- •Часть 2
- •Методические указания
- •Часть 2
- •Введение
- •Занятие № 15
- •Интегрирование дифференциальных
- •Биномов. Подстановки чебышева.
- •Подстановки эйлера
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятия № 16 приложения определенного интеграла
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 17 условный экстремум. Метод множителей лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения.Функции в замкнутой области
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •17.3. Задачи и упражнения для самостоятельного решения
- •Занятие № 18 дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным
- •Основные понятия
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 19
- •Основные понятия
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 20
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 21 дифференциальнЫе уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Основные понятия
- •I. Уравнения вида
- •II. Уравнения вида , явно
- •III. Уравнения вида , явно
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 22 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
- •Основные понятия
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 23
- •Решение Систем дифференциальных уравнений (метод исключения)
- •Литература: [1], с. 103-107.
- •Основные понятия
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 24 Понятие о теории устойчивости ляпунова
- •Основные понятия
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 25. Приближенное решение дифференциальных уравнений
- •Контрольные вопросы и задания
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Часть 2
- •В авторской редакции
Примеры решения задач
Пример 1. Найти интеграл .
Решение. Представим данный интеграл в следующем виде:
.
Отсюда видно, что под знаком интеграла стоит дифференциальный бином, при этом , , . Так как - не целое число, то данный интеграл не относится к первому случаю. - целое число, поэтому данный интеграл относится ко второму случаю и соответствующая подстановка: . Выражаем отсюда и находим . Таким образом,
.
Пример 2. Найти интеграл .
Решение. Представим данный интеграл в следующем виде:
.
Отсюда видно, что под знаком интеграла стоит дифференциальный бином, при этом , , . Так как - не целое число, то данный интеграл не относится к первому случаю. - не целое число, значит данный интеграл не относится ко второму случаю. - целое число, поэтому данный интеграл относится к третьему случаю и соответствующая подстановка: . Выражаем отсюда и находим . Таким образом,
.
Пример 3. Найти интеграл .
Решение. Это интеграл вида . В нашем случае , поэтому применим первую подстановку Эйлера: . Возведя обе части равенства в квадрат, получим . Выражаем отсюда и находим . Таким образом,
.
Пример 4. Найти интеграл .
Решение. Это интеграл вида . В нашем случае квадратный трехчлен имеет действительные корни и , поэтому применим третью подстановку Эйлера: . Возведя обе части равенства в квадрат, получим . Выражаем отсюда и находим . Таким образом,
.
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
Решить задачи: [3], 2076, 2078, 2080;
Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет, контрольная работа.
Занятия № 16 приложения определенного интеграла
Литература: [1], c. 429-448;
Контрольные вопросы и задания
1. Как вычислить с помощью определенного интеграла площадь плоской фигуры в случае задания ее границы в явном виде, в полярных координатах, параметрическими уравнениями?
2. Вычислите с помощью определенного интеграла длину дуги кривой в случае задания ее уравнением в явном виде, параметрическом виде, в полярных координатах?
3. Как вычислить объем тела по площадям поперечных сечений; объем тела вращения вокруг оси , оси ?
5. Как вычислить поверхность тела вращения?
6. Как найти величину работы с помощью определенного интеграла?
7. Найдите координаты центра тяжести плоской линии, плоской фигуры?
Примеры решения задач
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями
.
Решение. Изобразим данные линии и заштрихуем искомую площадь (рис. 1). Найдем значения параметра , соответствующие точкам пересечения данных кривых. Для этого решаем уравнение или и получаем (соответствует точке B) и (соответствует точке C). Точке A соответствует значение параметра так как и .
Р ис. 1
Площадь фигуры находим как удвоенную площадь верхней половины , интегрируя при этом в направлении возрастания от точки до точки :
.
Пример 2. Найти площадь фигуры, лежащей вне окружности и ограниченной кривой .
Решение. Так как функция имеет период , то при изменении от до радиус-вектор описывает два равных лепестка кривой. При этом допустимыми для являются те значения, при которых , откуда
.
Следовательно, один из лепестков описывается при изменении от до . Второй лепесток получается при изменении от до (рис. 10). Вырезая из лепестков части, принадлежащие кругу , мы получим фигуру, площадь которой нужно определить. Ясно, что искомая площадь . В свою очередь . Точкам и соответствует значение полярного угла . Найдем полярные координаты точки пересечения данных кривых. Для этого решим уравнение т.е. . Между и находится только корень . Таким образом, точке соответствует полярный угол .
Рис. 2
Далее определяем искомую площадь:
.
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и .
Решение. Так как при , то первая кривая лежит в верхней полуплоскости и проходит через полюс . Чтобы построить ее перейдем в декартовые координаты, пользуясь соотношениями и . Получаем . Приведя это уравнение к каноническому виду, будем иметь . Это уравнение окружности с центром и радиусом равным (рис. 11). Вторая кривая определена при т.е. при и также проходит через полюс . Преобразуем уравнение второй кривой
и перейдем в декартовые координаты
.
Приведем полученное уравнение к каноническому виду: . Видно, что это уравнение окружности с центром и радиусом равным (рис. 2).
Из вышесказанного следует, что полюс есть точка пересечения окружностей. Другая точка пересечения окружностей находится из решения уравнения или , откуда . Из рис. 3 видно, что искомая площадь S равна сумме площадей сегментов и , причем сегменты примыкают друг к другу по лучу . Дуга первого сегмента описывается концом полярного радиуса второй окружности при , поэтому его площадь
.
Р ис. 3
Дуга второго сегмента описывается концом полярного радиуса первой окружности при , поэтому его площадь
.
Таким образом, искомая площадь .
Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми и .
Решение. Определим область, в которой расположена первая кривая. Для этого решим неравенство . Получаем . Так как , то в декартовых координатах уравнение первой кривой запишется следующим образом или в каноническом виде – это уравнение окружности с центром и радиусом равным . Окружность расположена в правой полуплоскости и проходит через полюс (рис. 4).
Рис. 4
Для построения второй кривой решаем неравенство . Получаем . Видно, что при граничных значениях полярного угла , а при достигает максимального значения (рис. 4).
Из вышеизложенного следует, что одной точкой пересечения данных кривых является полюс. Найдем остальные точки пересечения кривых. Для этого решим систему
.
Здесь указан диапазон углов, общих для обеих кривых. Приравнивая правые части уравнений, получаем
,
,
, , .
Из рис. 12 видно, что искомая площадь равна сумме площадей и двух сегментов, причем сегменты примыкают друг к другу по лучу . Дуга первого сегмента описывается концом полярного радиуса при изменении полярного угла от до , поэтому
.
Дуга второго сегмента описывается концом полярного радиуса при изменении полярного угла от до , поэтому
.
Таким образом, искомая площадь равна
.
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
Решить задачи: [6], 6.456, 6.470, 6.478, 6.480, 6.485, 6.494, 6.502, 6.509, 6.512, 6.521, 6.534, 6.535, 6.537, 6.562, 6.575.
Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа, коллоквиум.