§12. Числовые характеристики системы двух случайных величин

Зная законы распределения составляющих для дискретных двумерных величин или плотности их распределения для непрерывных, математическое ожидание и дисперсию составляющих можно найти по известным формулам:

,

.

Зная условные законы распределения составляющих, можно найти условные математические ожидания по формулам:

Степень статистической зависимости двух случайных величин X,Y характеризуется числовой характеристикой, называемой корреляционным моментом, и вычисляется по формуле:

Коэффициентом корреляции величин X Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Пример 125. Для дискретной двумерной величины, заданной в примере 10? найти: а) математические ожидания составляющих; б) дисперсии составляющих; в) условное математическое ожидание X при условии, что Y=-2; г) корреляционный момент.

Решение. При решении примера получены законы распределения Х (1 и 4 строки), Y (1 и 5 столбцы), условный закон распределения Х, при условии, что Y=-2 (1 и 5 столбцы):

xi	-1	0	2
P(xi)	0,3	0,3	0,4

хi	-1				0				2
p(xi)	0,3				0,3				0,4
yk			-2			1
P(yk)			0,45			0,55

хi	-1	0	2
p(xi/у=-2)

а) из первой и второй таблицы получаем:

Yk	-2	1
P(Yk)	0,45	0,55

; .

б) ,

.

в) Из третьей таблицы:

г) По определению

.

Пример 126. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет вид:

Найти: а) постоянную b; б) безусловные и условные плотности распределения составляющих; в) математические ожидания и дисперсии для Х и Y; г) условное математическое ожидание M(X/Y); д) коэффициент корреляции.

Решение. а) Используем второе свойство двумерной плотности вероятности:

.

б) По четвертому свойству:

; .

; .

Заметим, что условные плотности распределения не совпадают с безусловными, следовательно X и Y зависимы.

в) Математические ожидания и дисперсии находятся так же, как в одномерном случае.

; ;

;

.

г) Для отыскания условного математического ожидания используем условную плотность распределения:

.

д) По определению:

_.

127. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y): f(x, у)= =2cos(x)cos(y) в квадрате , ; вне квадрата f(x,y)= 0. Найти математические ожидания составляющих.

128. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y): f(x,y)= =(1/2)sin(x+y) в квадрате , ; вне квадрата f(x,y)=0. Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.

129. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y): F(x,y)=(l/4)sin(x)sin(y) в квадрате , ; вне квадрата f(x,y)=0. Найти: а) математические ожидания и дисперсии составляющих; б) корреляционный момент.

130. Производится два выстрела по мишени в неизменных условиях. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна p. Случайные величины: Х – число выстрелов до первого попадания (включительно), Y – число промахов. а) Описать закон распределения случайного вектора (Х, Y) и законы распределения каждой компоненты.

б) Вычислить вероятность Р {Х= Y}.

в) Вычислить коэффициент корреляции .

г) Определить, зависимы или независимы компоненты Х и Y.

д) Найти, условное математическое ожидание случайной величины Х при условии, что Y приняла значение 2.

131. Число Х выбирается случайным образом из множества целых чисел {1,2,3}. Затем из того же множества выбирается наудачу число Y, большее первого или равное ему.

а) Описать закон распределения случайного вектора (Х, Y).

б) Определить, зависимы или независимы случайные компоненты Х и Y.

в) Построить условный закон распределения компоненты Х при условии, что Y приняло значение, равное 2.

г) Вычислить основные характеристики: m_x, m_y, Dx, D_y, K_xy, .

132. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет вид:

Найти: а) постоянную b; б) безусловные и условные плотности распределения компонент; в) математические ожидания и дисперсии X и Y; г) условные математические ожидания M(X/Y); д) корреляционный момент.

133. Плотность распределения вероятностей случайного вектора (X,Y) имеет вид:

Найти: а) постоянную b; б) безусловные и условные плотности распределения составляющих; в) вероятность того, что X>1/2, а Y>1/4; г) математические ожидания, дисперсии, коеффицент корреляции Х и У.