Учебное пособие 2032
.pdf
|
tgx |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ctgx |
|
cosx |
|
|
cosx sin x |
cosx sin x |
|
|
sin x 2 |
cosx 2 |
|
|
1 |
|
. |
|
||||
|
sin x |
|
|
|
|
sin x 2 |
|
|
|
|
sin x 2 |
|
sin2 x |
|
||||||
|
ctgx |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3.4. Обратные функции. Производная обратной |
|
|
|
||||||||||||||||
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пусть задана функция |
y |
f x |
с областью определения |
||||||||||||||||
D и множеством значений E . Если каждому значению |
|
y |
E |
|||||||||||||||||
ставится в |
|
соответствие |
единственное |
значение |
|
x |
D , |
то |
||||||||||||
определена функция x |
y |
с областью определения E |
и |
|||||||||||||||||
областью значений D , называемая обратной по отношению к |
||||||||||||||||||||
функции y |
|
f x . Про функции |
|
y |
f x |
и |
x |
y говорят, |
что они взаимно обратные. Если возможно решить уравнение
y f |
x |
относительно |
x , то по исходной функции можно |
|||||||||||||
найти обратную функцию. Например, для функции |
y |
|
3x |
|||||||||||||
обратной функцией будет функция |
x |
1 |
. Однако, если, |
как |
||||||||||||
|
3y |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обычно, |
независимую |
переменную |
обозначить через |
|
x , а |
|||||||||||
зависимую |
переменную |
через |
y , |
|
то |
функция, обратная |
||||||||||
функции |
y |
f x , запишется |
в |
виде |
y |
x . |
В последнем |
|||||||||
примере для функции y |
|
3x обратной будет функция y |
|
1 |
. |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
||
Для существования взаимно однозначного соответствия |
||||||||||||||||
между |
множествами |
E |
и |
D |
необходима |
монотонность |
функции. Если функция возрастает (убывает), то и обратная функция тоже возрастает (убывает). Следует отметить, что если графики взаимно обратных функций y f x и x y
41
совпадают, то графики функций y f x и y x симметричны относительно биссектрисы угла первой четверти.
Теорема. Если функция y f x строго монотонна на промежутке a,bи имеет неравную нулю производную f xв
любой |
точке этого промежутка, |
то |
обратная ей функция |
||||
x |
y |
также имеет производную |
|
y |
в соответствующей |
||
точке, определяемую равенством |
x |
|
|
1 |
. |
||
|
|
|
|||||
|
f |
x |
Используем теорему о дифференцировании обратной функции для нахождения производной логарифмической
функции |
y |
log a x . Рассмотрим функцию |
y |
|
a x с известной |
||||||
производной |
a x |
a x ln a . |
Тогда для |
обратной |
функции |
||||||
x log a y |
можно |
указать |
производную |
x |
1 |
1 |
. |
||||
|
|
|
|
||||||||
|
y |
|
a x ln a |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поменяв a x |
на y , затем, перейдя к привычным обозначениям |
для аргумента и функции, получим:
loga x |
1 |
. |
|
|
|||
x ln a |
|||
|
|
В частном случае для натурального логарифма имеем:
|
ln x |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
Аналогичным |
образом |
могут |
быть |
получены |
производные обратных тригонометрических функций.
Например, для |
|
функции y |
|
arcsin x |
|
обратной |
функцией |
|||||||||||||||||||
является функция x |
sin y . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
arcsin x |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
cos y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
sin y |
|
1 |
sin |
2 |
y |
1 x |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Подобным образом получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
arccos x |
|
|
1 |
|
|
, |
arctgx |
|
1 |
, |
arcctgx |
|
|
1 |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 x 2 |
1 |
|
|
x 2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42
3.5. Сложные функции. Производные сложных функций
Пусть y f u |
и |
u |
x , |
тогда |
y f u x |
является |
||
сложной |
функцией |
с |
промежуточным |
аргументом u |
и |
|||
независимым аргументом x . |
|
|
|
|
|
|||
Теорема. Если функция u |
x имеет производную ux |
в |
||||||
точке x , |
а функция |
y |
f u |
имеет производную |
yu в точке |
u |
x , то сложная функция |
y |
f u x |
имеет производную |
|||
|
y x |
в точке x , находящуюся по формуле |
|
||||
|
|
|
y x |
yu |
u x . |
|
|
|
|
Пример 3.1. Найти производную от функции y esin x . |
|||||
|
|
Решение: Поскольку u sin x , то |
dy |
eu u eu , а |
|||
|
|
du |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
sin x |
cos x . Согласно формуле производной сложной |
||||
|
|
||||||
|
dx |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
функции имеем |
|
|
|
|
|||
|
|
|
esin x |
esin x cos x . |
|
3.6.Гиперболические функции и их производные
Вмеханике встречаются гиперболические функции,
определяемые следующими |
формулами: |
гиперболический |
|||||||
|
shx |
e x |
e |
x |
|
|
|
|
|
синус - |
|
|
|
, |
|
гиперболический |
косинус (цепная |
||
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- chx |
e x |
e |
x |
|
|
|||
линия) |
|
|
|
|
, |
гиперболический тангенс - |
|||
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43
thx |
shx |
|
e x |
e |
x |
, |
гиперболический |
котангенс |
- |
||||
chx |
e x |
e |
x |
||||||||||
cthx |
|
chx |
|
e x |
e |
|
x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
shx |
|
e x |
e |
|
x |
|
|
|
Между гиперболическими функциями существуют соотношения, аналогичные соотношениям между тригонометрическими функциями:
|
|
|
|
|
|
|
|
ch2 x |
|
sh2 x |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
sh x |
|
y |
shx |
|
chy |
shy |
chx ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ch x |
|
y |
chx |
|
chy |
shx |
shy ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
th x |
y |
|
|
|
thx |
thy |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
thx |
|
thy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sh2x |
2shx chx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ch2x |
|
ch 2 x |
|
|
sh2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Найдем производные гиперболических функций: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
e |
x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
shx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
chx ; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
chx |
|
e x |
e |
x |
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
e |
x |
|
shx ; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
thx |
shx |
|
|
|
shx |
chx |
shx chx |
|
|
|
|
|
|
ch 2 x |
sh2 x |
|
1 |
|
; |
|||||||||||||
chx |
|
|
|
|
ch 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch 2 x |
ch 2 x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
cthx |
|
chx |
|
|
chx |
shx |
chx shx |
|
|
|
sh |
2 x |
ch 2 x |
|
|
1 |
|
. |
||||||||||||||
|
shx |
|
|
|
|
sh |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh2 x |
|
sh2 x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44
3.7. Таблица производных
Таблица 1.
|
|
y x |
|
y |
|
|
x |
|
|
|
y x |
|
y |
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
c |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
tgx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
||||||||
2. |
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
12. |
ctgx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
13. |
arcsin x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
x 2 |
|||||||||
4. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
14. |
arccos x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x 2 |
||||||||||||
5. |
a |
|
|
x |
a |
|
x |
|
ln a |
15. |
arctgx |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x 2 |
|||||||
6. |
e |
x |
e |
x |
|
|
|
|
|
16. |
arcctgx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x 2 |
|||||||
7. |
loga x |
|
|
|
1 |
|
|
|
17. |
shx |
chx |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8. |
ln x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
18. |
chx |
shx |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
sin x |
cos x |
|
|
19. |
thx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch 2 x |
||||||||
10. |
cos x |
|
|
|
sin x |
20. |
cthx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh2 x |
3.8.Метод логарифмического дифференцирования
Внекоторых случаях перед нахождением производной можно прологарифмировать исходную функцию и только после этого дифференцировать. Данный метод называется
45
логарифмическим |
дифференцированием. |
Метод |
|
|
|
|
|
логарифмического |
дифференцирования облегчает |
взятие |
производной функции, содержащей большое количество
множителей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример |
|
3.2 |
Найти |
производную |
функции |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
sin2 x |
3 |
|
4 |
x 5 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
ctg |
3 x |
2 x 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Обычный вариант нахождения производной с помощью правил дифференцирования оказывается достаточно громоздким, поэтому предварительно прологарифмируем функцию:
|
ln y |
2 ln sin x |
|
|
5 |
|
ln 4 |
x |
|
|
|
3ctgx |
x |
1 ln 2 . |
|||||||||||||
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Продифференцируем данное равенство по x : |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
2 cos x |
5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
ln 2 . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y |
|
sin x |
3 4 |
x |
|
|
|
sin2 x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Выражаем производную: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
y |
y |
|
2cosx |
- |
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|
- ln2 |
, |
|
||||||||||
|
|
sinx |
3 4 - x |
|
|
|
|
sin2 x |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y |
|
sin 2 |
x |
3 |
4 |
|
x 5 |
|
|
|
2cosx |
- |
5 |
|
|
3 |
- ln2 . |
||||||||||
|
ctg |
3 x |
2 x 1 |
|
|
sinx |
|
3 4 - x |
|
|
sin2 x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Метод логарифмического дифференцирования оказывается единственным способом нахождения производной
для показательно-степенной функции y u x v x:
ln y v lnu , |
y |
v ln u v |
u |
, y y v ln u v |
u |
, |
|||
y |
u |
u |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y u v v |
ln u v |
u |
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
u |
|
|
46
|
Пример 3.3 Найти производную функции y |
x4 |
1 sin x . |
||||||
|
Решение. Воспользовавшись предыдущей формулой, |
||||||||
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x 4 |
1 |
sin x |
x 4 1 |
sin x |
cos x ln x 4 1 sin x |
4x3 |
||
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
x 4 |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3.9. Производная параметрически заданной функции
Пусть зависимость между аргументом x и функцией y задана параметрическим образом посредством двух уравнений
yy t , x x t ,
где t - вспомогательная переменная величина, называемая параметром. Параметр принимает непрерывный ряд значений из некоторого промежутка t1 t t2 .
Предполагается, что функции y y t и x x t имеют производные, причем последняя функция имеет обратную функцию t (x) , тогда y y (x) является сложной
функцией. По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
|
|
|
|
y'x y't |
' (x) . |
||
Воспользовавшись теоремой о производной обратной |
|||||||
функции, заменим |
|
на |
1 |
|
. В результате подстановки имеем |
||
x |
xt |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yx |
yt |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
xt |
Данная формула позволяет вычислять производную y x
от параметрически заданной функции, не находя непосредственной зависимости y от x .
47
|
Пример |
3.4 |
|
Найти |
|
производную |
y x |
параметрически |
||||||||||||||||
заданной функции |
|
x |
a cost, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y b sin t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Решение. |
|
Вычислим |
производные |
y't |
|
b cost, |
|||||||||||||||||
x't |
a sin t . Тогда y'x |
|
b cost |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример |
3.5 |
|
Найти |
|
производную |
y x |
параметрически |
||||||||||||||||
заданной функции |
|
x |
a(t |
|
sin t), . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
y a(1 cost). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Решение. |
Вычислим соответствующие |
производные |
|||||||||||||||||||||
yt |
a sin t , |
x |
a 1 |
|
cost . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
sin t |
|
|
2 sin |
|
cos |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||||
|
|
y'x |
|
|
2 |
2 |
ctg |
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
cost |
|
|
2 sin |
2 |
t |
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.10. Неявная функция и ее дифференцирование |
|
||||||||||||||||||||||
|
Неявно заданной функцией называется функция, |
|||||||||||||||||||||||
задаваемая |
уравнением |
|
|
F x, y |
|
0 , |
|
|
не |
|
разрешенным |
|||||||||||||
относительно |
y . Любую |
|
явно заданную |
функцию |
y |
f |
x |
|||||||||||||||||
можно записать как неявно заданную уравнением f |
x |
y |
0 . |
Переход от неявного задания функции к явному заданию часто
невозможен ввиду сложности связи переменных |
x и y , как, |
||||
например, в неявно заданной функции y |
sin xy |
2x y |
0 . |
||
Для того, чтобы найти производную неявной функции |
|||||
F x, y 0 , |
не |
преобразовывая |
ее |
в |
явную, |
продифференцируем обе части уравнения по x , считая, что y
есть функция от x . Полученное уравнение разрешается относительно y.
48
Пример 3.6. Найти производную функции, заданной
неявным образом: |
|
x |
|
y |
e xy . |
|
|
|
|
|||
Решение. Дифференцируем левую и правую части |
||||||||||||
уравнения по x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
y |
e xy |
y |
xy |
или y 1 |
xexy |
yexy |
1. |
||||
Разрешая |
уравнение относительно |
y , |
находим |
|||||||||
производную y |
|
yexy |
1 |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
xexy |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.11. Уравнение касательной и нормали к графику |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
функции |
|
|
|
|
Рассмотрим |
|
график |
функции |
y |
f x . |
Выберем точку |
||||||
M x0 , f x0 |
, |
принадлежащую кривой, |
и проведем через эту |
точку касательную. Касательная как наклонная прямая линия, проходящая через точку M , имеет уравнение вида
y f x0 k x x0 .
Угловой коэффициент касательной k равен производной функции, посчитанной в точке касания x0 , т.е. k f x0 . В результате получаем уравнение касательной к графику
функции в точке x0 |
(рис. 13) |
|
|
|
|
|
|
y f x0 |
f x0 x x0 . |
|
|||
y |
|
|
y f x0 f x0 x x0 |
|||
f x0 |
M |
|
y f |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
f x0 |
|
|
1 |
x x0 |
|
|
|
|
|||
|
|
f |
x0 |
|||
|
|
|
|
|
||
0 |
x0 |
|
|
|
x |
|
|
Рис. 13. |
|
|
|
|
|
49
Нормалью к кривой в точке M x0 , f x0 , принадлежащей
графику, называется прямая линия, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной. Поскольку угловые коэффициенты прямых, расположенных перпендикулярно, связаны соотношением
k1 |
1 |
, |
то |
уравнение |
нормали, |
проходящей через |
точку |
||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M x0 , |
f x0 |
, имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y |
f x0 |
|
|
|
1 |
x |
x0 . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
f |
x0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 3.7. Написать уравнение касательной и нормали |
|||||||||||||||||||
к графику функции y |
3x2 |
5x в точке M 1, |
2 . |
|
|
|
|
||||||||||||
Решение. Так как производная |
y |
6x |
5 в точке |
x0 |
1 |
||||||||||||||
равна 1, а значение функции |
y 1 |
|
2 , |
то |
уравнение |
||||||||||||||
касательной имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
1 |
|
x |
1 |
или y |
x |
3 . |
|
|
|
|
Уравнение нормали имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y |
|
|
2 |
1 |
x |
1 или y |
|
x |
1. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3.12. Производные высших порядков явно заданной |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции |
|
|
|
|
|
|
||||
Производная |
y |
f |
x |
является |
функцией |
от |
x |
и |
называется производной первого порядка.
Если функция f x дифференцируема, то производная
от производной определена, называется производной второго порядка и обозначается
y |
f x |
|
d 2 y |
|
d |
|
dy |
. |
|
dx2 |
|
dx |
|
dx |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
50 |
|
|
|
|
|