Учебное пособие 2032
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6t 6ln |
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C 2 x 33 x 6 6 x 6ln |
6 x 1 |
C . |
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Вычисление интегралов |
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осуществляется с помощью дробно-линейной подстановки |
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, где W |
является наименьшим общим кратным |
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чисел m, n,... . |
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Поскольку |
t является рациональной функцией, то и |
t является рациональной функцией. В результате получается интеграл от рационального выражения:
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Пример 7.25. Вычислить интеграл |
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2 dx. |
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Решение: |
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Поскольку |
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t 3 , x 2 xt3 |
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t 3 1 2t 3 |
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2 dt |
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12t 2 dt |
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Пример 7.26. Вычислить интеграл |
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Решение: Поскольку |
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Используем разложение рациональной дроби |
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В итоге имеем: |
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ln |
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2 |
x |
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2arctg |
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2 |
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x |
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C . |
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2 |
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x |
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2 |
x |
1 |
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2 |
x |
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Интегралы |
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вида |
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R x, |
ax2 |
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|
bx |
|
|
c dx |
с |
помощью |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
предварительного выделения полного квадрата |
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132
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b |
2 |
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4ac b2 |
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||||||||
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ax2 |
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bx c a x |
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D (D |
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) |
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2a |
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4a |
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|||||||||||
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|
и замены переменной |
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||||||||||||||||||||||||||
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x |
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|
b |
|
z; dz |
|
dx сводятся к одному из трех интегралов |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2a |
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R x; |
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2 |
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x2 dx , |
|
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|
R x; |
2 |
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x2 dx , |
R x; x2 |
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2 dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Указанные |
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интегралы |
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вычисляются |
с |
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помощью |
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тригонометрических подстановок. |
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|||||||||||
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Интеграл |
|
R x; |
|
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2 |
|
|
|
|
x2 |
dx |
|
|
|
рационализируется с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
помощью |
подстановки |
|
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|
x |
|
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sint , |
dx |
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costdt . Используя |
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|||||||
2 |
|
|
z 2 |
|
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2 1 |
sin2 t |
|
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|
|
|
cost , получим |
|
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||||||||||||
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R x; |
2 |
|
x2 |
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dx |
|
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|
R |
sint, |
|
cost costdt . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Пример 7.27. Вычислить интеграл |
9 |
x2 |
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dx. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
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Решение: |
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||
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2 |
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|
|
x |
3sint |
|
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2 |
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|
2 |
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|||||||||||||
9 |
|
x |
dx |
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
9 |
|
9sin |
|
|
t |
3costdt |
3 |
|
|
cos t |
dt |
|||||||||||||||||||||||||||||||
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dx |
3costdt |
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x |
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3sint |
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sint |
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||||||||||||||||||||
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arcsin |
x |
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1 |
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t |
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||||||||||||||
3 |
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sin t |
dt |
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3ln |
tg |
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3cost |
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C |
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3ln |
tg |
3 |
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|
sin t |
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2 |
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2 |
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arcsin |
x |
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||||||||||
|
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|
|
x |
|
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|
|
3ln |
tg |
|
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|
|
x |
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|
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|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
3cosarcsin |
|
|
|
|
C |
3 |
|
3 |
1 |
|
sin2 arcsin |
|
|
C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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3 |
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2 |
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|
|
3 |
|
|
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|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
|
x |
|
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|||||||||
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|||||||||||
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x |
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2 |
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||||||||||||||||
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3ln |
tg |
3 |
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3 |
1 |
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C. |
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Решение: |
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3tgt 3sin t dt |
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Вопросы для самопроверки |
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1. |
Дайте определение первообразной. |
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2. |
Каков геометрический смысл неопределенного |
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интеграла? |
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3. |
Перечислите свойства неопределенного интеграла. |
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4. |
Напишите таблицу интегралов. |
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|||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Выведите формулу интегрирования по частям. |
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6. |
Каковы частные случаи применения формулы |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интегрирования по частям? |
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7. |
Опишите варианты замены переменной в |
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неопределенном интеграле. |
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8. |
Сформулируйте теорему Безу. |
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9. |
Что называется корнем кратности k ? |
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10. |
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Чему обязательно |
равна |
степень многочлена Pn x |
при разложении его на множители?
11. О чем утверждается в теореме о комплексных корнях многочлена с действительными коэффициентами?
135
12.Сформулируйте теорему о разложении правильной рациональной дроби на простейшие.
13.Каковы простейшие дроби?
14.Опишите универсальную тригонометрическую подстановку.
15.Какая подстановка применяется , если подынтегральная функция нечетна отностительно sin x ?
16.Что называется дробно – линейной подстановкой при интегрировании иррациональных выражений?
17.Каковы варианты тригонометрических подстановок при интегрировании иррациональных выражений?
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Задачи для самостоятельного решения |
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Вычислить неопределенные интегралы |
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1. |
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1 |
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6x 2 C ). |
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2 |
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9x |
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2 |
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3 |
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3. |
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x |
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4. |
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4 dx (Ответ: |
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1 |
e x5 |
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C ). |
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1 |
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2 |
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5. |
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dx (Ответ: |
|
1 |
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ln x 3 |
C ). |
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x |
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3 |
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|||||||||
6. |
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xdx |
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(Ответ: |
1 |
|
arcsin |
|
x2 |
C ). |
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2 |
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||||||||||||||||||||
2 |
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|
x4 |
|
2 |
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||||||||||||
7. |
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dx |
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|
(Ответ: ln |
|
ln x |
1 |
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C ). |
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x 1 |
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ln x |
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136
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8. |
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xe5x dx (Ответ: |
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1 |
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5x |
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1 e5x |
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C ). |
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||||||
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9. |
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xdx |
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(Ответ: xtgx |
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ln |
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cos x |
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|
C ). |
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cos2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
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|
|
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sin 2x x |
2 |
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cos2x |
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
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10. |
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|
x |
2 cos2xdx (Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C ). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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2 |
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|
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4 |
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||||||||
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11. |
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x arctg xdx (Ответ: |
|
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x2 |
1 |
arctgx |
|
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x |
|
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C ). |
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2 |
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||
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12. |
arcsin xdx (Ответ: x arcsin x |
|
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1 |
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x2 |
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|
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|
C ). |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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13. |
|
|
x ln 3x |
|
|
2 dx (Ответ: |
x 2 |
|
2 |
|
|
ln 3x |
|
|
2 |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
x |
|
C ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
2 |
|
|
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9 |
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4 |
3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||
|
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14. |
e2x cos3xdx (Ответ: |
|
e2 x |
2 cos3x |
|
|
|
3sin 3x |
C ). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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13 |
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|
x |
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arcsin x |
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|
|
|||||||||||||||||||||||
|
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15. |
1 |
x2 dx |
(Ответ: |
|
1 |
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x2 |
|
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|
|
C ). |
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2 |
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2 |
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|
||||||||
|
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16. |
cos ln x dx (Ответ: |
|
|
x |
|
|
|
|
cos ln x |
|
|
|
|
sin ln x |
|
|
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|
C ). |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
||||||
|
|
17. |
|
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|
3x2 2x |
3 |
dx |
|
|
(Ответ: 3ln |
|
x |
|
|
|
|
ln |
|
x |
1 |
|
ln |
|
x |
|
1 |
|
C ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x x |
1 |
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|||||||||||||
|
|
18. |
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2x |
3 |
|
|
dx |
|
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|
(Ответ: |
|
|
|
|
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7 |
|
|
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2 |
|
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|
|
C ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
19. |
|
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x4 |
|
2x3 |
|
|
|
3x 4 |
dx (Ответ: |
|
x 2 |
|
2x |
|
|
|
4 |
ln |
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
|
|
2 |
ln x2 |
|
|
x |
1 |
|
|
|
8 |
|
|
|
arctg |
2x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
C ). |
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
3 |
3 |
|
|
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|
||||||||||||
|
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20. |
|
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|
x |
|
|
dx (Ответ: |
|
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x3 |
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|||||||||||||||||||||||
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1 |
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|
|
|
|||||
1 |
ln |
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
arctg |
2x |
1 |
|
|
|
C ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
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|
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|
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|
||||||||||||||||||
x 2 |
x 1 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
137
|
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|
3x |
1 |
|
|
|
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|
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|
1 |
ln x2 |
|
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|
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|
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|
|
3x |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
21. |
|
|
|
|
dx (Ответ: ln |
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x x |
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 x2 |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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||||||
3 |
arctg x |
|
C ). |
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|||||||||
2 |
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22. |
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dx |
|
(Ответ: |
|
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1 |
|
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x |
1 |
|
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1 |
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C ). |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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ln |
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arctg x |
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x4 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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4 |
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x |
1 |
|
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|
2 |
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|
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||||||||||||||||||
23. |
|
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|
dx |
|
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|
(Ответ: |
1 |
|
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2 tg x / 2 |
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1 |
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C ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
ln |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3sin x |
|
|
4 cos x |
|
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5 |
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tg x / 2 |
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|
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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dx |
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|
tg x / 2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
24. |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
(Ответ: |
|
ln |
|
|
|
|
|
|
C ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
|
4sin x |
|
7 cos x |
|
tg x / 2 |
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25. |
sin3 xdx (Ответ: |
|
cos x |
|
|
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|
cos3 x |
|
|
|
C ). |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
3 |
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||
26. |
sin3 x cos2 x dx (Ответ: |
|
cos5 x |
|
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|
cos3 x |
C ). |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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5 |
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3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||
27. |
cos3 x |
dx (Ответ: |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
C ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin 2 x |
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||
28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: |
|
|
1 |
ln1 |
5ctgx |
|
C ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5sin x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x |
|
cos x 2 |
|
|
|
|
|
|
tgx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
30. |
sin 3x sin 5xdx (Ответ: |
|
sin 2x |
|
|
sin8x |
|
|
|
|
C ). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||
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|
|
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|
x7 |
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
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|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||
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|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
arctg6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
31. |
|
|
|
|
|
dx (Ответ: |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x C ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||
32. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
dx (Ответ: 6( |
|
|
|
|
|
x 1 3 |
3 |
|
|
x 1 4 6 x 1 7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x |
1 |
|
|
6 |
|
|
|
|
x |
|
|
1 5 |
|
|
|
|
3 x |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
C ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
138
33. |
|
|
|
|
dx |
|
|
(Ответ: |
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
C ). |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
4x 7 3 |
|
|
|
|
|
3 x2 |
4x 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
34. |
|
|
|
dx |
(Ответ: |
|
|
|
|
|
|
ln x |
x2 |
5 |
|
C ). |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
x 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
35. |
|
|
|
|
|
|
|
dx (Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
49 49 |
|
|
|
x 2 |
C ). |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
49 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
2arcsin |
x |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
36. |
|
|
4x |
x2 dx |
(Ответ: |
|
4x |
x2 |
C ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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|
|
|
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||
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x 2 |
1 |
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x2 |
1 |
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|||||||
37. |
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dx (Ответ: ln |
x |
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|
x2 |
1 |
C ). |
||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x 2 |
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|
x |
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||||||||||||||||||||||||
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139
8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
8.1.Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Пусть произвольная функция y f x определена и непрерывна на отрезке a, b , a < b .
С помощью точек x0 a, x1, x2,..., xn b разобьѐм отрезок a, b на n частичных отрезков x0 , x1 , x1 , x2 ,…, xn 1 , xn
произвольным образом. Обозначим длину частичных отрезков x1 x1 x0 , x2 x2 x1 , ... xn xn xn 1 ,... . В каждом из частичных отрезков выберем произвольную внутреннюю точку
k |
xk 1 |
k xk |
(k=1,…, n ) и вычислим значение функции f(x) |
|||||||
в |
этих |
точках: |
f ( k ) |
(k=1,… n ). |
Умножим f ( |
k ) |
на |
|||
соответствующие длины отрезков |
xk : |
f ( k ) |
xk . |
|
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|||||
|
Составим сумму Sn |
всех подобных произведений: |
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|
n |
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Sn |
f ( |
k ) |
xk . |
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k |
1 |
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|
Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x) |
|||||||||
на данном отрезке. |
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|
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|||
|
Найдем предел интегральной суммы Sn |
при n |
, |
если |
длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю, т.е. max xk 0 . Если такой предел существует, т.е. не зависит от
способа разбиения отрезка на n |
частей и выбора точек внутри |
||
частичных отрезков, то этот предел |
и |
называется |
|
определенным интегралом от |
функции y |
f x |
на отрезке |
b
a, b и обозначается f x dx . Таким образом,
a
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