Контрольные вопросы и задания
1. Какая система дифференциальных уравнений называется нормальной?
2. В чем состоит метод исключения неизвестных в нормальной системе?
3. Каков алгоритм метода исключения?
4. Какой метод решения систем более общий: метод характеристического уравнения или метод исключения неизвестных?
Примеры решения задач
Пример
1. Решить
систему
.
Решение.
В данной системе
,
,
– неизвестные функции. Дифференцируем
первое уравнение системы по
:
.
Вместо
и
подставим их выражения из второго и
третьего уравнений системы. Тогда
.
Полученное уравнение дифференцируем
по
,
а вместо
и
подставим их выражения из второго и
третьего уравнений системы:
.
Составим новую систему:
.
(6.3)
Из
этой системы исключим неизвестные
и
.
Для этого используем первые два уравнения
системы (6.3), из которых, после преобразований,
находим
(6.4)
и
эти выражения подставим в третье
уравнение системы (6.3) и получим однородное
дифференциальное уравнение третьего
порядка с постоянными коэффициентами
относительно функции
:
.
Решаем соответствующее характеристическое
уравнение
и находим
,
,
.
Следовательно, общее решение
.
Далее находим производные
,
и подставляем
,
,
в систему (6.4). Получаем
,
.
В итоге, общее решение исходной системы
имеет следующий вид:
.
Пример
2. Решить
систему
при данных начальных условиях:
,
,
.
Решение. Сначала приводим систему к нормальному виду
.
Первое
уравнение дифференцируем по
,
после чего вместо
подставим выражение из второго уравнения
системы:
.
Из этого уравнения и первого уравнения
исходной системы составим новую систему
,
(6.5)
из
первого уравнения которой выражаем
и, подставляя во второе, получаем
.
Соответствующее характеристическое
уравнение
имеет корни
,
.
Частное решение ищем в виде
.
После определения коэффициентов получаем
.
Следовательно
.
Найдя производную
,
получаем
.
Таким образом, общее решение исходной
системы имеет вид
.
Подставляя начальные условия, определяем значения постоянных и :
.
Итак, частное решение исходной системы, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид
.
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
Решить задачи: №№ 4324.1–4324.4 [2], а также задачи:
1)
;
2)
.
Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.
Занятие № 24 Понятие о теории устойчивости ляпунова
Литература: [1], c. 113-127.
Основные понятия
Решение
системы дифференциальных уравнений
,
(7.1)
определенное
при всех
,
называется устойчивым
(по Ляпунову), если для любого
существует такое
,
что для всякого решения
той же системы уравнений, начальное
значение которого удовлетворяет
неравенству
,
при всех
выполняется неравенство
.
Решение
системы дифференциальных уравнений
(7.1) называется асимптотически
устойчивым,
если оно устойчиво и существует такое
,
что для всякого решения
той же системы уравнений, начальное
значение которого удовлетворяет
неравенству
,
справедливо предельное равенство
.
Если решение не является устойчивым, то будем называть его неустойчивым.
Рассмотрим случай, когда система (7.1) имеет вид
,
.
(7.2)
Эту
систему часто называют динамической
системой, а
координатную плоскость
– ее фазовой
плоскостью.
Если
,
то система (7.2) имеет единственное решение
(положение
равновесия):
.
Качественное поведение фазовых
кривых
(траекторий)
вблизи положения равновесия определяется
собственными числами матрицы коэффициентов
этой системы, т.е. корнями характеристического
уравнения
.
Рассмотрим все возможные случаи корней
и
характеристического уравнения.
1)
Если
,
– действительные числа и
,
то положение равновесия
– устойчивый
узел.
2)
Если
,
– действительные числа и
,
то положение равновесия
– неустойчивый
узел.
3)
Если
или
– действительные числа, то соответствующий
узел называется вырожденным.
4) Если и – действительные числа разного знака, то положение равновесия – седло и решение системы (7.2) неустойчиво.
5)
Если
– комплексно сопряженные и
,
то положение равновесия
– устойчивый
фокус.
6)
Если
– комплексно сопряженные и
,
то положение равновесия
– неустойчивый
фокус.
7)
Если
,
то положение равновесия
– центр,
решение устойчиво.
8)
Если
,
– действительные числа, то решение
устойчиво, фазовыми кривыми являются
параллельные лучи, стремящиеся к одной
прямой.
9) Если , – действительные числа, то решение неустойчиво, фазовыми кривыми являются параллельные лучи, расходящиеся от одной прямой.
10)
Если
,
то решение неустойчиво, а фазовыми
траекториями являются параллельные
прямые.
Рассмотрим случай, когда система (7.1) имеет вид
,
,
(7.3)
где
и
– непрерывно дифференцируемые в
некоторой области функции. Положения
равновесия этой системы определяются
из условий
и
,
т.е. из решения системы уравнений
.
Для исследования положения равновесия
надо перенести начало координат в точку
и разложить функции
и
в окрестности этой точки в ряд Тейлора,
ограничиваясь членами первого порядка.
Тогда система (7.3) примет вид
,
где
,
,
,
,
,
.
Тип положения равновесия
определяется далее так же, как для случая
системы (7.2). Исследовав поведение фазовых
кривых в окрестности каждого положения
равновесия, можно решить глобальную
задачу качественной теории систем
дифференциальных уравнений
– установить поведение фазовых кривых
на всей фазовой плоскости.