Занятие № 21 дифференциальнЫе уравнения, допускающие понижение порядка.

Литература: [1], c. 56-66.

Указание. Перед изучением этой темы повторите все виды уравнений первого порядка и способы их решения.

Основные понятия

В некоторых частных случаях удается понизить порядок дифференциального уравнения второго порядка. Зачастую оно в итоге приводится к дифференциальному уравнению первого порядка одного из изученных ранее типов. Рассмотрим наиболее типичные случаи.

I. Уравнения вида

Интегрированием обеих частей уравнения оно приводится к уравнению первого порядка . Повторно интегрируя полученное уравнение, находим общее решение исходного уравнения

.

Заметим, что аналогично решаются уравнения .

II. Уравнения вида , явно

не содержащие искомой функции

Такие уравнения допускают понижение порядка подстановкой , . Другими словами, данное уравнение равносильно системе дифференциальных уравнений первого порядка

.

Аналогично решаются уравнения вида .

III. Уравнения вида , явно

не содержащие независимой переменной

Уравнения такого вида допускают понижение порядка подстановкой , . Таким образом, данное уравнение равносильно системе дифференциальных уравнений первого порядка

.

Дифференциальные уравнения допускают понижение порядка такой же подстановкой:

, , и т.д.

Контрольные вопросы и задания

1. Какие уравнения второго порядка приводятся к уравнениям первого порядка?

2. Как решаются уравнения вида ?

3. Как решаются уравнения вида ?

4. Как решаются уравнения вида ?

5. Как решаются уравнения вида ?

6. Как решаются уравнения вида ?

7. Можно ли понизить порядок дифференциального уравнения вида ?

Примеры решения задач

Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее заданным начальным условиям , .

Решение. Интегрируя левую и правую части, находим . Повторное интегрирование приводит к общему решению . Учитывая начальные условия, записываем систему уравнений для определения постоянных и :

.

Подставляя найденные значения постоянных в общее решение уравнения, получаем искомое частное решение

.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение имеет вид . Положим . Тогда . Получаем дифференциальное уравнение первого порядка – линейное относительно неизвестной функции . Его общее решение , т.е. . Интегрируя это равенство, найдем общее решение исходного уравнения .

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Данное уравнение имеет вид . Подстановка , приводит его к виду , откуда , т.е. (это решение не удовлетворяет начальным условиям), или . Полученное дифференциальное уравнение первого порядка не относится к уравнениям известного нам типа. Перепишем его в виде . Это линейное уравнение относительно функции . Его общее решение имеет вид . Теперь необходимо решить дифференциальное уравнение . Но в общем виде решить его достаточно сложно. Так как нам нужно найти частное решение исходного уравнения, то воспользуемся начальными условиями для определения постоянной , полагая в последнем равенстве и . Приходим к равенству , из которого . Таким образом, нам достаточно решить уравнение , откуда . Учитывая начальное условие , находим и записываем искомое частное решение .

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи: №№ 4155, 4156, 4160, 4161, 4165, 4166, 6470, 4178 [2].

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа, типовой расчет.