4. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть событие А может осуществиться с одним и только с одним из n несовместных событий , образующих полную группу, т. е.

Тогда , где и при несовместны.

По теореме сложения вероятностей для несовместных событий имеем .

Используя теорему умножения, находим

, где . (3.10)

Формула (3.10) – это формула полной вероятности. Здесь события , i=1,2,…, n, играют роль причин (гипотез), событие А – следствие, связанное с каждой из этих гипотез.

Пример 3.9. На предприятии изготовляются изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 20% изделий от всего объема их производства, на второй -- 30%, на третьей -- 50%. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годности изделий: 95%, 98% и 97%. Требуется определить вероятность того, что наугад взятое изделие, выпущенное предприятием, окажется бракованным.

Решение. Введем следующие события:

А={наугад взятое изделие окажется бракованным},

={наугад взятое изделие произведено на i-той линии, i=1,2,3.}

По условию задачи =0,2, =0,3, = 0,5.

Контроль: + + =0,2+0,3+0,5=1.

Условные вероятности найдем как вероятности противоположных событий, а именно

=1-0,95=0,05; =1-0,98=0,02; =1-0,97=0,03.

Полную вероятность события А найдем по формуле (3.10)

Р(А)= + + =

По формуле полной вероятности, зная вероятности причин или гипотез , а также зная условные вероятности следствия , мы можем подсчитать полную безусловную вероятность следствия Р(А). Однако часто возникают практические задачи, в которых искомыми являются другие вероятности.

Введем следующие понятия.

• Если вероятность некоторого события А подсчитывается до проведения наблюдения или опыта с ним на основании логических рассуждений, то ее называют доопытной или априорной (a priori) вероятностью.

• Пусть теперь произведен опыт или серия опытов, которые приносят дополнительную информацию об изучаемом событии. С учетом этой информации пересчитывается вероятность события А. Такую вероятность назовем послеопытной или апостериорной (a posteriori) вероятностью.

По формуле полной вероятности, зная априорные вероятности причин, мы рассчитываем полную безусловную вероятность следствия. Рассмотрим обратную задачу.

• Пусть нам известны априорные вероятности причин и известны условные вероятности происхождения события А, реализованного под влиянием той или иной конкретной причины: .

• Пусть теперь наблюдение или опыт осуществился и событие А произошло. но мы не знаем, какая из n причин привела к реализации события А.

Тогда условные апостериорные вероятности реализации каждой из n возможных причин или гипотез можно найти по формуле Байеса:

(3.11)

Эта формула дает возможность количественно переоценить вероятности гипотез после опыта, т. е. после того, как событие А произошло.

Пример3.10. Пусть в условиях примера 3.9 наудачу взятое изделие, выпущенное предприятием, оказалось бракованным. Найти вероятность того, что это бракованное изделие произведено на первой, второй и третьей линиях.

Решение: Сохраняя введенные в примере 3.9 обозначения, считаем, что событие А ={наудачу взятое изделие оказалось бракованным} произошло. Для определения искомых вероятностей используем формулу Байеса (3.11):

Нетрудно видеть, что здесь