- •1.Разделы дисциплины и виды занятий (тематический план)
- •2. Содержание разделов дисциплины во втором семестре
- •Раздел 12.
- •Дифференциальные уравнения
- •Раздел 13. Ряды
- •Раздел 14. Кратные и криволинейные интегралы
- •Раздел 15
- •3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
- •4. Методические рекомендации по организации изучения математики
- •Контрольные мероприятия
- •5. Рекомендуемый перечень тем практических занятий
- •6. Лабораторные работы
- •7. Темы, выносимые на самостоятельное изучение
- •Тема №2 Разложение основных элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена
- •Тема №3 разложение в ряд фурье функций, заданных на интервале (0,l)
- •Тема №4 вычиление интегралов с помощью функции комплексного переменного
- •Заключение
- •394026 Воронеж, Московский просп.,14
Тема №2 Разложение основных элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена
Литература: [2], [11], [16].
Всякая функция f(x), бесконечно дифференцируемая в интервале , может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора
, (10)
если в этом интервале выполняется условие: где остаточный член формулы Тейлора, записанный в форме Лагранжа, где - положительное число меньше 1.
При ряд Тейлора называют рядом Маклорена: . (11)
Если в некотором интервале, содержащем точку , все производные ограничены некоторой константой, т.е. при любом n выполняется неравенство , где М – положительная постоянная, то . Тогда функция f(x) будет суммой ряда (10), причем только для тех значений х, при которых при (необходимое и достаточное условие равенства (11) в разложении f(x) в ряд Тейлора).
Приведем основные разложения в ряд Маклорена:
Биномиальный ряд
Причем это последнее разложение при является
абсолютно сходящимся рядом в граничных точках интервала,
т.е. при х=-1 и при х=1; при ряд расходится при
х=-1 и условно сходится при при х=1; при ряд расходится на обеих границах интервала (-1;1).
При разложении функции f(x) в ряд Тейлора по степеням х (когда ) преобразуют, если возможно, функцию f(x) к виду, допускающему использование основных разложений , а также сложение (вычитание) рядов, умножение ряда на число. Затем определяют область сходимости полученного ряда к функции f(x).
Замечание. Если требуется разложить функцию в ряд Тейлора по степеням , то сначала делают замену переменной , находят разложение по степеням t и затем возвращаются к переменной х.
Примеры решения задач
Пример 1. Разложить ln x в ряд по степеням (х-1).
Решение. Имеем , то (t=x-1), где
область сходимости есть полуинтервал .
Разложить функции f(x) в ряд Тейлора по степеням х.
Пример 2.
Решение. Данную рациональную функцию сначала разложим на элементарные дроби:
Так как
-
Геометрические прогрессии, сходящиеся соответственно при и , то окончательно имеем разложение функции в ряд: . Областью сходимости которого является пересечение интервалов . Формула справедлива при -1<x<1.
Пример 3.
Решение. Имеем
Пользуясь биномиальным рядом при :
Подставим в разложении:
где или - бифакториал нечетных, - бифакториал четных чисел. Последнее равенство умножим почленно на , получаем искомое разложение f(x) по степеням х: , с областью сходимости ряда .
Пример 4. Разложить в ряд Маклорена функцию
.
Решение. Имеем . Воспользуемся формулой (9) при и заменив в ней х на х2, получим
Преобразовав знаменатели, получим разложение
Полученный ряд сходится при
Пример 5. Разложить в ряд Маклорена функцию
Решение. Имеем Воспользовавшись формулой (8), можем записать :
Отсюда получаем
Откуда следует, что искомое разложение имеет вид
Полученный ряд сходится в интервале (-1,1).
Пример 6. Разложить в ряд по степеням х функцию
.
Решение. Найдем значения функции и ее производных в точке :
, ;
, ;
,
…………………………………………
,
Воспользуемся формулой (2), получим
Полученный ряд сходится при
Пример7. Разложить в ряд по степеням х функцию
Решение. Воспользуемся теоремой о почленном дифференцировании степенных рядов. Предварительно разложим в ряд функцию , и, учитывая, что , почленным дифференцированием полученного ряда найдем разложение функции Положив в биноминальном ряде (9) и заменив на ( ), получим
На основании теоремы о почленном дифференцировании степенных рядов, продифференцировав ряд, стоящий в правой части последнего равенства, получим
Полученный ряд сходится в интервале (-1,1).
Приближенное вычисление определенных интегралов
Многие интегралы не могут быть выражены в конечном виде через элементарные функции. Одним из способов приближенного вычисления таких интегралов является разложение подынтегральной функции в степенной ряд и его почленное интегрирование. Известно, что функция, бесконечно дифференцируемая в интервале сходимости (-R,R), разлагается в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора.
,
если в этом интервале сходимости где- остаточный член формулы Тейлора, записанный в форме Лагранжа, где - положительное число меньше 1.
Практически степенные ряды для многих функций можно найти формально, используя основные разложения функций или формулу для суммы членов геометрической прогрессии. Итак, чтобы вычислить интеграл с точностью ε, где
функция f(x) разложена в степенной ряд, имеющий радиус сходимости R>b, надо:
1) Разложить функцию в степенной ряд по степеням х: и определить его интервал сходимости. Так как степенные ряды сходятся равномерно на любом отрезке, лежащем внутри их интервала сходимости, то на таком отрезке можно интегрировать почленно полученный ряд, используя формулу Ньютона-Лейбница:
2) Вычислить сумму полученного числового ряда с
заданной точностью (оценивая остаток ряда). Заметим, что при интегрировании степенного ряда его интервал сходимости не изменяется.
Пример 8. Вычислить интеграл с точностью
.
Решение.
Разлагаем функцию в ряд Тейлора по степеням х ( , = ). Получаем ряд: сходящийся также на всей числовой прямой. Интегрируем ряд
Оценим остаток ряда. Так как ряд знакочередующийся, члены которого убывают по абсолютной величине
при
и , то справедливо неравенство
(остаток ряда не превосходит
первого из отброшенных членов). Если , то тем более . Поэтому, оценив неравенство , находим количество членов ряда, необходимых для вычисления суммы с заданной точностью ε. Практически прикидывают, сколько надо взять членов ряда для заданной точности. Здесь достаточно взять первые два члена ряда, т.к. и, следовательно, . Вычисляем:
Пример 9. Вычислить интеграл с точностью
Решение. Используем разложение
,
и заменяя в нем на , получаем ряд
,
сходящийся при всех . Интегрируем почленно полученный ряд
Так как , то оценивая это неравенство, получаем, что для вычисления интеграла с точностью достаточно взять два члена ряда, ибо . Вычисляем
Пример 10. Найти решение дифференциального уравнения с начальными условиями
Решение. Полагая, что искомое решение представляет сходящийся степенной ряд
,
найдем ряды для и его почленным дифференцированием
,
.
Используя начальные условия, найдем значения двух первых коэффициентов: , . Подставляя ряды для , и в исходное уравнение и сделав приведение подобных слагаемых, получим
.
Приравнивая к нулю все коэффициенты ряда, стоящего в левой части этого равенства, получаем систему уравнений
,
из которой определяем значения остальных коэффициентов:
, , ,
, …, , ….
Таким образом, искомое частное решение дифференциального уравнения имеет вид
Пример 11. Найти первые шесть членов разложения в ряд решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям , .
Решение. Будем искать решение уравнения в виде ряда Тейлора: . Подставляя в исходное уравнение и , находим . Далее, последовательно дифференцируя уравнение, имеем
, ,
, ,
, .
Так как первое слагаемое ряда , то вычислим еще
,
.
Таким образом, первые шесть членов разложения в ряд частного решения уравнения имеют вид
.
Контрольные вопросы и задания
1. Получите разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций
2. Рассмотрите частные случаи биномиального разложения
3. Сформулируйте теоремы о почленном дифференцировании степенных рядов.
4. Получите разложение в ряд Маклорена функции и .
Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.