Учебное пособие 2032
.pdfнулю при x 0 , но в начале координат функция y x3 не
имеет экстремума.
Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной. Например, непрерывная функция y x в
точке x 0 производной не имеет, но точка x 0 является точкой минимума. Можно утверждать, что непрерывная функция имеет экстремум или в точках, где производная функции равна нулю, или не существует. Подобные точки называются критическими точками первого рода.
Теорема. (Достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция y f x дифференцируема в некоторой
-окрестности критической точки x0 и при переходе через нее слева направо производная f x меняет знак с плюса на минус, то x0 есть точка максимума; если же изменение знака
происходит с минуса на плюс, |
то |
x0 |
является точкой |
||||||||||||||||
минимума. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 5.2. Найти экстремум функции у = |
|
|
3 x2 . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение: Областью определения функции является вся |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
числовая ось. Находим производную |
y |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
3 x |
2 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
3 3 x |
|
|
|
3 3 x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Производная непрерывной функции не существует при |
|||||||||||||||||||
x1 0 и равна нулю при x2 8 . |
Две |
|
|
критические |
точки |
разбивают всю область определения функции на три интервала
,0, 0,8 , 8, . Определим знаки производной на каждом из трех интервалов.
|
- |
0 |
8 |
Рис. 16.
71
Следовательно, |
x1 |
0 |
является |
точкой |
максимума, |
|||
причем, |
ymax 0 , а |
x2 |
8 |
является |
точкой |
минимума, |
||
ymin y 8 |
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
В некоторых задачах удобнее использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на определении знака второй производной.
Теорема. |
(Второй |
|
достаточный |
признак |
|||||
существования экстремума). Если в точке |
x0 |
первая |
|||||||
производная |
функции |
y |
f |
x |
равна |
нулю, |
а |
вторая |
|
производная |
в |
точке |
x0 |
существует и |
отлична |
от |
нуля |
||
f x0 0 , |
то |
при f |
x0 |
<0 |
в |
точке |
x0 функция |
имеет |
максимум, а при f x0 > 0 функция имеет минимум.
5.3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Рассмотрим функцию y f x , непрерывную на отрезке a,b . По известной теореме такая функция достигает своих
наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо в точках экстремумов, либо на граничных точках отрезка a,b .
Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на a,b :
1)найти критические точки первого рода функции на интервале a,b ;
2)вычислить значения функции в найденных критических точках;
3)вычислить значения функции на концах отрезка в
точках x a и x b ;
4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
72
Если функция y f x на отрезке a,b не имеет
критических точек, то в этом случае функция является монотонной, и свое наибольшее и наименьшее значения
принимает на разных концах отрезка a,b . Если же |
функция |
y f x имеет лишь одну критическую точку и она |
является |
точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.
Пример 5.3. Найти наибольшее и наименьшее значение
|
|
|
|
|
|
3x4 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
функций f |
x |
|
|
|
|
|
|
10 на отрезке |
4,2 . |
|
|
|
|
|||||||
16 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Решение. Находим критические точки данной функции |
|||||||||||||||||||
приравняв |
|
|
|
|
|
|
|
|
производную |
|
|
|
нулю: |
|||||||
|
|
3x3 |
|
3x2 |
|
|
3x2 |
0 . |
|
Критическими |
|
точками |
||||||||
f |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|||||||
4 |
|
2 |
4 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
оказались |
x1 |
|
2 и |
|
x2 |
0 . Находим значения функции |
в |
|||||||||||||
критических точках |
|
x1 , x2 |
и |
на |
границах |
отрезка |
x3 |
4 , |
||||||||||||
x4 |
2 : |
f |
2 |
11, |
f 0 |
10 , |
f |
4 |
6 , f |
2 |
3. |
Функция |
||||||||
f |
x приняла на отрезке |
4,2 |
наибольшее значение |
fнаиб |
6 |
|||||||||||||||
при x |
4 и наименьшее значение |
fнаим |
11 при x |
2 . |
|
5.4. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
График дифференцируемой функции y f x называется выпуклым на интервале a,b , если любая касательная на этом интервале будет располагаться выше графика функции. График функции y f x называется вогнутым на интервале a,b ,
если любая касательная на этом интервале будет располагаться ниже графика функции.
Точки графика непрерывной функции y f x ,
отделяющие участки вогнутости и выпуклости графика,
называется точками перегиба.
73
Интервалы выпуклости и вогнутости находят с помощью
теоремы. |
|
|
Теорема. |
Если функция y f x в любой точке |
|
интервала |
a,b |
имеет отрицательную вторую производную, |
т.е. f x |
0 , то график функции в этом интервале является |
выпуклым. Если же вторая производная положительная в
любой точке интервала |
a,b , |
то график |
функции |
является |
вогнутым на этом интервале. |
|
|
|
|
Для нахождения |
точек |
перегиба |
графика |
функции |
y f x используется следующая теорема. |
|
|
||
Теорема. Если в точке |
x0 вторая |
производная f x |
||
непрерывной функции y |
f x |
равна нулю или не существует, |
а при переходе через точку x0 вторая производная меняет знак, то точка графика с абсциссой x0 является точкой перегиба.
Точки, где функция непрерывна, а вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими
точками второго рода. |
|
|
|
|
|
|
||
Пример |
5.4. |
Исследовать |
график |
функции |
||||
y x4 |
6x2 |
8 на выпуклость и вогнутость. |
|
|
|
|
||
Решение. |
Находим, что y 4x3 |
12x , y |
12x2 |
12 |
|
|||
12 x2 |
1 12 x 1 x |
1 . Вторая производная существует на |
||||||
всей числовой оси и обращается в нуль при |
x1 |
1 и |
x2 |
1. |
||||
Вторая |
производная |
положительна |
при |
x |
, 1 |
1, |
, |
следовательно, на этих промежутках график является
вогнутым. Вторая производная отрицательна при x |
1,1 , где |
график функции является выпуклым. Точки x1 |
1 и x2 1 |
являются точками перегиба. |
|
5.5. Асимптоты графика функции и их построение
Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при
74
неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.
Асимптоты могут быть вертикальными и наклонными.
Вертикальные асимптоты появляются на границах области определения функции и в точках разрыва второго
рода. Говорят, что прямая |
x |
a является |
вертикальной |
||||||||||||||
асимптотой графика функции |
y |
f x |
, |
если |
lim |
f (x) |
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a |
0 |
|
или |
lim |
f (x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, |
кривая |
y |
|
1 |
|
|
имеет |
вертикальную |
асимптоту |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 1, |
так |
как |
lim |
|
1 |
|
|
|
, lim |
|
1 |
|
. |
Примером |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
1 |
x |
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
x 1 0 |
|
x |
1 0 |
|
|
|
асимптоты графика функции, возникающего на границе
области |
определения, является |
асимптота |
x |
0 графика |
|||||||
y |
ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 5.5. Исследовать функцию |
y |
e x |
на наличие |
|||||||
вертикальных асимптот. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решение. |
Функция y e x |
определена |
на |
множестве |
||||||
x |
,0 |
0, |
. Поскольку |
точка |
x 0 |
|
|
|
оказывается |
выколотой из области определения, то рассмотрим
левосторонний и провосторонний пределы функции при x |
0 |
|||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
lim e x 0 и |
lim e x |
. |
|
|
|
|||
x 0 0 |
x 0 0 |
|
|
|
|
|||
Функция имеет вертикальную асимптоту x |
0 . |
|
|
|||||
Наклонные асимптоты появляются при |
x |
и как |
||||||
наклонные прямые описываются уравнением вида y |
kx |
b . |
||||||
Для нахождения параметров k |
и b рассмотрим произвольную |
точку M x, y , расположенную на кривой, имеющей наклонную асимптоту.
75
y |
|
|
y kx b |
|
|
|
|
|
|
|
y f x |
|
S |
||
|
P |
|
M |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|
Рис. 17. |
||
Расстояние |
MP от точки M до асимптоты стремится к |
нулю при удалении точки на бесконечность. Удобнее, однако,
рассмотреть отрезок |
SM |
|
|
PM |
|
, |
|
являющийся |
гипотенузой |
||||||||||||
|
cos |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
прямоугольного треугольника |
MPS . |
|
Поскольку |
cos |
не |
||||||||||||||||
изменяется при x |
|
|
, то lim PM |
|
lim SM cos |
0 или |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim kx |
|
|
b |
f |
x |
0 . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выносим за скобки x и получаем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
lim x |
k |
|
|
b |
|
|
|
f x |
|
0 . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как величина x является |
|
бесконечно |
большой |
||||||||||||||||||
величиной, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim k |
|
|
b |
|
|
f x |
0 . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вычитаемое |
b |
может |
|
|
быть |
|
опущено |
как |
бесконечно |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
малая величина, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim k |
|
f x |
|
|
|
|
0 или k |
|
lim |
f x |
. |
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из условия lim kx b |
f x |
|
0 находим: |
|
x |
|
|
|
|
b |
lim |
f |
x |
kx . |
|
x |
|
|
|
Если хотя бы один из пределов, связанных с |
||||
вычислением коэффициентов k |
и b не существует или равен |
|||
бесконечности, то кривая |
y |
f |
x |
не имеет наклонной |
асимптоты. В частном случае, когда k 0 получаем горизонтальную асимптоту. Существуют функции, графики
которых имеют различные асимптоты при стремлении x |
к |
|||||||||||||||||||||||||||
и |
|
, |
поэтому |
при |
определении |
параметров |
|
k |
и b |
|||||||||||||||||||
необходимо вычислять соответствующие пределы при x |
|
|||||||||||||||||||||||||||
и x |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5.6. Найти асимптоты графика функции y |
xe2x . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. Поскольку |
lim |
|
xe2 x |
|
lim e2 x |
|
, то график |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
функции |
при |
x |
|
|
асимптоты |
|
не |
имеет. |
При x |
|
||||||||||||||||||
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
lim |
xe2 x |
|
|
|
lim e2 x |
0, |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b |
|
lim (xe2x |
0 |
x) |
|
lim xe2x |
|
lim |
x |
|
|
|
|
|
lim |
1 |
|
0. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x e2x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||
|
|
Следовательно, |
|
при |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
график |
имеет |
|||||||||||
горизонтальную асимптоту y |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Пример |
5.7. |
Найти |
асимптоты |
графика |
|
функции |
||||||||||||||||||||
y |
|
x |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Решение. Поскольку единственной точкой, выколотой из |
||||||||||||||||||||||||||
области определения функции, |
является x |
2 , то находим |
||||||||||||||||||||||||||
левосторонний и правосторонний пределы при x |
2 : |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
, lim |
x |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 x |
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
2 0 |
|
|
|
|
|
|
Найденные пределы говорят о наличии вертикальной асимптоты x 2 .
77
Для нахождения наклонной асимптоты вычислим пределы, соответствующие параметрам k и b :
k1,2 |
lim |
|
|
x |
1 |
lim |
1 |
|
0, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x x |
2 |
2x |
2 |
||||||||||
|
x |
|
|
x |
|
|
||||||||
b |
lim ( |
x |
|
1 |
|
0 |
x) |
lim |
x |
1 |
1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1,2 |
x |
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
x |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, |
при |
|
x |
|
|
график |
функции имеет |
|||||||
горизонтальную асимптоту y |
|
1. |
|
|
|
|
|
|||||||
5.6. Общая схема исследования функции и построения |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
графика |
|
|
|
|
|
||||
Исследование |
|
функции |
y |
f |
x |
производится по |
||||||||
следующему плану: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Нахождение области определения функции.
2.Исследование простейших свойств:
а) нахождение точек пересечения с осями координат,
б) определение наличия свойств четности или нечетности,
в) определение наличия периодичности.
3.Нахождение асимптот: а) вертикальных, б) наклонных.
4.Нахождение первой производной.
5.Нахождение критических точек первого рода.
6.Вычисление второй производной.
7.Нахождение критических точек второго рода.
8.Разбиение области определения функции на интервалы критическими точками первого и второго рода, а также точками, соответствующими вертикальным асимптотам.
9.Исследование поведения функции на полученных промежутках:
а) возрастание, убывание функции, б) вогнутость, выпуклость графика.
78
10 Исследование поведения функции в критических точках первого и второго рода.
а) экстремумы, б) точки перегиба.
11. Построение графика функции по результатам исследования.
Пример |
5.8. |
|
Исследовать |
функцию |
y |
|
x 2 |
|
и |
||||||||
|
|
x 2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
построить ее график. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Выполним все операции предложенной выше |
|||||||||||||||||
схемы исследования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Функция не определена при |
x |
1 и |
x |
1. Область |
|||||||||||||
определения функции D y : |
, 1 |
|
1,1 |
1, . |
|
|
|
|
|||||||||
2. Простейшие свойства. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) Если x |
0 , то y |
0 . График пересекает оси координат |
|||||||||||||||
только в одной точке O 0,0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) Функция y |
|
x 2 |
|
является четной, так как |
|
|
|||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y( |
x) |
|
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
|
y(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
x)2 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
( |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, график ее симметричен относительно оси
Oy .
в) Функция непериодическая. 3. Асимптоты.
а) Вертикальные асимптоты появляются при x 1 и x 1 :
lim |
x 2 |
|
, |
lim |
|
x |
2 |
, |
||
|
|
|
|
|
||||||
x 1 0 x 2 |
1 |
x |
1 0 x 2 |
1 |
|
|||||
lim |
|
x 2 |
|
|
lim |
|
x 2 |
|||
|
|
|
, |
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
x 1 0 x 2 |
1 |
|
x 1 0 x 2 |
1 |
79
б) Для нахождения наклонных асимптот находятся
пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
lim |
|
x2 |
1 |
|
lim |
|
|
x |
0 , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1,2 |
x |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
b |
|
lim ( |
|
x 2 |
0 |
x) |
lim |
|
|
x 2 |
|
|
1. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1,2 |
x |
|
|
x 2 |
1 |
|
|
|
|
x |
|
x 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Имеется наклонная (горизонтальная) асимптота y |
|
1 при |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Первая производная равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 |
|
2x(x 2 |
1) x 2 (2x) |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
x 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
(x 2 |
1)2 |
|
|
|
|
|
(x 2 |
1)2 |
|
|
|
|||||||||||||
5. Единственная критическая точка первого рода является |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
стационарной точкой |
x 0 . Значение функции в стационарной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
точке x |
|
0 равно y 0 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. Вторая производная равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y |
|
|
2x |
|
|
2(x 2 |
|
|
1)2 |
|
( 2x)2 x 2 |
|
1 2x |
|
|
|
6x 2 |
|
2 |
. |
||||||||||||||
|
(x 2 |
1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 2 |
1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
1 |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.Критические точки второго рода отсутствуют.
8.Разбиваем область определения функции стационарной точкой и точками, соответствующими вертикальным асимптотам и исследуем знаки первой и второй производной и находим знаки первой и второй производной в каждом промежутке:
y 0 |
y 0 |
y 0 |
y |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
x |
Рис. 18.
80