Вопросы для самопроверки
Что называется высказыванием?
Приведите пример высказываний. Какое высказывание называется истинным, а какое ложным?
Что называется составным высказыванием?
Перечислите виды логических операций над высказываниями и сформулируйте их определение.
Какие основные символы используются в теории высказываний?
Какие связки простейшие? Назовите другие связки.
Что такое таблица истинности высказывания и как она строится? Как еще называется эта таблица?
Какие существуют логические отношения между высказываниями?
Перечислите варианты импликации.
Сформулируйте основные законы алгебры высказываний. Как их доказать?
Что такое булева функция?
Как строится таблица истинности для булевых функций?
Что такое ДНФ и КНФ?
Дайте определение совершенного одночлена.
Приведите правило преобразования формул в СДНФ и СКНФ.
Как булевы функции связаны с формулами алгебры высказываний?
5. Теория графов
Теория графов — область дискретной математики, развивающая геометрический подход к изучению объектов. Граф есть совокупность точек, моделирующих объекты и называемых вершинами, и линий, соединяющих эти точки и моделирующих отношения между этими объектами. Если линии характеризуются определенным направлением, то граф называется ориентированным графом, а линии — дугами. Если для линий не существенно направление, то граф называется неориентированным графом, а линии — ребрами. Основы теории графов начал разрабатывать Эйлер, решавший задачу о разработке маршрута по мостам в Кенигсберге. Теория графов и связанные с ней методы исследования используются как в различных областях современной математики, так и в различных отраслях науки и техники, особенно в экономике и социологии. Следует отметить широкое применение теории графов в таких областях прикладной математики, как программирование, теория конечных автоматов.
5.1. Ориентированные графы
Говорят, что
задан ориентированный граф G
(directed graph), если заданы два множества:
непустое множество V={
,...,
}
—
множество вершин графа, и множество
X упорядоченных пар <
,
>,
где
,
V.
Это множество называется множеством
дуг (arcs)
графа.
Число вершин графа G=(V,E) называется его порядком.
Каждой дуге < , > при изображении орграфа ставится в соответствие линия со стрелочкой (Рис. 6). Говорят, что дуга < , > исходит из вершины (начало дуги) и заходит в вершину (конец дуги). Вершины и называются смежными. Дуга вида < , > называется петлёй. Дуга называется инцидентной вершине, если она заходит или исходит из неё. Смежность есть отношение между однородными элементами графа, тогда как инцидентность является отношением между разнородными элементами.
Для орграфа,
изображенного на рис. 6, множество вершин:
V={
,
,
,
,
},
множество дуг: X={<
>,<
>,<
>,<
>,<
>,<
>,<
>}.
— множество вершин, являющихся концами
дуг, выходящих из вершины
.
- множество вершин, являющихся началами
дуг, входящих в вершину
.
Если
и
=
(нет вершин, смежных с данной), тогда
вершина
называется изолированной. Степенью
вершины
называется число инцидентных ей дуг.
Другими словами это есть сумма количества
элементов множеств
и
.
Полустепенью исхода вершины ориентированного графа G называется число +( ) дуг орграфа , исходящих из (число элементов множества ).
Полустепень захода вершины (v) – количество дуг, заходящих в вершину (число элементов множества ). Петля увеличивает полустепень исхода вершины и полустепень захода вершины на 1.
Степень вершины орграфа равна сумме полустепеней исхода и захода.
Для орграфа,
изображенного на рис. 7, множество
,
множество
.
При удалении из множества вершин V некоторого подмножества вершин V" и инцидентных им дуг X", получим подграф G'(V', X') графа G(V, X). Подграфом называется часть графа, образованная подмножеством вершин вместе со всеми дугами, соединяющими вершины из этого множества. Подграф называется собственным, если он отличен от самого графа.