II. Вероятность события

Рассматривая различные случайные события при выполнении одних и тех же условий , нетрудно убедиться в том, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни большей, другие - меньшей. Для того, чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно необходимо с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число назовем вероятностью события. Таким образом, вероятность события есть численная мера степени объективной возможности происхождения этого события в некоторых условиях. Будем говорить, что при выполнении комплекса условий G событие А происходит с вероятностью P(A).

Сравнивая между собой различные события по степени их возможности, мы должны установить какую-либо единицу измерения. В качестве такой единицы измерения естественно принять вероятность достоверного события, т. е. такого, которое в результате опыта непременно должно произойти. Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, то все другие события – возможные, но не достоверные – будут характеризоваться вероятностями, меньшими единицы, составляющими какую-то долю единицы. Противоположностью по отношению к достоверному событию является невозможное событие, т. е. такое, которое в данном опыте не может произойти. Естественно приписать невозможному событию вероятность, равную нулю. Таким образом,

.

1. Классическое определение вероятности

Для определения вероятности события существуют различные подходы. Классическое определение вероятности сводит понятие вероятности к понятию равновероятности или равновозможности событий, которое считается основным и не подлежит формальному определению. Под равновозможными понимаются события, которые в силу тех или других причин (например, симметрии) не имеют объективного преимущества одно перед другим.

Если событие А подразделяется на m частных случаев, входящих в полную группу, состоящую из n равновозможных, попарно несовместных событий, то вероятность события А определяется как

. (2.1)

Иными словами можно сказать, что вероятностью события называется отношение числа исходов опыта, при которых наступает событие A, к общему числу возможных исходов опыта. При этом обязательным условием является равновозможость исходов опыта.

Пример 2.1. Правильная монета подбрасывается один раз. Найти вероятности событий: А = {появление герба}, В = {появление цифры}.

Решение. В этом простейшем примере , А= ; В= , где ; . Тогда по формуле (1.1) .

Пример 2.2. Стандартная игральная кость брошена один раз. Каковы вероятности событий: А = {выпадения четного числа очков}, В = {выпадения числа очков, кратного трем}, С = {выпадение дробного числа очков}, D = {выпадение любого числа очков}.

Решение. Пространство элементарных событий , где = {выпадение i очков, i = 1, 2,…,6}, . Здесь А = , =3; В = , ; С = , ; D = , .

По классическому определению (1.1) получаем: .

Классическое определение вероятности удобнее всего иллюстрировать на так называемой урновой модели. Рассмотрим примеры.

Пример 2.3. В урне находится 10 лотерейных билетов, из которых 4 выигрышные. Из урны, не глядя, наудачу вынимаются два билета. Найти вероятность того, что: а) оба билета выигрышные; б) оба билета без выигрыша; в) один билет выигрышный, а другой – нет.

Решение. Пусть A – событие, состоящее в том, что оба билета выигрышные; B – оба билета без выигрыша; С – один билет выигрышный, а другой – нет.

а) Выбор двух билетов из десяти можно осуществить n= =45 способами, а двух выигрышных билетов из четырех – m= =6 способами. Тогда по формуле (2.1) P(A)=6/45=2/15.

б) Имеется m=C =15 возможностей выбора билетов без выигрыша. В этом случае вероятность P(B)=15/45=1/3.

в) Существует 4 возможности вытащить выигрышный билет и 6 возможностей – билет без выигрыша. Согласно основному принципу перечисления, имеется m=64=24 возможностей вытащить один билет с выигрышем, а другой – без выигрыша. Тогда P(C)=24/45=8/15.

Пример 2.4. В партии из N изделий имеется M (M N) бракованных. Из партии наудачу выбирается k изделий. Определить вероятность того, что среди этих k изделий будет ровно r (r k) бракованных (событие А).

Решение. Число всех равновозможных исходов определяется как n = . Так как всего бракованных изделий M, то число способов, которыми можно вынуть r из них, равно . Каждая такая совокупность из r бракованных изделий будет дополняться k - r годными изделиями, которые будут выбираться из общего числа N - M годных изделий. Число способов выбора таких совокупностей равно .

Следовательно, по правилу произведения комбинаторики, число исходов, благоприятствующих появлению события А, равно . Отсюда

.

Для наглядности описанная в задаче схема выбора изображена на рис. 1.

Рис.1

Классическое определение вероятности нельзя применить к опыту с бесконечным числом «равновероятных» исходов. В этом случае целесообразно переходить на геометрический язык и пользоваться геометрическим подходом к определению вероятности.