4.2. Свойства элементарных булевых функций
Для булевых функций справедливы равенства, аналогичные формулам, сформулированным для высказываний.
1. Функции: конъюнкция, дизъюнкция, сумма по модулю два, стрелка Пирса, штрих Шеффера обладают свойством коммутативности.
2. Функции: конъюнкция, дизъюнкция, сумма по модулю два обладают свойством ассоциативности и свойством дистрибутивности.
3. Закон де Моргана:
,
.
4. Закон двойного отрицания:
=
х.
5. Выражение дизъюнкции через конъюнкцию
и суммы по модулю два:
.
6. Выражение дизъюнкции через импликацию:
.
7. Выражение отрицания через штрих
Шеффера, стрелку Пирса, сумму по модулю
два и эквивалентность:
.
8. Выражение конъюнкции через штрих
Шеффера:
9. Выражение дизъюнкции через стрелку
Пирса:
.
10. Закон поглощения:
,
.
11. Закон склеивания:
.
12. Для функций: конъюнкция, дизъюнкция и сумма по модулю два справедливы следующие тождества:
,
,
.
13. Для функций конъюнкция
и дизъюнкция справедливы тождества:
.
Для доказательства справедливости любых из приведенных тождеств нужно составить таблицы истинности для булевых функций.
Булеву функцию любого числа переменных можно задать формулой, содержащей функции одной и двух переменных посредством подстановки одних булевых функций вместо переменных в другие булевы функции, т. е. посредством суперпозиции булевых функций.
4.3. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы алгебры высказываний
Конъюнктивным одночленом
от переменных
называется конъюнкция
этих переменных или их отрицаний.
Элементарной конъюнкцией
называется конъюнктивный одночлен,
в который переменные, в том числе и их
отрицания, входят по одному разу.
Например,
— конъюнктивный одночлен,
а
,
—
элементарные конъюнкции.
Дизъюнктивным одночленом
от переменных
называется дизъюнкция этих переменных
или их отрицаний. Элементарной дизъюнкцией
называется дизъюнктивный одночлен,
в который переменные, в том числе и их
отрицания, входят по одному разу.
Например,
,
— элементарные дизъюнкции.
Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся дизъюнкцией элементарных конъюнктивных одночленов, называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) данной формулы.
Например:
—
ДНФ.
Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся конъюнкцией элементарных дизъюнктивных одночленов, называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ) данной формулы.
Например:
—
КНФ.
Для каждой формулы алгебры высказываний можно найти множество дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм. Для этого нужно:
1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы:
.
2
)
Заменить знак отрицания, относящийся
к выражениям типа
или
,
знаками отрицания,
относящимися к отдельным переменным
высказываниям на основании формул:
.
3) Избавиться от знаков двойного отрицания.
4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.
Пример 4.1. Приведем формулу
к ДНФ.
Решение.
Применим отрицание к переменным и сократим двойные отрицания:
.
Используем закон дистрибутивности, приведем формулу ДФН:
.