![](/user_photo/_userpic.png)
- •1.Разделы дисциплины и виды занятий (тематический план)
- •2. Содержание разделов дисциплины во втором семестре
- •Раздел 12.
- •Дифференциальные уравнения
- •Раздел 13. Ряды
- •Раздел 14. Кратные и криволинейные интегралы
- •Раздел 15
- •3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
- •4. Методические рекомендации по организации изучения математики
- •Контрольные мероприятия
- •5. Рекомендуемый перечень тем практических занятий
- •6. Лабораторные работы
- •7. Темы, выносимые на самостоятельное изучение
- •Тема №2 Разложение основных элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена
- •Тема №3 разложение в ряд фурье функций, заданных на интервале (0,l)
- •Тема №4 вычиление интегралов с помощью функции комплексного переменного
- •Заключение
- •394026 Воронеж, Московский просп.,14
6. Лабораторные работы
Неде- ля семе- стра |
Наименование лабораторной работы |
Объ- ем ча- сов |
В том числе в интерактивной форме (ИФ) |
Виды контроля |
|
2 семестр |
18 |
18 |
|
||
23 |
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса |
2 |
2 |
отчет |
|
25 |
Интерполирование |
2 |
2 |
отчет |
|
27 |
Решение нелинейных уравнений |
2 |
2 |
отчет |
|
29 |
Численное интегрирование |
2 |
2 |
отчет |
|
31 |
Приближение таблично заданной функции по методу наименьших квадратов |
2 |
2 |
отчет |
|
33-35 |
Численное решение дифференциальных уравнений |
4 |
4 |
отчет |
|
37 |
Применение рядов в приближенных вычислениях |
2 |
2 |
отчет |
|
39 |
Гармонический анализ |
2 |
2 |
отчет |
7. Темы, выносимые на самостоятельное изучение
ТЕМА №1
Численные методы решения
задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы
Эйлера и Рунге-КутТа
Литература: [13], [19].
Основные понятия
Задано дифференциальное уравнение первого порядка
(6)
С начальным условием
(7)
Задача
нахождения при
решения
дифференциального уравнения (6),
удовлетворяющему начальному условию
(7), называется задачей Коши. Чаще
ограничиваются определением решения
на конечном отрезке [a,b].
Численное
решение задачи состоит в построении
таблицы приближённых значений
решения уравнения в точках
.
Чаще всего
,
где n-число
разбиений,
-
шаг.
В
методе Эйлера величины
вычисляются по формуле
.
(8)
Этот
метод относится к группе одношаговых
методов, в которых для расчёта точки
требуется информация только о последней
вычисленной точке
.
Геометрическая интерпретация одного
шага методом Эйлера заключается в
аппроксимации решения на отрезке
касательной
,
проведённой в точке
к интегральной кривой, проходящей через
эту точку. А так как
и
,
то
.
Таким образом, после выполнения N
шагов неизвестная интегральная кривая
заменяется ломаной линией (ломаной
Эйлера), для которой угловой коэффициент
очередного i-го
звена
.
Для оценки погрешности метода на одном
шаге точное решение раскладывается в
ряд Тейлора в окрестности узла
.
Сравнение этого разложения с формулой
(8) показывает, что они согласуются до
членов первого порядка по h.
Поэтому метод Эйлера-метод первого
порядка точности.
В
модифицированном методе Эйлера (методе
Эйлера-Коши или методе Ньютона) вычисления
разбивают на два этапа. На первом этапе
(этапе прогноза) в соответствии с методом
Эйлера вычисляют грубое приближение
,
где
.
В точке
определяют угловой коэффициент
.
На втором этапе (этапе коррекции)
вычисляют усреднённое значение углового
коэффициента
.
Уточненное значение находят по формуле
.
В результате получается расчетная формула
(9)
Этот метод имеет второй порядок точности.
Форма отчетности: устный опрос.