§10. Функция одного случайного аргумента

Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента Х и записывают Y=φ(Х). Если Х – дискретная случайная величина и функция Y=φ(Х) – монотонная, то . Если φ(Х) – немонотонная функция, то различным значениям Х могут соответствовать одинаковые значения Y, тогда вероятности возможных значений Х, при которых Y принимает одинаковые значения следует сложить.

Если Х – непрерывная случайная величина с плотностью f(x), а y=φ(x) дифференцируемая строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная для которой x=ψ(y) то плотность распределения g(y) случайной величины Y находят из равенства

Если функция φ(x) не монотонна на интервале возможных значений Х, то этот интервал следует разбить на интервалы монотонности, найти плотность для каждого интервала, а затем результаты просуммировать.

Математическое ожидание функции Y=φ(Х) вычисляется по формулам:

или ,

а дисперсия –

Пример 108. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

xi	-1	0	1	2
Pi	0,1	0,3	0,4	0,2

Найти закон распределения случайной величины Y=X², математическое ожидание M(Y), D(Y) и σ(Y).

Решение. Найдем возможные значения Y:

Найдем вероятности возможных значений

Следовательно, закон распределения величины Y имеет вид

yi	0	1	4
Pi	0,3	0,5	0,2

Тогда

Пример 109. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)=x+0,5 в интервале (0,1); вне этого интервала f(x)=0. Найти: а) плотность распределения функции Y=X²; б) математическое ожидание M(Y); в) дисперсию D(Y).

Решение. а) Так как функция y=x² на промежутке (0,1) строго возрастает и имеет обратную , то

б)

Математическое ожидание можно найти другим способом:

.

в) , .

110. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=cos(x) в интервале (0, π/2); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание функции Y=φ(X)=X² (не находя предварительно плотности распределения Y).

111. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) =cos(x) в интервале (0, π/2); вне этого интервала f(x) =0. Найти дисперсию функции Y = φ(Х)=Х2, не находя предварительно плотности распределения Y. Для решения используем формулу

и то, что .

112. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

Х	3	6	10
p	0,2	0,1	0,7

Найти закон распределения случайной величины Y=2Х + 1.

113. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

Х	π/4	π/2	3π/4
р	0,2	0,7	0,1

Найти закон распределения случайной величины Y=sin(X).

114. Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (0,∞). Найти плотность распределения g(у) случайной величины Y, если: а) Y=e^-х; б) Y=ln(X); в)Y=X²; г) Y=1/X²; д) Y=Х³ .

115. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0, π/2). Найти плотность распределения g(y)случайной величины Y=sin(X).

116. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (-π/2, π/2). Найти плотность распределения g(y) случайной величины У=cos(X).