Решение типовых задач

Задача 5.1. Система состоит из 10 равно надежных элементов, среднее время безотказной работы элемента m_t = 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равно надежны. Необходимо найти вероятность безотказной работы системы Р_с(t), среднее время безотказной работы системы m_tс, а также частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов _с (t)

в момент времени t = 50 час в следующих случаях:

а) нерезервированной системы,

б) дублированной системы при включении резерва по способу замещения (ненагруженный резерв).

Решение:

а)

где λ_с - интенсивность отказов системы, _i - интенсивность отказов i - го элемента; n = 10,

1/час ,

час ; p_c(t)= ;

f_c(t)=_c(t)p_c(t) ; _c(50)=_c ;

f_c(50)=_{c =0.01e}^-0.0150610-3 1/час ;

_c(50)=0.01 1/час .

б) m_tc= ; m=1 ;

m_tc= =200 час .

Определяем Р_c(t) по формуле

Так как λ₀=λ_с , то

P_c(t)=e^-сt(1+_ct) .

Определяем fc(t). Имеем

Определяем _c (t) . Получим

λ_c(t)=

Определяем P_c(50), f_c(50), λ_c(50).Имеем

p_c(50)=e^{-0.0150(1+0.0150)}=e^{-0.51.5∙0.60651.50.91 ,}

f_c(50)=0.01^250e-0.0150=0.010.5e^-0.5310-3 1/час ,

_c(50)= 1/час .

Задача 5.2. Радиопередатчик имеет интенсивность отказов λ₀=0,4*10^-3 1/час. Его дублирует такой же передатчик, находящийся до отказа основного передатчика в режиме ожидания (в режиме облегченного резерва). В этом режиме интенсивность отказов передатчика λ₁= 0,06∙10^-3 1/час. Требуется вычислить вероятность безотказной работы передающей системы в течение времени t = 100 час., а также среднее время безотказной работы m_tс, частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов λ_с(t).

Решение. В рассматриваемом случае кратность резервирования m = 1. Используя формулу (5.З), получим

;

; .

Тогда

(5.13)

Из (5.13) имеем

0.96[1+6.67-6.67(1-0.006)]0.998 .

Определим m_tс по формуле (5.4.). Получим

4668 ч .

Определим f_c(t) . Имеем

=

Перепишем (5.13) в виде

Определим _с(t). Получим

Задача 5.3. Вероятность безотказной работы преобразователя постоянного тока в переменный в течении времени t=1000 час. равна 0,95, т. е. Р(1000) = 0,95. Для повышения надежности системы электроснабжения на объекте имеется такой же преобразователь, который включается в работу при отказе первого (режим ненагруженного резерва). Требуется рассчитать вероятность безотказной работы и среднее время безотказной работы системы, состоящей из двух преобразователей, а также определить частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов _с(t) системы.

Решение. В рассматриваемом случае кратность резервирования m = 1. Используя формулу (5.9), получим

(5.14)

Так как для отдельного преобразователя имеет место экспоненциальный закон надежности, то

, (5.15)

где Р(t)- вероятность безотказной работы преобразователя; λ₀ - интенсивность отказов преобразователя в состоянии работы.

Из (5.15) имеем

P(1000)=e^-λo1000 =0,95 .

Из приложения П.7.14 [1] получим

λ₀*1000=0,051,

откуда

λ₀=0,051/10000,5*10^-4 1/час.

Тогда из (5.14) имеем

P_c(1000)=0,95(1+0,05)=0,9975 .

Определим m_tc по формуле (5.10). Получим

m_tc = (m+1)/₀=2/₀=2/(0,5*10^-4) = 40000 час.

Отметим, что среднее время безотказной работы нерезервированного преобразователя равно

m_tc =1/₀=20000 час.

Определим частоту отказов f_c(t) по формуле (5.11). Имеем

Определим _с(t). Получим