |
2 |
9 |
2 |
|
10 |
3 |
7 |
6 |
7 |
3 |
6 |
1 |
10 |
6 |
7 |
9 |
6 |
5 |
9 |
1 |
7 |
|
9 |
2 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
14 |
17 |
6 |
16 |
20 |
14 |
17 |
11 |
16 |
21 |
9 |
16 |
12 |
8 |
1 |
8 |
14 |
16 |
10 |
15 |
17 |
16 |
8 |
24 |
17 |
20 |
2 |
18 |
4 |
4 |
7 |
12 |
13 |
8 |
|
7 |
11 |
19 |
13 |
12 |
17 |
19 |
20 |
7 |
17 |
2 |
10 |
12 |
15 |
19 |
28 |
20 |
|
23 |
1 |
0 |
7 |
5 |
2 |
0 |
1 |
8 |
5 |
0 |
1 |
0 |
8 |
7 |
8 |
0 |
2 |
9 |
0 |
6 |
0 |
8 |
3 |
9 |
1 |
–5 |
6 |
3 |
5 |
2 |
0 |
7 |
27 |
4 |
|
9 |
4 |
1 |
8 |
6 |
4 |
3 |
2 |
4 |
9 |
2 |
–2 |
8 |
0 |
7 |
–1 |
|
|
24 |
9 |
5 |
7 |
6 |
7 |
6 |
4 |
1 |
4 |
0 |
5 |
6 |
3 |
6 |
–3 |
8 |
6 |
1 |
2 |
1 |
4 |
0 |
5 |
12 |
6 |
1 |
2 |
1 |
11 |
7 |
–2 |
–4 |
7 |
5 |
|
0 |
5 |
4 |
7 |
9 |
6 |
7 |
8 |
6 |
3 |
6 |
–1 |
3 |
4 |
10 |
8 |
0 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
5 |
8 |
4 |
7 |
9 |
2 |
13 |
–2 |
9 |
6 |
3 |
8 |
1 |
6 |
9 |
8 |
5 |
2 |
7 |
2 |
7 |
1 |
6 |
8 |
0 |
8 |
7 |
9 |
4 |
1 |
8 |
7 |
5 |
6 |
|
6 |
-1 |
2 |
0 |
3 |
6 |
1 |
12 |
4 |
7 |
5 |
10 |
8 |
12 |
1 |
10 |
–4 |
|
–4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
1 |
8 |
1 |
–1 |
6 |
7 |
3 |
10 |
6 |
10 |
8 |
7 |
5 |
2 |
9 |
7 |
3 |
1 |
9 |
10 |
5 |
9 |
7 |
6 |
4 |
7 |
10 |
7 |
4 |
8 |
8 |
5 |
6 |
2 |
|
7 |
9 |
1 |
3 |
7 |
6 |
10 |
7 |
6 |
8 |
5 |
4 |
–1 |
3 |
-3 |
2 |
7 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
5 |
4 |
8 |
6 |
-1 |
1 |
5 |
3 |
12 |
5 |
5 |
5 |
2 |
2 |
11 |
0 |
7 |
4 |
5 |
8 |
8 |
1 |
6 |
1 |
3 |
1 |
8 |
0 |
9 |
3 |
6 |
1 |
3 |
5 |
|
3 |
4 |
6 |
4 |
9 |
5 |
4 |
1 |
0 |
6 |
9 |
3 |
2 |
3 |
–1 |
7 |
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
15 |
16 |
11 |
9 |
11 |
10 |
14 |
10 |
11 |
17 |
5 |
17 |
13 |
16 |
11 |
18 |
12 |
13 |
19 |
23 |
15 |
19 |
18 |
14 |
17 |
16 |
18 |
14 |
16 |
11 |
9 |
8 |
15 |
12 |
|
15 |
20 |
14 |
18 |
15 |
17 |
8 |
14 |
16 |
7 |
20 |
13 |
16 |
9 |
16 |
9 |
13 |
|
29 |
4 |
9 |
5 |
6 |
8 |
6 |
4 |
5 |
7 |
–3 |
5 |
6 |
3 |
8 |
4 |
6 |
0 |
6 |
1 |
1 |
7 |
–1 |
0 |
1 |
–2 |
–1 |
6 |
1 |
6 |
10 |
5 |
1 |
10 |
2 |
|
4 |
3 |
5 |
13 |
1 |
3 |
5 |
4 |
-1 |
8 |
7 |
6 |
3 |
2 |
6 |
0 |
8 |
|
4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
9 |
1 |
5 |
0 |
5 |
3 |
7 |
2 |
4 |
8 |
2 |
2 |
4 |
1 |
9 |
2 |
5 |
7 |
2 |
7 |
1 |
2 |
7 |
5 |
6 |
0 |
9 |
1 |
8 |
1 |
9 |
8 |
3 |
9 |
|
7 |
5 |
6 |
4 |
7 |
2 |
6 |
8 |
7 |
8 |
3 |
1 |
7 |
4 |
3 |
9 |
2 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|