6.3.1. Расчет вала на статическую прочность

Этот расчет проводится, чтобы убедиться в отсутствии пластических деформаций во время кратковременных перегрузок (пуск, реверсирование, торможение и др.).

При расчете в каждом из рассматриваемых сечений валов определяют нормальные и касательные напряжения при действии максимальных нагрузок.

Общий коэффициент запаса прочности по пределу текучести рассчитывается по формуле

, (6.21)

где S_Tσ – коэффициент запаса прочности по нормальным напряжениям:

, (6.22)

S_Tτ – коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям:

. (6.23)

Максимальное нормальное напряжение σ_max, МПа, определяют по формуле

, (6.24)

где – максимальный изгибающий момент при перегрузках, Н · м;

K_пик – коэффициент перегрузки, равный отношению (принимается по каталогу на выбранный электродвигатель или дается в задании);

– максимальная осевая сила (в косозубых и червячных передачах), Н;

W_изг – момент сопротивления сечения вала при изгибе, мм³;

А – площадь рассматриваемого поперечного сечения вала, мм².

Для сплошного круглого сечения вала А = π d²/4, а для вала со шпоночным пазом

, (6.25)

где d – диаметр вала в рассматриваемом сечении;

b – ширина шпонки (выбирается по табл. П.10 в зависимости от диаметра вала d);

t₁ – глубина шпоночного паза у вала (табл. П.10).

Момент сопротивления изгибу, мм³:

для сплошного круглого сечения вала

; (6.26)

для сечения со шпоночным пазом

. (6.27)

Момент сопротивления кручению, мм³:

для сплошного круглого сечения вала

; (6.28)

для сечения вала со шпоночным пазом

. (6.29)

6.3.2. Расчет вала на усталостную выносливость

Для каждого из опасных сечений необходимо произвести расчет на усталостную выносливость.

Общий коэффициент запаса прочности при этом определяется по формуле

, (6.30)

где [S] = 1,5 … 2 – коэффициент запаса прочности;

S_σ и S_τ – коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям:

; . (6.31)

Здесь σ_-1 и τ_-1 – пределы выносливости материала вала при симметричных циклах изгиба и кручения (значения σ_-1 и τ_-1 можно определить по таблицам 3.1 и 6.5 или по приближенным формулам , );

K_σ и K_τ – эффективные коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и кручении (табл. 6.6 … 6.8, рис. 6.1);

K_d – масштабный фактор, выбираемый в зависимости от материала и диаметра валов (табл. 6.9);

K_{F σ(τ)} – коэффициент, учитывающий влияние шероховатости поверхности (табл. 6.10);

ψ_σ и ψ_τ – коэффициенты чувствительности к асимметрии цикла нагружений (табл. 6.5);

σ_а – амплитуда циклов нормальных напряжений, равная наибольшим значениям напряжений σ_изг во время работы, МПа:

; (6.32)

τ_а – амплитуда циклов касательных напряжений, МПа:

, или , (6.33)

где М_изг и Т – изгибающий и крутящий моменты, действующие в соответствующем сечении вала;

σ_m – среднее напряжение цикла нормальных напряжений при нереверсивной работе редуктора; можно принимать σ_m = 0;

τ_m – среднее напряжение цикла касательных напряжений:

.

При расчете сечения вала, где устанавливаются детали с натягом, используют отношение K_σ / K_d и K_τ / K_d из табл. 6.11.

Таблица 6.6

Значения коэффициентов K_σ и K_τ для валов с галтелью (см. рис. 6.1)

		Kσ при σв, МПа				Kτ при σв, МПа
		500	700	900	1200	500	700	900	1200
2	0,01 00,2 0,03 0,05	1,55 1,8 1,8 1,75	1,6 1,9 1,95 1,9	1,65 2,0 2,05 2,0	1,7 2,15 2,25 2,2	1,4 1,55 1,55 1,6	1,4 1,6 1,6 1,6	1,45 1,65 1,65 1,65	1,45 1,7 1,7 1,75
3	0,01 0,02 0,03	1,9 1,95 1,95	2,0 2,1 2,1	2,1 2,2 2,25	2,2 2,4 2,45	1,55 1,6 1,65	1,6 1,7 1,75	1,65 1,75 1,75	1,75 1,85 1,9
5	0,01 0,02	2,1 2,15	2,25 2,3	2,35 2,45	2,5 2,65	2,2 2,1	2,3 2,15	2,4 2,25	2,6 2,5

Таблица 6.7

Значения коэффициентов K_σ и K_τ для валов со шпоночными пазами

σв	Kσ при выполнены паза фрезой		Kτ
	концевой	дисковой
500 700 900 1200	1,65 1,9 2,15 2,5	1,4 1,55 1,7 1,9	1,4 1,7 2,05 2,4

Таблица 6.8

Значения коэффициентов K_σ и K_τ для валов со шлицами и резьбой

σв, МПа	Kσ для		Kτ для шлицев		Kτ для резьбы
	шлицев	резьбы	прямобочных	эвольвентных
500 700 900 1200	1,45 1,6 1,7 1,75	1,8 2,2 2,45 2,9	2,25 2,5 2,65 2,8	1,43 1,49 1,55 1,6	1,35 1,7 2,1 2,35

Таблица 6.9

Ориентировочные значения K_d в зависимости от диаметра вала d_i

Напряженное состояние и материал	Диаметр вала, di, мм
	20	30	40	50	70	100
Изгиб для углеродистой стали	0,92	0,88	0,85	0,81	0,76	0,71
Изгиб для легированной стали	0,83	0,77	0,73	0,70	0,65	0,59
Кручение для всех сталей

Таблица 6.10

Значения коэффициента K_F

Вид механической обработки	Параметр шероховатости, Ra, мкм	KFσ при σв, МПа		KFτ при σв, МПа
		≤ 700	> 700	≤ 700	> 700
Шлифование тонкое	До 0,2	1	1	1	1
Обтачивание тонкое	0,2 … 0,8	0,99 … 0,93	0,99 … 0,91	0,99 … 0,96	0,99 … 0,95
Шлифование чистовое	0,8 … 1,6	0,93 … 0,89	0,91 … 0,86	0,96 … 0,94	0,95 … 0,92
Обтачивание чистовое	1,6 … 3,2	0,89 … 0,86	0,86 … 0,82	0,94 … 0,92	0,92 … 0,89

Таблица 6.11

Значения K_σ / K_d и K_τ / K_d для валов в местах установки деталей

Диаметр вала, di, мм	Kσ / Kd при σв, МПа				Kτ / Kd при σв, МПа
	500	700	900	1200	500	700	900	1200
30 40 50 60 70 80 90 100	2,6 2,75 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,35	3,3 3,5 3,7 3,85 4,0 4,1 4,2 4,3	4,0 4,3 4,5 4,7 4,85 4,95 5,1 5,2	5,1 5,4 5,7 5,95 6,15 6,3 6,45 6,6	1,5 1,65 1,75 1,8 1,85 1,9 1,95 2,0	2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,45 2,5 2,55	2,4 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,05 3,1	3,05 3,25 3,4 3,55 3,7 3,8 3,9 3,95

Примечание. При установке колец подшипников с натягом полученное значение нужно умножить на 0,9.

Упрощенный расчет вала на усталостную выносливость

Упрощенный проверочный расчет на усталость проводят в предположении, что нормальные напряжения (изгиба) и касательные напряжения (кручения) меняются по симметричному циклу. Одновременное действие крутящего и изгибающего моментов рассчитывается по гипотезе наибольших касательных напряжений. В этом случае эквивалентный момент в сечении

, (6.34)

где М_изг – суммарный изгибающий момент, геометрическая сумма изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях:

. (6.35)

Условие сопротивления усталости для круглого вала

, (6.36)

где σ_экв – эквивалентные напряжения в сечении, МПа;

М_экв – эквивалентный момент в сечении, Н ∙ м;

d – диаметр вала в сечении, мм;

[σ_-1]_и – допускаемое напряжение изгиба при симметричном цикле изменения напряжений, МПа.

Допускаемое напряжение изгиба равно, МПа,

, (6.37)

где σ_-1 – предел выносливости при симметричном цикле изменения напряжений, МПа;

[S_и] – допускаемый коэффициент запаса прочности ([S_и] = 1,6 … 2,5).

Значения предела выносливости при симметричном цикле изменения напряжений приведены в табл. 3.1 и 6.5, или приближенно их можно определить по зависимости

σ_-1 ≈ 0,45σ_в, (6.38)

где σ_в – временное сопротивление.

Пример 6.1. Рассчитать и сконструировать тихоходный вал одноступенчатого горизонтального косозубого цилиндрического редуктора по следующим данным: передаваемая мощность Р₂ = 13,27 кВт; частота вращения вала п₂ = 215,6 мин^-1; крутящий момент Т₂ = 587,8 Н · м; силы в зацеплении: окружная F_t1 = F_t2 = 4506 Н, радиальная F_r1 = F_r2 = 1671,5 Н, осевая F_a1 = F_a2 = 884 Н; ширина зубчатого колеса b_w2 = 64 мм; делительный диаметр колеса = 260,89 мм (обозначен здесь D₂, чтобы не спутать его с диаметром вала d₂ в этом же примере); угол наклона зубьев β = 11,11°; коэффициент пусковой перегрузки K_пик = 2,2.

В качестве материала для изготовления выбираем Сталь 40 (см. табл. 6.5), которая после нормализации имеет механические характеристики: σ_в = 580 МПа, σ_т = 350 МПа, τ_т = 210 МПа, σ_-1 = 290 МПа, τ_-1 = 160 МПа, ψ_σ = 0,05, ψ_τ = 0,02.

Конструирование тихоходного вала

Определяем диаметр выходного конца вала, принимая среднее из рекомендуемых значений [τ] = 17 МПа:

мм.

Выбираем из стандартного ряда d = 56 мм.

Диаметр d₂ является посадочным диаметром подшипника, поэтому принимаем d₂ = 60 мм; диаметр d₃ = d₂ + 2 t_в = 60 + 2 ∙ 3 = 66, принимаем d₃ = 65 мм; диаметр d₄ = d₃ + 2 t_в = 65 + 2 ∙ 2,5 = 70 мм.

Длину выходного конца вала l, мм, определяем по формуле (6.4):

l₁ = (1,0 … 1,5) d = 56 … 84 мм.

Примем l₁ = 80 мм.

Длину l₂, мм, под подшипник и манжетное уплотнение также рассчитываем по формуле (6.4):

l₂ = (1,0 ... 1,5) d₂ = 60 ... 90 мм.

Примем l₂ = 65 мм.

Длину l₃, мм, под ступицу колеса можно принять равной

l₃ = b_w2 + 10 ... 16 = 64 + 13 = 77 мм.

Величину l₄ можно принимать в пределах 10 ... 15 мм. Примем l₄ = 12,5 мм.

Длина l₅ рассчитывается по ширине подшипника В, которая определяется в зависимости от его внутреннего диаметра d₂ = 60 мм по табл. П.12. Выбрав предварительно радиальный шарикоподшипник средней серии, получим

l₅ = В + 2 ... 4 = 31 + 4 = 35 мм.

Размеры а, b и с (рис. 6.5), т.е. расстояния между точками приложения сил и реакций, определяются путем замера на эскизной компоновке. Точки А и С расположены в середине подшипников. Точка В расположена в середине ступицы колеса. Точка D расположена посредине размера l₁. Однако приблизительно их можно определить и расчетным путем:

мм;

мм;

мм ≈ 90 мм.

Рис. 6.5. Схема тихоходного вала одноступенчатого горизонтального

косозубого цилиндрического редуктора

Схема нагружения тихоходного вала

Как известно, в косозубом зацеплении на зубья колеса действуют три силы, в данном случае: окружная F_t2 = 4506 Н; радиальная F_r2 = 1671,5 Н; осевая F_a2 = 884 Н.

Нагрузка на концевом участке тихоходного вала от муфты для одноступенчатого редуктора определяется как

Н.

В соответствии с рекомендациями направление действия силы F_М выбираем в том же направлении, что и F_t2 – для увеличения изгибающего момента на ближней опоре (точка С).

Схема нагружения тихоходного вала представлена на рис. 6.6.

Рис. 6.6. Схема нагружения тихоходного вала