Учебное пособие 2032
.pdf7.4 Замена переменной в неопределенном интеграле
Одним из основных методов интегрирование является
метод замены переменной. |
|
|
|
|
|
||
Теорема. Пусть функция t |
x |
непрерывна |
и |
||||
дифференцируема, |
а |
функция |
g t |
непрерывна |
и имеет |
||
первообразную G t |
, |
т.е. G t |
g t |
или |
g t dt |
G t |
C , |
тогда
g |
x |
x dx |
G |
x C . |
Пример 7.2. Найти |
esin x cos xdx. |
|
||
Решение: Пусть t |
sin x , тогда dt |
cos xdx. Тогда |
||
esin x cos xdx et dt et |
C |
esin x |
C . |
|
Как отмечалось выше, вид неопределѐнного интеграла не зависит от выбора аргумента интегрирования, что используется при интегрировании способом введения новой функции под знак дифференциала. В данном варианте метода новая переменная интегрирования не обозначается новым символом, а берется в скобки для наглядности.
Пример 7.3. Найти |
|
ln x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ln x |
dx |
ln x |
dx |
|
|
ln x d ln x |
|
ln x 2 |
C . |
|
|||||||||
|
x |
x |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 7.4. Найти |
|
|
sin x cos xdx. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
sin x |
3 / 2 |
|
|
|||||
|
|
sin x cos xdx |
sin x 2 d sin x |
|
C . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Часто замена переменной выполняется в виде x |
t . |
|||||||||||||||||||
Тогда dx |
|
t dt и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111
f x dx |
f |
t |
t dt . |
Доказательство формулы производиться по аналогии с предыдущим посредством взятия производной от обеих частей:
f x dx |
|
f x dx |
x t |
f x |
t |
f t |
t |
t |
|
x |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
f t |
t dt |
f t |
t . |
|
|
|
|
Поскольку |
производные |
двух |
функций |
тождественно |
равны, то сами функции отличаются на постоянное слагаемое
C .
|
|
Пример 7.5. Вычислить интеграл |
|
|
|
|
x 2 |
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x |
|
3)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение: Положим x 3 |
|
t , |
тогда |
|
x |
|
t |
3. |
|
Отсюда |
|||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
t 3 |
2 |
|
|
|
|
|
6 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
dt |
1 |
|
|
dt |
t |
6 ln |
t |
|
|
C. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
3 2 |
|
|
|
t 2 |
|
t |
t 2 |
|
|
t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Возвращаясь к переменной x , окончательно получаем |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
dx x 1 6 ln |
|
x 1 |
|
|
9 |
|
|
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 3 2 |
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Пример 7.6. Вычислить интеграл |
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
e x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Решение: |
Обозначим |
e x |
t , |
Тогда |
x |
|
lnt, |
dx |
dt |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
d t |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
e x |
2 |
|
|
t 2 |
|
|
t t |
2 |
|
|
|
t 2 |
|
2t 1 1 |
|
|
|
t 1 2 |
1 |
|
|
112
1 |
ln |
t 1 |
1 |
|
C |
1 |
ln |
|
|
t |
|
C |
1 |
|
ln |
|
e x |
|
|
C . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
||||||
2 |
|
t 1 1 |
|
|
2 |
t |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
7.5. Правило интегрирования по частям |
|
|||||||||||||||||||
|
|
Пусть функции u |
u x и v v x имеют непрерывные |
||||||||||||||||||||
производные. Тогда d uv |
|
|
vdu |
udv . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Интегрируя обе части равенства по x , имеем: |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
d uv |
vdu |
udv , |
uv |
|
|
vdu |
udv или |
udv uv |
vdu . |
|||||||||||
|
|
Эта формула называется формулой интегрирования по |
|||||||||||||||||||||
частям. Формула сводит вычисление |
интеграла |
udv к |
|||||||||||||||||||||
вычислению интегралов |
vdu и |
dv , которое может оказаться |
|||||||||||||||||||||
проще исходного. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Интегрирование |
по |
|
частям |
требует представление |
подынтегрального выражения в виде произведения множителей u и dv . Существуют три типа интегралов, в которых по разным соображениям происходит выбор множителей u и dv в подынтегральных выражениях.
В интегралах |
первого |
типа |
P x ekx dx , |
P x sin kxdx , |
|||||
P x coskxdx, где |
P x |
многочлен, k |
число, |
в качестве |
u |
||||
выбирается многочлен |
P x , |
а в качестве dv |
все остальные |
||||||
сомножители. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 7.7. |
Вычислить |
неопределенный |
интеграл |
||||||
xex dx , используя метод интегрирования по частям. |
|
|
|||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xex dx |
u |
x |
du |
dx |
xex |
e x dx |
xex |
e x |
C. |
|
|
|
e x |
||||||
dv e x dx |
v |
|
|
|
|
|
113
Пример 7.8. Вычислить неопределенный интеграл
x cos xdx.
Решение:
x cos xdx |
u |
x |
du |
dx |
x sin x sin xdx x sin x |
cos x C. |
|
|
|
|
|||
dv |
|
cos xdx |
v |
sin x |
|
|
В некоторых интегралах приходится несколько раз |
||||||
интегрировать по частям. |
|
|
||||
Пример |
|
7.9. |
Вычислить неопределенный |
интеграл |
x2e x dx .
Решение:
x 2 e x dx |
u |
x 2 , |
|
du |
2xdx |
x 2 e x |
|
2xex dx. |
|||||
dv |
e x dx, |
v |
e x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Применим ко второму интегралу еще раз формулу |
|||||||||||||
интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2e x |
|
2xex dx |
u |
2x, |
|
du |
|
2dx |
x2e x |
2xex |
|||
|
dv |
|
e x dx, |
v |
|
e x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 e x dx x2e x |
2xex |
2e x |
|
C. |
|
|
|
|
|
|||
В |
|
интегралах |
второго |
|
типа |
|
P x arcsin xdx, |
||||||
P x arccos xdx , P x ln xdx , |
P x arctgxdx, |
|
P x arcctgxdx |
||||||||||
удобно |
положить |
dv |
P x , |
а |
в |
|
качестве |
u |
выбрать |
оставшиеся сомножители.
Пример 7.10. Вычислить неопределенный интеграл x4 ln xdx.
Решение:
114
|
|
|
u |
ln x, du |
dx |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
x5 |
|
||||
x 4 ln xdx |
x |
ln x |
dx |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
dv |
x 4 dx, v |
|
x5 |
5 |
5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x5 |
|
x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ln x |
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В интегралах третьего вида |
|
|
eax sinbxdx, |
eax cosbxdx в |
|||||||||||
качестве |
u |
выбирается |
|
|
eax . |
После |
двукратного |
интегрирования по частям решается уравнение относительно
исходного интеграла. |
|
|
|
|
|
||
Пример 7.11. |
|
Вычислить |
неопределенный |
интеграл |
|||
e x sin xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
e x sin xdx |
u e x , |
du |
e x dx |
e x cos x |
|
||
dv |
sin xdx, v |
cos x |
|
||||
|
|
|
|||||
e x cos xdx |
u |
e x , |
du |
e x dx |
e x cos x |
e x sin x |
|
dv |
|
cos xdx, v |
sin x |
||||
|
|
|
|
e x sin xdx.
Получили нетривиальный результат-уравнение относительно исходного интеграла. Обозначив его за J , получим уравнение
J |
e x sin x cos x |
J . |
|
|||
Перенося J в левую часть уравнения, имеем |
|
|||||
2J |
e x sin x |
cos x . |
|
|||
Окончательно: e x sin xdx |
e x |
sin x |
cos x |
C . |
||
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
115
7.6. Интегрирование рациональных функций. Понятие о рациональных функциях.
Многочленом степени n (или |
целой рациональной |
|||||||
функцией) называется функция вида |
|
|
|
|
||||
P x a |
a x |
a |
2 |
x2 |
... a |
n |
xn |
, |
n |
0 1 |
|
|
|
|
|
где n натуральное число, называемое степенью многочлена, ai постоянные коэффициенты, i 0,1,..., n.
Корнем многочлена Pn x называется такое значение x0 (действительное или комплексное) переменной x , при котором
многочлен обращается в нуль, |
т.е. Pn x0 |
0 . Следовательно, |
|||||||||
корни |
многочлена |
Pn |
x |
представляют собой решения |
|||||||
алгебраического уравнения n |
ой степени: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Pn x |
0. |
|
|
|
|
Теорема |
Безу: |
Если |
x1 |
является |
корнем многочлена |
|||||
Pn x , то многочлен делится без остатка на двучлен x |
x1 , |
||||||||||
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn x |
|
x x1 Pn 1 x , |
|
|||
где |
Pn 1 |
x |
многочлен |
степени |
n 1 . |
Теорема приводится |
|||||
без доказательства. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Всякий ли многочлен имеет корень? Ответ дает основная |
||||||||||
теорема алгебры. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Основная теорема алгебры: Всякий многочлен степени |
||||||||||
n |
имеет, |
по |
крайней |
мере, |
один |
действительный |
или |
||||
комплексный корень. |
|
|
|
|
|
|
|
116
Важнейшим следствием основной теоремы алгебры является терема о разложении многочлена на линейные множители.
Терема о разложении многочлена на линейные множители: Всякий многочлен Pn x можно представить в виде
|
|
|
Pn |
x an |
x |
x1 x x2 |
... x |
xn |
, |
|
|
|
где x1 , |
x2 ,…, xn корни многочлена, |
an |
коэффициент при |
|||||||||
xn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
в |
разложении |
многочлена |
Pn |
x |
на |
линейные |
|||||
множители |
x |
xi |
какой-нибудь корень встречается k |
раз, то |
||||||||
корень |
называется |
|
корнем |
кратности |
k . |
Если |
корень |
|||||
встретился один раз, что происходит при |
k |
1 , |
то |
корень |
||||||||
называется простым. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
С учетом кратности корней разложение многочлена |
||||||||||||
можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
x a |
n |
x |
x |
k1 |
x |
x |
k2 ... x |
x |
kr , |
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
где r |
число различных корней, корень x1 |
имеет кратность k1 , |
||||||||||||
корень |
x2 |
кратность |
|
k2 |
|
и |
т. |
|
д. |
Существенно, |
что |
|||
k1 k2 |
... |
kr |
n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя |
теорему |
о |
разложении |
многочлена |
на |
линейные множители можно доказать несколько теорем. Теорема 1. Если два многочлена тождественно равны
друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого многочлена.
Теорема 2. Если многочлен Pn x с действительными
коэффициентами имеет комплексный корень a ib , то он имеет и сопряженный корень a ib .
Последняя теорема говорит о том, что если коэффициенты многочлена действительны, то комплексные корни входят сопряженными парами. Перемножив линейные множители
117
x a ib x a ib |
x a 2 b2 x2 2ax a 2 b2 , |
получим квадратный трехчлен с действительными коэффициентами и отрицательным дискиминантом, который можно записать в виде
x2 px q ,
где p 2a, q a2 b2 . Следовательно, объединяя скобки,
соответствующие комплексно-сопряженными корнями многочлен степени n с действительными коэффициентами можно разложить только на линейные и квадратичные действительные множители:
P x |
a |
n |
x |
x k1 |
x |
x |
k2 |
... x 2 |
p x |
q S1 |
x2 |
p |
2 |
x |
q |
S2 |
... , |
n |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
где все трѐхчлены не имеют действительных корней. При этом
|
k1 |
k2 ... |
2 s1 |
s2 |
... n . |
Пример 7.12. Разложить на множители многочлен |
|||||
|
x5 |
4x4 |
4x3 |
x2 |
4x 4 . |
Решение: |
|
|
|
|
|
x5 4x4 4x3 x2 |
4x 4 x3 x2 |
4x 4 x2 4x 4 |
|||
x2 4x 4 x3 |
1 |
x 2 2 x 1 x2 |
x 1 . |
7.7. Дробно-рациональные функции. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
Дробно - рациональная функция или рациональная дробь
R x
|
P |
x |
|
|
a |
0 |
a x |
a |
2 |
x2 |
... |
a |
n |
xn |
|
R x |
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
Qm |
x |
|
|
b0 |
b1 x |
b2 x2 |
... |
bm xm |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
называется правильной, |
если степень числителя n меньше |
||||||||||||||
степени знаменателя m . |
Если n |
m , то рациональная дробь |
|||||||||||||
называется неправильной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
118
Всякую неправильную дробно-рациональную функцию путѐм деления числителя на знаменатель всегда можно представить, в виде суммы многочлена N x и правильной рациональной дроби:
R x N x |
Pk |
x |
k m . |
|
Qm x |
||||
|
|
Пример 7.13 Представить неправильную рациональную
x3
дробь в виде суммы целой части от деления x 2 1
(многочлена) и правильной рациональной дроби Решение: Разделив числитель на знаменатель, выделим
целую часть:
|
|
|
x3 |
|
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
x3 |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x3 |
x |
|
x |
|||
В результате получим |
|
|
|
|
|
. |
||||
x 2 1 |
x 2 1 |
Интегрирование многочлена не представляет труда, поэтому рассмотрим интегрирование правильной рациональной дроби.
Среди правильных рациональных дробей можно выделить четыре типа дробей, называемых простейшими:
|
A |
|
A |
|
Ax B |
|
|
|
|
Ax |
B |
|
|||
1. |
|
, 2. |
|
, 3. |
|
|
|
, 4. |
|
|
|
, |
|||
x a |
x a k |
x2 |
px q |
x2 |
px q k |
||||||||||
где A, B, p, q |
действительные числа, а трѐхчлен |
x2 px q |
|||||||||||||
имеет отрицательный дискриминант, т.е. |
|
p2 |
|
q |
0 . |
|
|
||||||||
4 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Простейшие дроби интегрируются несложным образом:
119
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
dx A |
|
|
Aln |
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a k 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
dx A x a k d x a A |
|
|
C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
k |
1 x |
a k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
Ax |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x 2 |
|
px |
|
q |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
px |
|
|
p 2 |
|
q |
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ax |
|
|
|
|
B d x |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
p |
|
2 |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Произведем |
|
|
замену |
|
переменной |
|
|
t |
x |
|
|
|
p |
, |
|
dt |
|
dx, и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|||
обозначим положительную постоянную величину |
q |
|
|
|
|
|
2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A t |
p |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Ax |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ap |
|
dt |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x2 |
px q |
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
2 |
|
|
|
t 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
t 2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
|
d t 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
Ap |
|
|
1 |
arctg |
t |
|
|
|
|
|
A |
ln t 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
t 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
p |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Ap |
1 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ap |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
ln x |
|
px |
|
q |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
C. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4. Простейшие дроби четвертого типа сводятся с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
помощью замены переменной t |
|
x |
|
|
p |
, dt |
|
|
|
dx к сумме двух |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интегралов
120