4.2. Свойства элементарных булевых функций

Для булевых функций справедливы равенства, аналогичные формулам, сформулированным для высказываний.

1. Функции: конъюнкция, дизъюнкция, сумма по модулю два, стрелка Пирса, штрих Шеффера обладают свойством коммутативности.

2. Функции: конъюнкция, дизъюнкция, сумма по модулю два обладают свойством ассоциативности и свойством дистрибутивности.

3. Закон де Моргана: , .

4. Закон двойного отрицания: = х.

5. Выражение дизъюнкции через конъюнкцию и суммы по модулю два: .

6. Выражение дизъюнкции через импликацию:

.

7. Выражение отрицания через штрих Шеффера, стрелку Пирса, сумму по модулю два и эквивалентность: .

8. Выражение конъюнкции через штрих Шеффера:

9. Выражение дизъюнкции через стрелку Пирса: .

10. Закон поглощения: , .

11. Закон склеивания: .

12. Для функций: конъюнкция, дизъюнкция и сумма по модулю два справедливы следующие тождества:

,

, .

13. Для функций конъюнкция и дизъюнкция справедливы тождества: .

Для доказательства справедливости любых из приведенных тождеств нужно составить таблицы истинности для булевых функций.

Булеву функцию любого числа переменных можно задать формулой, содержащей функции одной и двух переменных посредством подстановки одних булевых функций вместо переменных в другие булевы функции, т. е. посредством суперпозиции булевых функций.

4.3. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы алгебры высказываний

Конъюнктивным одночленом от переменных называется конъюнкция этих переменных или их отрицаний. Элементарной конъюнкцией называется конъюнктивный одночлен, в который переменные, в том числе и их отрицания, входят по одному разу. Например, — конъюнктивный одночлен, а , — элементарные конъюнкции.

Дизъюнктивным одночленом от переменных называется дизъюнкция этих переменных или их отрицаний. Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнктивный одночлен, в который переменные, в том числе и их отрицания, входят по одному разу. Например, , — элементарные дизъюнкции.

Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся дизъюнкцией элементарных конъюнктивных одночленов, называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) данной формулы.

Например: — ДНФ.

Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся конъюнкцией элементарных дизъюнктивных одночленов, называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ) данной формулы.

Например: — КНФ.

Для каждой формулы алгебры высказываний можно найти множество дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм. Для этого нужно:

1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы:

.

2 ) Заменить знак отрицания, относящийся к выражениям типа или , знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул:

.

3) Избавиться от знаков двойного отрицания.

4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.

Пример 4.1. Приведем формулу к ДНФ.

Решение.

Применим отрицание к переменным и сократим двойные отрицания:

.

Используем закон дистрибутивности, приведем формулу ДФН:

.