§3. Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) Н₁, Н₂…Н_n, образующих полную группу ( ). Тогда вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на собственную условную вероятность события А:

Это равенство называют формулой полной вероятности.

Если известно, что событие А произошло, то вероятности гипотез могут быть найдены по формулам Бейеса:

Пример 35. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями в количестве 19, 6, 11 штук и могут безотказно работать до конца гарантийного срока соответственно с вероятностями 0.85, 0.76 и 0.71. Рабочий берет случайно один двигатель и монтирует его к устройству. 1) Найти вероятность того, что этот электродвигатель проработает до конца гарантийного срока. 2) Двигатель не вышел из строя. Найти вероятность того, что он изготовлен соответственно первым или вторым заводом.

Решение. Рассмотрим следующие события: А – двигатель работает безотказно до конца гарантийного срока. Гипотеза H_i – рабочий возьмет двигатель из продукции “i”-го завода. Из условия задачи P(H₁)=19/36, т.к. всего двигателей 36, а первый завод поставил 19; P(H₂)=6/36; P(H₃)=11/36. , следовательно гипотезы H_1, H_2, H₃ образуют полную группу. Условная вероятность того, что двигатель не выйдет из строя, если он изготовлен первым заводом P(A/H₁)=0.85; для второго завода P(A/H₂)=0.76; для третьего - P(A/H₃)=0.71. Тогда:

По формуле Бейеса найдем условные вероятности гипотез:

36. В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

37. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе №1, 20 деталей - на заводе №2 и 18 деталей - на заводе №3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

38. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

39. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

40. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6, 0,5 и 0,4.

41. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0.95 дефект (если он есть) обнаруживается и существует ненулевая вероятность 0.03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Какова вероятность того, что случайно выбранный транзистор будет дефектным?

42. На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0.8 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0.2 – только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью 0.7; если только помеха – то с вероятностью 0.3. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе есть полезный сигнал.

43. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала машина. Определить вероятность того, что она грузовая.

44. Вероятность попадания в цель для первого охотника 0,7, для второго — 0,8. Наудачу вызванный охотник попал в цель. Какова вероятность того, что стрелял первый?

45. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипеди­стов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму равна: для лыжника - 0,9, для велосипедиста - 0,8, для бегуна - 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, вызванный наугад, выполнит норму.

46. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом № 1, и 2 коробки деталей, изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что стандартна деталь завода № 1, равна 0,8, завода № 2 - 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из наугад взятой коробки. Найти вероятность того, что из­влечена стандартная деталь.

47. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором 30 деталей, из них 24 стандартных, в третьем - 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероят­ность того, что случайным образом извлеченная деталь из наугад взятого ящика стандартна.