2.4.4. Метод исключения ветвей при выпуклой функции стоимости

В предыдущем разделе рассмотрено применение метода девиации потока к решению задачи выбора пропускных способностей каналов и распределения потоков в предположении, что стоимость линии связи пропорциональна ее пропускной способности. В этом методе потоки направляются согласно весам, представляющим увеличение задержки сообщений при увеличении нагрузки в каналах сети. Если поток в ка­нале становится малым, то пропускная способность также мала и при­ращение стоимости при увеличении потока становится большим. Как следствие, происходит дальнейшее уменьшение потока в канале. Такие каналы в процессе работы алгоритма пытаются избавиться от проходя­щих по ним компонент потока; канал с нулевым потоком приобретает вес и в дальнейшем не используется.

На этих соображениях основывается метод оптимизации тополо­гии, в котором в качестве начальной берут сильносвязную сеть, ме­тодом девиации потоков решают задачу распределения потоков и выбо­ра пропускных способностей каналов и в получившемся решении в сети сохраняют лишь линии с ненулевыми потоками. Эти линии и образуют искомую топологию.

Оптимизацию топологии сети путем исключения линий можно про­водить и в том случае, когда зависимость между стоимостью линии и ее пропускной способностью задается выпуклой функцией. На самом деле существует ограниченный набор возможных пропускных способнос­тей для линий связи, и их стоимости образуют возрастающую ступен­чатую функцию. Заменив для удобства анализа эту кривую непрерывной выпуклой функцией, можно применить метод девиации потоков для ис­ключения линий из сильносвязной сети. При этом не следует забывать требований минимальной связности сети и нарушать ее удалением слишком большого числа линий. Такой метод оптимизации топологии сетей известен под названием "метод исключения ветвей при выпуклой функции стоимости". Установлено, что данный метод дает достаточно хорошие результаты, однако порождаемые им топологии сильно зависят от вида функции «стоимость - пропускная способность».

2.5. Оценка надежности и коэффициента готовности

Преимуществом ячеистых сетей передачи данных по сравнению с радиальными, кольцевыми и древовидными является их повышенная ус­тойчивость к возможным отказам линий связи. Следует отметить, что отказ узлов сети также сильно влияют на работоспособность, и поэ­тому понятие связности, учитывающее узлы и линии, следовательно, является более точной мерой надежности сети, чем реберная связ­ность, учитывающая только состояние линий. Тем не менее для прос­тоты изложения будем рассматривать только отказ линий связи. Учет совместного влияния отказов узлов и линий связи более сложен, од­нако не вносит принципиальных отличий.

В простейшем случае можно считать, что отказ и восстановление работоспособности каждой линии происходят независимо от остальных, так что ее можно описать единственным параметром p, который озна­чает вероятность того, что линия неисправна. Основная цель - выра­зить характеристику надежности сети как функцию от параметра p и топологии сети. Характеристику надежности сети можно определить различными способами. Например, можно определить ее как долю вре­мени, в течение которого два узла соединены друг с другом, усред­ненного по множеству всех пар. Если необходимо сохранить связь со всеми узлами сети, требуется более жесткое определение, а именно, вероятность отказа сети f, которая определяет вероятность потери связи с любым из ее узлов.

При рассмотрении отказов только линий сеть из m линий может находиться в одном из 2^m состояний в зависимости от того, исправна или нет каждая из ее линий. Вероятность каждого из этих состояний сети зависит от того, сколько линий вышло из строя, так как веро­ятности отказа отдельных линий считаются одинаковыми. Верхнее уравнение в подписи к рис. 10 представляет собой биномиальное раз­ложение, в котором сумма вероятностей различных состояний равна единице. Первое слагаемое этой суммы является вероятностью безот­казной работы всех линий сети. Имеется 5 вариантов отказа одной линии, что дает коэффициент 5 при втором члене. Существует 10 раз­личных комбинаций одновременного отказа двух линий и т.д.

Для определения вероятности отказа сети необходимо знать, ка­кие из этих состояний отказа приводят к разъединению сети. Нижнее уравнение (рис. 2.3) описывает вероятность отказа сети f. Для отде­ления хотя бы одного узла сети должны нарушиться как минимум две связи, поэтому первое ненулевое слагаемое в выражении для f содер­жит p². Коэффициент при этом слагаемом определяется тем, сколько пар отказов из 10 возможных отказов двух линий приведут к разъеди­нению сети. На рисунке имеются две такие пары; они выделены утол­щенными линиями. Это дает коэффициент 2 в выражении для f. По­скольку в любом случае отказа 3, 4 и 5 линий происходит разъедине­ние сети, коэффициенты при этих слагаемых те же, что и в верхнем уравнении, которое описывает всевозможные состояния. Таким обра­зом, вероятность отказа сети f можно выразить полиномом от p, рассматривая все сечения сети. Рис. 2.3 поясняет непосредственный метод подсчета вероятностей.

Рис. 2.3. Точное вычисление вероятности отказа:

(1-p)⁵ + 5p(1-p)⁴ + 10p²(1-p)³ + 10p³(1-p)² + 5p⁴(1-p) + p⁵ = 1;

f = 2p²(1-p)³ +10p³(1-p)² +5p⁴(1-p) + p⁵.

Другой инженерный способ расчета надежности сети можно дать через вероятность отказа сети между некоторой парой узлов s и t, т.е. вероятность f(s,t) того, что между этими узлами не окажется ни одного пути. Рассмотрим пример (рис. 11). Отказ одной линии не может привести к разъединению сети, соединяющей s и t, поэтому в выражении для вероятности отказа сети не будет членов, содержащих р в первой степени. Количество различных сечений из двух линий, разъединяющих s и t, определяет коэффициент при p². Таких сечений всего 6, и они показаны штриховой линией. В подписи приведено приближенное выражение для f(s,t). Множитель, обусловленный веро­ятностью исправности линий, не включен, так как нет членов, содер­жащих более высокие степени р. Для типичных вероятностей отказов линий современных сетей часто достаточно использовать лишь первый член разложения. Существует риск значительной ошибки, если число состояний с отказами трех линий велико (сети с лестничной тополо­гией).

Рис. 2.4. Совокупность сечений. f(s,t) = 6p² + ... f = 10p² + ...

В примере, приведенном на рис. 2.4, можно так же легко опреде­лить первый член разложения вероятности отказа всей сети f. Имеют­ся 4 сечения, делающие сеть несвязной, в частности, те, которые отделяют от сети узлы, помеченные знаком x. С их учетом коэффици­ент при первом члене разложения в формуле для f возрастает до 10.

Эти приближенные оценки вероятности отказа сети имеют смысл при малых значениях p. Их целочисленные коэффициенты в больших се­тях могут быть достаточно большими, однако наиболее важным являет­ся установить степень в первом ненулевом члене разложения. Эта степень определяется величиной минимального сечения сети, иными словами - реберной связностью.

Все минимальные сечения для малых сетей можно найти простой проверкой. В сетях со связностью 3 и 4 это может оказаться доволь­но трудным делом. Более того, иногда для больших сетей необходимо точно вычислить полином по p. Линии, соединяющиеся последовательно или параллельно, можно объединить и подсчитать вероятность отказа таких комбинаций. Двухтерминальную сеть, которую можно построить таким образом, назовем ветвью. Чтобы подсчитать вероятность отказа ветви, рассмотрим три возможных состояния в такой ветви.

В первом (безотказном) состоянии, обозначенном через 0, могут быть неисправные линии, однако нет разъединенных частей и связь между конечными узлами существует.

Во втором состоянии, обозначенном 1, имеются два терминала, связь между которыми оказывается нарушенной, но все внутренние уз­лы ветви соединены с одним из терминалов. Это состояние замеча­тельно тем, что можно восстановить работу сети, подключив исправ­ную линию параллельно разрыву.

В третьем состоянии, обозначенном 2, имеется совокупность несвязных узлов. Их нельзя достичь из любого терминала, т.е. сеть, содержащая такую ветвь, будет несвязной независимо от других су­ществующих путей. В этом состоянии не возникает вопроса о том, связаны ли между собой два терминала ветви.

На рис. 2.5 показано, как состояние двух ветвей, соединенных последовательно или параллельно, определяет состояние комбиниро­ванной ветви. Наличие несвязностей любого компонента, характеризу­емого состоянием 2, неизбежно приводит всю ветвь в состояние 2, поскольку несвязность считается отказом сети. При последовательном соединении двух компонент, находящихся в состоянии 1, средний узел ветви не будет иметь связи ни с одним из конечных узлов, и поэтому комбинированная система будет находиться в состоянии 2.

Вероятности можно связать с каждым из этих состояний и, поль­зуясь таблицами состояний, подсчитать вероятности для трех состоя­ний составной ветви. Для простой линии с вероятностью отказа р состояние 2 невозможно, а состояние 1 имеет вероятность р. Из та­ких линий строятся более сложные ветви. С помощью описанных преоб­разований можно последовательно упрощать сложную сеть, причем этот процесс длится до тех пор, пока в сети не останется ветвей, соеди­ненных последовательно или параллельно. Дальнейшее продвижение в анализе сложных сетей возможно с использованием метода "разложе­ния" относительно одной ветви.

Рис. 2.5. Результирующие состояния последовательных и параллельных комбинаций ветвей: а - последовательная; б - параллельная

В этом методе выбирается некоторая ветвь, и дальнейший расчет вероятностей ведется тремя различными путями в зависимости от то­го, в каком из трех состояний находится данная ветвь. Если ветвь находится в состоянии 2, никаких дальнейших расчетов не требуется, так как сеть несвязна. Если ветвь находится в состоянии 1, ее мож­но удалить из сети, а оставшуюся часть сети можно подвергнуть дальнейшему упрощению путем выделения параллельно-последовательных ветвей. В состоянии 0 два терминала ветви соединены надежно. Эти два узла графа можно объединить, и при удачном результате продол­жить упрощение путем выделения параллельно-последовательных вет­вей. Успех этой процедуры зависит от удачного выбора ветви, вокруг которой упрощается сеть. В больших сетях к процедуре разложения приходиться обращаться многократно, причем каждый раз число даль­нейших расчетов удваивается.