Глава 1. Аналитический обзор методов и алгоритмов технической диагностики энергетических систем

1.1. Состав, содержательная сущность и методы решения

Задач технической диагностики систем газоснабжения

Известно [57], что любые транспортные энергетические системы топливно-энергетического комплекса, в том числе и городские распределительные ГС, относятся к категории сложных систем, поэтому управление их функционированием является прерогативой кибернетических методов, основа которых – математическое моделирование посредством обработки экспериментальных данных, поступающих от контрольно-измерительных приборов, установленных на объекте.

В состав управления, с позиций кибернетических методов, входят четыре взаимосвязанные проблемы [137, 138]: 1) определение цели; 2) определение положения системы относительно цели; 3) определение внешних факторов, влияющих на прошлое, настоящее и будущее системы, с последующим построением модели системы; 4) определение тактики и стратегии управления в соответствии с целью, текущим состоянием, внешними воздействиями и моделью системы. Часто политика управления при решении проблемы 4 определяется оптимальным образом, и тогда эта задача становится предметом оптимального управления.

Методы технической диагностики, разработка которых является целью настоящей работы, направлены на решение второй и третьей проблем управления. Смысл любой задачи в рамках этих проблем иллюстрируется с помощью рис.1.1. По показаниям контрольно-измерительных приборов наблюдается вектор z(t), искаженный шумом вариант вектора состояния системы x(t), известное входное воздействие u(t) и внешнее возмущение w(t).

Наблюдаемый

вектор

состояния

Известное

воздействие

на систему

Рис. 1.1. Общая схема технической диагностики ГС

В этой модели наблюдений p(t) - неизвестные параметры системы, а v(t) - вектор ошибок измерений. Решение задачи должно включать определение (оценку) параметров p(t), дисперсии входного шума и ошибок измерений. В отличие от задач проектирования, техническая диагностика является непрерывным процессом, выполняемым в реальном масштабе времени, чтобы обеспечить оптимальное управление, то есть адаптацию ГС к изменениям внешних воздействий.

Существующие методы диагностики состояния можно классифицировать на две основные группы [137, 160]: классические методы; методы, основанные на обеспечении экстремальности функций штрафа.

Классические методы пока не нашли применения для ГС, поскольку диагностика в этом случае заключается в нахождении отклика (передаточной функции) системы на синусоидальный сигнал, то есть предназначены для различных радиотехнических систем.

Для методов второй группы не требуется выполнения активного эксперимента над системой, то есть исключается какое-либо входное воздействие и диагностика осуществляется лишь по результатам пассивного эксперимента, а применительно к ГС - на основе манометрической съемки. Разумеется, выбор конкретного метода диктуется, прежде всего, сущностью решаемой задачи. К диагностике технического состояния в настоящее время принято относить два типа задач определения неизвестных показателей функционирующих систем [17]: статическое и динамическое оценивание быстро меняющихся параметров и идентификацию медленно меняющихся (в частном случае постоянных) характеристик элементов системы или ее конфигурации.

Проблема идентификации достаточно давно находится в поле зрения исследователей в области диагностики, и программные комплексы для ее решения получили название "математических расходомеров" [54, 55, 56]. Что касается оценивания быстро меняющихся параметров, то в настоящее время для трубопроводных систем пока не установлены эффективные средства ее решения и именно эта задача и методы ее решения составляют предмет исследований данной работы.

Рассмотрим содержательную сущность задач статического и динамического оценивания [20, 50], методы их решения и возникающие при этом проблемы по материалам известных на сегодняшний день исследований. Следует отметить, что большинство рассматриваемых результатов имеют отношение к электроэнергетическим системам, но это не снижает их ценности в силу глубокой аналогии с ГС. Содержательная сущность задачи оценивания в инженерном смысле заключается в обеспечении надежной и качественной информации обо всех параметрах состояния функционирующей системы, являющейся объектом управления. Очевидно, что возложить эту задачу только на контрольно-измерительное оборудование невозможно, поэтому для сложных систем неизбежно привлечение для решения этой задачи методов математического моделирования.

Традиционно [17] задачи оценивания классифицируется исходя из подходов к получению исходных данных. Если в обработку включаются данные замеров, относящиеся к одному и тому же моменту времени (если не учитывать конечность времени опроса датчиков), то такой подход считается статическим. Иногда этот подход называется моментальным “снимком системы” [161]. При обработке данных, относящихся к различным моментам времени, которые могут соответствовать всему периоду наблюдения за объектом управления, оценивание считается динамическим. Динамический подход придает оцениванию большую устойчивость к сбоям или помехам, работоспособность в условиях дефицита измерений, способность к адаптации и т.д. [17], что позволяет применить его не только к непосредственному решению задач оценивания, но и к идентификации медленно меняющихся параметров математической модели объекта, а также к построению адаптивных моделей случайных процессов. Перечисленные преимущества компенсируются сложностью реализации динамического подхода, поэтому на практике имеет место тенденция к его сочетанию со статическим оцениванием.

Математическая формулировка задачи статического оценивания заключается в следующем [17]. Будем понимать под параметрами режима функционирования быстро изменяющуюся информацию о состоянии ГС. К ней относятся значения: узловых потенциалов (H_j), отборов или притоков (g_j), расходов транспортируемой среды на участках сети (Q_i). Совокупность этих величин обозначим вектором . Остальная информация, касающаяся характеристик элементов ГС (сопротивления и проводимости участков сети, характеристики регуляторов и т.д.), меняется относительно медленно, и ее будем обозначать компонентами вектора .

Связь между параметрами режима и характеристиками элементов выражается в виде системы уравнений, которая образует математическую модель процессов, протекающих в ГС. В векторной форме эту модель будем представлять в виде

(1.1)

Конкретная форма уравнений (1.1) рассматривается в работах [40, 63], причем количество уравнений в модели определяется подходом к ее формированию. Вопрос о преимуществах того или иного подхода до сих пор считается дискуссионным, однако он выходит за рамки настоящей работы, поскольку вне зависимости от конфигурации модели решение оказывается единственным [22], а все преимущества и недостатки носят сугубо вычислительный характер.

Особенностью любой математической модели в форме (1.1) является превышение числа параметров режима над числом уравнений в ее составе. Это превышение принято считать [17] числом степеней свободы системы, и их совокупность будем обозначать вектором . Для однозначного определения параметров установившегося режима необходимо зафиксировать значения степеней свободы (в работах [31, 32, 45] эта процедура трактуется как формирование граничных условий). После фиксации степеней свободы остальные параметры режима принято относить к зависимым, и их совокупность будем обозначать компонентами вектора . Заметим, что между компонентами вектора зависимых и независимых переменных существует неявная взаимосвязь, определяемая формой математической модели (1.1).

Фиксируемая информация о текущем состоянии ГС может быть достаточно разнообразной, включая отборы потребителями, притоки через источники питания, узловые потенциалы (давления), расходы среды на участках, температуры и т.д. Разумеется, объем этой информации и ее погрешность непосредственно влияют на достоверность результатов решения задачи оценивания. С другой стороны, важнейшим показателем качества такой информации является одновременность ее замеров. Поэтому для непосредственного использования пригодны лишь данные, получаемые через средства телеизмерений, позволяющих, хотя и условно, формировать моментальный снимок параметров с функционирующей системы. Наконец, приходится учитывать и специфику измерения самих параметров с точки зрения технологии установки и эксплуатации контрольно-измерительных приборов. В этом смысле наиболее трудоемкими считаются измерения расходов транспортируемой среды, поскольку конструкции любых датчиков допускают возможность возникновения утечек.

Таким образом, в практике эксплуатации трубопроводных систем газоснабжения к реально измеряемым параметрам можно причислить данные, получаемые на основе манометрической съемки в отдельных узлах системы и притоки через источники питания. Безусловно, что современный уровень оснащения ГС контрольно-измерительным оборудованием таков, что даже этот вариант информационного обеспечения об их состоянии следует считать оптимистичным.

Совокупность телеизмерений образует вектор , который можно представить как сумму истинных параметров режима ( ), являющихся функциями вектора и вектора ошибок , которые возникают из-за погрешности самих датчиков, помех в каналах связи, неодновременности опроса датчиков [99] и т.д. Таким образом, взаимосвязь между измеряемыми и оцениваемыми параметрами имеет вид

(1.2)

Переходя к понятию динамического оценивания и формализованной постановке этой задачи, следует заметить, что ее основное предназначение заключается в обеспечении наблюдаемости объекта управления при дефиците контрольно-измерительного оборудования [18]. Важным моментом формулировки задач статического оценивания являются условия, в которых возможны получение результатов и оценка их погрешности. Эти условия существования решения должны включать топологические факторы: схему, состав и размещение источников информации, а также нелинейные свойства уравнений математической модели, и их принято называть [16, 17] наблюдаемостью, которая соответственно имеет два аспекта: топологический и нелинейный. Иными словами, цель динамического оценивания состоит в "доопределении" (прогнозе) неизмеряемых параметров режима, которые затем включаются в обработку наряду с телеизмерениями. Под моделями динамики понимают любые соотношения, устанавливающие связь между параметрами режима в различные моменты времени, то есть [17]

(1.3)

где P_i - множество прогнозируемых в момент k на момент i (i > k) параметров режима; Ф_i,k - оператор прогнозирования на момент i по данным о состоянии режима в моменты k, k-1, ... 0; ξ_Ф - шум динамики (непрогнозируемые изменения параметров режима).

Обычно полагается, что функциональная зависимость прогнозируемых параметров от вектора Y_i состояния P_i(Y_i) известна. Тогда прогнозы

(1.4)

можно рассматривать как псевдоизмерения в i - й момент времени и использовать их совместно с обычными измерениями ( - математическое ожидание шума динамики, символом “” помечены оценки вектора состояния в предшествующие моменты времени). Чаще всего на практике используются модели динамики вида [17]

(1.5)

где ; cov(ξ_Ф) = Q_Ф. Оператор Ф_i,i-1 представляет собой квадратную матрицу с постоянными коэффициентами. Точность прогноза определяется матрицей ковариаций, имеющей вид

(1.6)

где ∂P/∂Y - матрица производных прогнозируемых параметров по вектору состояний в i-1 момент времени; G_i-1 - матрица ковариаций ошибок оценок вектора состояния Y_i-1.

Критерии оценивания состояния (целевые функции) базируется на метриках пространств векторов , , и известны два варианта таких критериев. Один из них является основой метода наименьших квадратов (МНК) [48], другой - метода максимального правдоподобия (МП), причем они применимы как при статическом, так и при динамическом оценивании.

При формировании критерия оценивания в общем случае необходимо согласовывать размерности ее компонентов из-за включения в обработку разнородной информации. Однако применительно к ГС такой проблемы не возникает, поскольку источником информации является лишь манометрическая съемка. Температурный режим представляет интерес лишь для систем теплоснабжения и магистральных газопроводов. В первом случае от его оценивания можно отказаться из-за слабого влияния неизотермичности течений на результаты, а второй выходит за рамки интересов настоящей работы в связи со спецификой объекта управления, который имеет мало общего с исследуемыми распределительными системами. Отмеченное обстоятельство позволяет представить целевую функцию в МНК как

(1.7)

где σ_j - дисперсия ошибки j - го телеизмерения; H - потенциал (напор или давление) в узле; верхние индексы “э”, “в” обозначают экспериментальное и вычисленное значение соответственно.

Критерий МНК (1.7) удобно представить в матричном виде

(1.8)

где символы “т”, “-1” определяют традиционные действия над матрицами (транспонирование и обращение соответственно), символом “d” помечена диагональная матрица R с элементами r_jj=σ_j². В общем случае матрица R может быть и не диагональной, когда ошибки измерения влияют друг на друга. Тогда эта матрица будет симметричной относительно главной диагонали и может быть представлена как ковариационная матрица ошибок

(1.9)

Наличие недиагональных элементов в матрице ошибок отличных от нуля характерно, например, для электроэнергетических систем. Применительно к ГС такая ситуация возможна, когда совместно с непосредственными замерами в обработке участвуют так называемые псевдоизмерения - полученные каким-либо косвенным путем данные, например на основе статистических закономерностей между измеряемыми и неизмеряемыми параметрами.

Таким образом, задача статического оценивания по МНК заключается в том, чтобы на основе соотношений , определяющих зависимость контролируемых (измеряемых) величин от вектора независимых параметров, известных погрешностей измерений (ковариационная матрица R) и вектора значений измеренных величин , определить вектор независимых переменных такой, чтобы наиболее близко в смысле критерия (1.7) был к вектору .

В методе МП предполагается, что известно или определено условное распределение случайной величины при условии реализации вектора . Функцию принято называть функцией максимального правдоподобия. Критерием оценивания в МП являются минимаксные оценки значений компонентов вектора , при которых минимизируется максимально возможная по некоторой норме ошибка. Применительно к ГС этот критерий можно записать в виде

(1.10)

Наиболее важным с точки зрения свойств исходной информации является нормальное распределение. Если вектор ошибок ξ_H распределен по многомерному нормальному закону, то максимизация функции правдоподобия по ξ_H равносильна максимизации (или при опускании знака в распределении Гаусса - минимизации) его степени, что совпадает с выражением целевой функции МНК [17]. Таким образом, для нормального распределения оценки по МНК и МП совпадают. Это совпадение подчеркивает важность корректного выбора весовых функций, статистический смысл которых состоит в том, что полученные на их основе оценки оптимальны исключительно для симметричных унимодальных распределений.

Перейдем теперь к вопросу о выборе наиболее рационального метода решения задачи статического оценивания. Известно [17], что МНК требует в общем случае меньше априорной информации о распределении ошибок величин, для которых должны быть найдены статистические оценки и в этом заключается его главное преимущество. Однако получаемые оценки обычно более обоснованы в статистическом смысле для МП. Важно отметить, что при нормальном законе распределения ошибок оба метода дают идентичные результаты. Хотя этот аспект весьма важен, но он далеко не единственный. Работоспособность метода во многом зависит от того, насколько решены вычислительные проблемы схем реализации, связанные, во-первых, со сходимостью, определяемой нелинейными свойствами системы [4, 7, 10, 12, 35, 59, 63, 73, 144, 147]; во-вторых, с ограниченностью ресурсов ЭВМ, которые должны быть согласованы с масштабами моделируемого объекта; в-третьих, с обусловленностью задачи, задающей степень влияния ошибок исходных данных на результаты расчета. Рассмотрим результаты исследований, направленных на преодоление указанных проблем.

Анализ сходимости методов согласно [17, 147] должен выполняться исходя из свойств системы нелинейных уравнений, формируемых в соответствии с критерием оценивания. В случае МНК это будет система нормальных уравнений, получаемая в результате приравнивания производных от целевой функции (1.7) к нулю по компонентам вектора решения, которая имеет вид

(1.11)

Поскольку зависимость H^в(Y) нелинейная, то матрица (∂H^в/∂Y) также зависит от Y и система (1.11) оказывается нелинейной. Для ее решения выполняется линеаризация посредством разложения в ряд Тейлора в точке Y₀, то есть

(1.12)

Для метода МП критерий (1.10) приводит к регрессионной модели вида

(1.13)

число уравнений в которой и размерность вектора неизвестных в общем случае не совпадают, то есть матрица оказывается прямоугольной, при этом система может быть несовместной, для которой точного решения может и не быть. Линеаризация (1.13) приводит к системе уравнений

(1.14)

Для ее решения применяются специальные методы, выполняющие ортогонализацию матрицы [159]. Решение системы в общем случае может быть не единственным, даже если система (1.12) в МНК имеет единственное решение. Решения по обоим методам будут совпадать при условии ∂²H^в/∂Y²=0 и масштабирования (1.14) посредством ее умножения на матрицу R_H^-1/2. Эта матрица получается из разложения R_H=(R_H^1/2)^т R_H^1/2 для симметричных положительно определенных матриц, которое всегда единственно [17].

Итоги проведенных исследований нелинейных свойств систем уравнений обоих методов можно обобщить в виде следующих положений. Для МНК нелинейность системы уравнений установившегося режима увеличивается с приближением к пределу так называемой расчетной устойчивости [17]. Для режимов, близких к расчетной устойчивости, метод Ньютона - Рафсона может плохо сходиться, и целесообразно применять его модификации [17], позволяющие ускорить сходимость. Градиентные методы (например, метод сопряженных градиентов) могут удачно дополнять "ньютоновские" методы в начальной стадии вычислений. Для решения линейных уравнений в рамках метода Ньютона целесообразно применять точные методы (типа Гаусса, Холецкого, Цолленкопфа [17]), поскольку итеративные методы (типа Гаусса-Зейделя) не позволяют обеспечить требуемую точность при увеличении масштабов моделируемого объекта. Для МП в силу особенностей линеаризованной системы (1.14) применяются методы ортогонализации Грамма-Шмидта, Хаусхолдера, Гивенса [17, 159] и т.д.

Вторым фактором, влияющим на выбор метода решения задачи оценивания, является его возможность экономии ресурсов вычислительной техники в силу того, что схемы замещения математических моделей могут содержать весьма значительное число структурных элементов, а процесс решения должен укладываться в ограниченные временные рамки, если обработка информации выполняется в режиме реального времени. Экономия ресурсов ЭВМ обычно достигается за счет эффективной работы с разреженными матрицами, то есть имеющими большой процент нулевых элементов (в нашем случае таковой является матрица ∂H^B/∂Y). Проведенные исследования показывают [17], что наиболее экономичным как по требуемому объему оперативной памяти, так и по быстродействию является метод Холецкого. Единственное условие его эффективной реализации заключается в хорошей обусловленности нормализованных систем линейных уравнений.

По существу, главным фактором, влияющим на выбор метода решения задачи оценивания, является степень вырожденности матрицы ∂H^B/∂Y, которую в численном выражении принято характеризовать как число обусловленности. Обозначим в линеаризованной системе уравнений (1.12) матрицей A=(∂H^в/∂Y)^т R_H^-1(∂H^в/∂Y) шаг в приращении оцениваемых параметров на одной итерации Δy=Y₁-Y₀, а столбец свободных членов b=(∂H^в/∂Y)^т R_H^-1[H^в- H^э(Y₀)]. Тогда систему уравнений в методе Ньютона можно представить как A× Δy=b.

Между погрешностями в компонентах столбца свободных членов и погрешностью решения, то есть оцениваемых величин, известно соотношение , где в двойных скобках обозначены нормы матриц и векторов. Степенью обусловленности матрицы A принято обозначать величину , где обозначают максимальное и минимальное собственные значения матрицы A.

Ввиду сложности определения собственных значений в [17] предлагается более простой способ оценки степени обусловленности, основанный на условиях симметричности и положительной определенности этой матрицы. Отметим, что оба условия всегда выполняются в рамках МНК для системы нормальных уравнений.

В силу симметричности справедливо соотношение .

Если строки матрицы A нормировать до модуля, равного единице, то =1 и , где n - размерность системы уравнений (в МНК число оцениваемых параметров режима). Поскольку для определителя любой матрицы известно соотношение det(A)= то легко получить неравенство

(1.15)

Таким образом, определитель нормированной матрицы А, которую принято называть матрицей Фишера [17], и является мерой обусловленности.

Неравенство (1.15) является основой не только простого и надежного способа оценки погрешности результатов по качеству исходных данных. По степени обусловленности появляется возможность тестирования любой информации, участвующей в формировании матрицы A. Определенные требования к этой информации по существу становятся условиями решения задачи оценивания, и эти условия принято подразделять на два вида. К первому относятся топологические факторы, включающие схему ГС, состав и размещение источников информации (датчиков). Второй вид касается нелинейных свойств математических моделей объекта. Возможность получения оценок (единственность решения) в обоих аспектах названа [17] наблюдаемостью, которая для первого вида условий считается топологической, а для второго - нелинейной.

Наблюдаемость объекта без преувеличения можно считать важнейшим понятием в задачах статического и динамического оценивания. Неслучайно для электроэнергетических систем (ЭЭС) [53] к настоящему времени разработано более десяти алгоритмов их топологической наблюдаемости, на основе которых контролируются дефицит или избыточность измерений, рациональность размещения датчиков и т.д. Иными словами, на этой проблеме замыкаются задачи не только анализа функционирующих систем, но и синтеза систем сбора данных [153, 154].

Классическим условием топологической наблюдаемости является соотношение ранга матрицы, полученной посредством линеаризации уравнений, выражающих связь вектора измеряемых параметров с независимыми переменными. Например, для ЭЭС математическую модель процессов, в которых формируется на основе узлового метода увязки условие топологической наблюдаемости, можно представить в виде [17]

(1.16)

Несмотря на то, что это условие является лишь необходимым (а не достаточным) для единственности решения, оно позволяет ограничить область вырождения задачи и выделить из системы уравнений измерений такие подсистемы, для которых единственность гарантируется.

Проверка топологической наблюдаемости выполняется с помощью известного в теории графов метода поиска максимального паросочетания путем построения бихроматического графа [18]. Здесь нет необходимости детально рассматривать этот метод, поскольку известно достаточно много вариантов его реализации, которые подробно изложены в [18].

Для практической реализации упомянутого метода рекомендуется обеспечить соблюдение двух условий. Во-первых, в качестве компонентов вектора состояния целесообразно использовать параметры, которые инвариантны к схеме объекта, то есть не зависят от вариантов ее коммутации. К таким параметрам, прежде всего, относятся нагрузки потребителей в узлах или так называемые инъекции. Во вторых, желательно выбирать такой состав компонентов вектора состояния, чтобы зависимость вектора измерений от них была явной. Известно [17], что для ЭЭС второе условие можно обеспечить только комплексами напряжений, хотя есть мнение [17], что данное условие не является жестким и может быть опущено, если предусмотреть специальные алгоритмы вычисления неявных функций и их производных. Разумеется, в этом случае возникают серьезные вычислительные проблемы.

Нелинейная наблюдаемость, по утверждению [18], оказывается эквивалентна недостатку исходной информации о состоянии системы, поскольку приводит к одинаковому результату. Это понятие получило широкое распространение для ЭЭС в силу того, что их математическая модель может быть разбита на две упрощенные итеративно увязываемые подмодели (активную и реактивную). Координатами вектора состояния в активной модели являются фазы, а в реактивной - модули напряжений. В [17] приводятся результаты анализа значений определителей обеих подмоделей, который показывает, что практически исключается ситуация их одновременного обращения в ноль. Следовательно, привлечение дополнительных данных, пусть даже имеющих качественно иную природу, чем телеизмерения, может стабилизировать решение задачи оценивания.

Можно считать, что аналогичная ситуация имеет место и для ГС. К автономно увязываемым подмоделям можно отнести гидравлическую и тепловую составляющие математической модели, описывающие в совокупности стационарное неизотермическое течение вязких сред. Механизм получения структуры обеих подмоделей рассматривается, например, в работах [55, 56]. Между тем учет нелинейной наблюдаемости в распределительных трубопроводных системах едва ли целесообразен, поскольку температурная съемка для сетей газоснабжения обычно не выполняется из-за очень малых изменений температуры транспортируемой среды, которые обусловлены наличием дроссель-эффекта (участки сети достаточно короткие, и падения давления незначительны). Контроль температурного режима в системах теплоснабжения мог быть основой учета для них нелинейной наблюдаемости, но проблема оценивания здесь менее значима, поскольку такие объекты, как правило, локализованы и имеют радиальную структуру, что существенно упрощает анализ режима функционирования.

Среди многочисленных результатов исследований по практической реализации задач оценивания, например [2], большинство относится к системам других классов (в частности, ЭЭС), причем количество работ достаточно велико, и в основном они посвящены отдельным нюансам решения, не имеющим отношения к ГС. Применительно к трубопроводным системам задача оценивания рассматривалась в работах [5, 14, 21, 43, 51, 64, 140, 141, 146]. Практически во всех этих работах используется традиционный подход, получивший название метод последовательной линеаризации [54]. Классический выбор независимых переменных, в качестве которых используются расходы среды на участках, предопределяет сущность этого метода, заключающуюся в линеаризации математической модели (1.1). В этом случае появляется возможность выразить целевую функцию (1.7) через совокупность оцениваемых параметров. Разумеется, при этом автоматически возникают две проблемы. Первая связана с погрешностью, обусловленной самой процедурой линеаризации, поскольку последняя всегда является приближенной. Вторая проблема возникает из-за необходимости применения процедуры численного дифференцирования при неявной зависимости целевой функции от оцениваемых параметров. Таким образом, метод последовательной линеаризации имеет очевидный и принципиально не устранимый недостаток, приводящий не только к существенному увеличению времени вычислений, но и априорной ошибке, влияние которой на результаты установить практически невозможно.

Не менее важной в задаче статического оценивания является проблема дефицита телеизмерений. Более того, эта проблема для ГС при их недостаточной оснащенности измерительными приборами, по всей видимости, приобретает первостепенное значение. Одним из средств ее решения является переход к динамическому оцениванию, математический аппарат которого базируется на адаптивных моделях случайных процессов [1, 3, 6, 28, 29, 49, 143, 149, 156, 158]. Основное предназначение таких моделей - восполнить дефицит измерений за счет прогноза значений измеряемых параметров на основе статистической обработки информации о функционирующей системе в процессе ее эксплуатации.

Принципиальным вопросом при построении адаптивных моделей является выбор типа статистической взаимосвязи, то есть фактора, от которого устанавливается зависимость искомых параметров режима. Обычно применяются два типа взаимосвязи: первый - определяет возможность получения текущей и будущей информации по прошлым значениям, то есть устанавливается статистическая зависимость во времени; второй - заключается в формировании соотношений между измеряемыми и неизмеряемыми параметрами одной системы.

Ранее отмечалось, что в качестве прогнозируемых параметров целесообразно выбирать такие, которые оказываются инвариантными к коммутациям схемы объекта, поэтому практически все известные варианты адаптивных моделей предназначены для прогноза инъекций. Чаще всего исследовалась возможность прогноза суммарной нагрузки [17]. В некоторых работах использовались элементы адаптации, например, нагрузка рассматривалась как марковский процесс, для которого на каждом шаге заданы вероятности перехода в последующие состояния. Для обеспечения адаптивных свойства процесса при вычислении матриц вероятностей перехода в этом случае использовался прием скользящего среднего.

Для коррекции гармонического разложения нагрузок применялся фильтр Калмана [28], а адаптация осуществлялась посредством введения шума в модели динамики коэффициентов этого разложения.

Предпринимались также попытки расширения спектра определяющих факторов, когда к хронологическим добавлялись метеорологические. Однако результаты показали, что подобные комбинированные модели не всегда ведут к повышению точности оценок, поскольку достоверность информации о предстоящих значениях метеофакторов весьма невелика.

Для гидравлических систем исследования механизмов построения адаптивных моделей, к сожалению, не столь многочисленны. Пока известны лишь работы [21, 22], в которых формируются комбинированные модели, учитывающие хронологические, метеорологические и организационные факторы. Основой таких моделей являются линейные дискретные передаточные функции. Здесь нет необходимости детально рассматривать структуру моделей такого типа и процедуру их параметрической оптимизации, поскольку все характеристики моделей находятся посредством традиционного приема эволюции от простого к сложному. Отметим лишь их основные особенности, на которых акцентируют внимание авторы.

Прежде всего, постулируется аддитивность влияния всех видов факторов. Для учета метеорологических и организационных факторов целесообразно применять передаточную функцию в виде отношения двух полиномов по степеням оператора сдвига не выше второго порядка. Рекомендуемый порядок диктуется исключительно практическими соображениями экономии ресурсов вычислительной техники, хотя при необходимости сложность модели может быть увеличена посредством реализации метода случайного поиска с априорным распределением вероятностей значений, параметров структуры модели.

В результате исследований механизма учета хронологических факторов (рассматривался класс рациональных структур линейных стационарных моделей комбинированного типа авторегрессии - скользящего среднего) получено, что периодичность процесса, представляемая традиционно суперпозицией синусоид и косинусоид [150], оказывается не всегда экономичной с вычислительной точки зрения. Целесообразнее применять разностные упрощающие операторы.

Окончательный вид моделей потребления газа следующий:

(1.17)

(1.18)

где обобщенный оператор авторегрессии p*:

обобщенный оператор скользящего среднего порядка q*:

полиномы ω(B), δ(B) от B степеней s и r соответственно равны

В приведенных моделях B - оператор сдвига назад; ω(B), δ(B) - весовые коэффициенты; D - параметр детерминированного тренда; - разностный оператор; x_t - метеорологический фактор (температура окружающей среды); a_t - шум динамики.

Практическая реализация моделей (1.17), (1.18) для прогноза потребления показала следующие результаты. Погрешность прогноза часовых расходов газа, с упреждением 24 часа при объеме обучающей выборки N=180 по модели, содержащей линейный детерминированный тренд и одну периодическую компоненту, составила от 2 до 8 %. Погрешность прогноза суточных расходов газа, с упреждением 7 суток (для 10 крупных городов), при объеме обучающей выборки от N = 21 до N = 760 по модели, содержащей линейный детерминированный тренд и две периодические компоненты (годовую и недельную), составила менее 5 %.

Исследования возможностей адаптивных моделей прогноза общей нагрузки систем, приведенные в [17], были направлены на оценку: эффекта их применения по сравнению с регрессионными стационарными характеристиками; влияния начальных параметров моделей на процесс обучения; эффекта второго уровня адаптации, то есть коррекции фактора забывания; зависимости адаптивных моделей от времени упреждения прогноза. Результаты проведенных исследований показали, что особенностью этого класса моделей является слабая детерминированная составляющая, приводящая к трудностям их построения. Среди недостатков также отмечается периодичность, а не постоянство коррекции коэффициентов и существенная чувствительность к метеорологическим факторам, информация о которых не всегда оказывается достоверной.

Второй тип адаптивных моделей в форме статистических закономерностей между измеряемыми и неизмеряемыми параметрами режима, который принято называть [17] псевдоизмерениями, исследовался гораздо реже, причем только для ЭЭС (для ГС пока неизвестно ни одной работы в этом направлении). В [17] рассматривался класс линейных неадаптивных регрессионных моделей, которые строятся для скалярных стационарных процессов. Взаимосвязь в них устанавливалась между суммарной нагрузкой системы и нагрузками в отдельных узлах в виде

где - нагрузка j-го узла в момент времени t; - суммарная нагрузка системы в тот же момент времени; , - математическое ожидание нагрузки в узле и системе соответственно; a - коэффициент модели.

Исследовалась модель вида

где  - коэффициент сглаживания, определяющий скорость старения информации (0<<1); символом обозначена матрица, связывающая систему базисных функций с весовой матрицей в m - й реализации. Дисперсия погрешности измерения полагалась равной единице. Искомые коэффициенты определяют механизм коррекции коэффициентов модели по мере поступления новых измерений нагрузки. Коэффициент сглаживания корректировался с помощью критерия аналогичного критерию Трига-Лича [162].

Итоги исследований модели псевдоизмерений показывают, что коррекция параметра сглаживания  после подбора оптимального фактора забывания не дает эффекта, что свидетельствует о большей, чем в случае прогнозирования, стабильности этих моделей.