Учебное пособие 1874

нуль при х = 0, х = ±1. Как видно из построения графика методом вычитания, следует ожидать у функции наличия двух точек максимума. В данном случае их нетрудно найти; преобразуем выражение функции:

точкой минимума данной функции (но значение функции в этой точке, равное нулю, не есть ее наименьшее значение).

6.Некоторые сведения о рациональных функциях

6.1.Целые и дробные рациональные функции.

В п. 4.8 мы определили понятия целой и дробной рациональной функции от х; ц.р.ф. степени п задавались в виде

а д.р.ф. как частное от деления двух ц.р.ф.:

Ц.р.ф. определена при всех значениях аргумента, а д.р.ф. не определена только в нулях знаменателя.

При сложении, вычитании, умножении и делении рациональных функций вновь получаются рациональные функции. Здесь мы остановимся на вопросе о делении двух целых рациональных функций (или о делении двух многочленов от х).

Напомним сначала определение частного и остатка при делении натуральных чисел (п.4): если а и b два любых натуральных числа, то всегда можно найти два других числа q и r такие, что

a bq r

и r < b. Число q называется частным, a r остатком при делении а на b.

Весьма сходным образом мы определим теперь частное и остаток при делении двух многочленов. Пусть

86

соответственно частным и остатком при делении многочленов Рn(х) и Sm (x). Заметим, что, вместо условия «остаток меньше делителя» в случае чисел, для многочленов вводится условие «степень остатка меньше степени делителя».

В этом определении подразумевается, что равенство (6.1.3) имеет тождественный характер: если произвести действия умножения и сложения многочленов в его правой части, то получится многочлен с теми же коэффициентами при соответствующих степенях х, что и Рn(х).

Пример 1. В записи

6.2. Деление многочленов. Определение. Говорят, что многочлен Рn(х) делится на многочлен Sm (x) нацело, если существует многочлен Q (х) такой, что

Pn x Sm x Q x

(иначе: остаток при делении Рn(х) на Sm (x) равен нулю).

Следует поставить вопросы: всегда ли для двух многочленов Рn(х) и Sm (x) существуют частное и остаток, единственным ли образом определены частное и остаток? Не приводя доказательства, даем ответ на эти вопросы: каковы бы ни были два многочлена Рn(х) и Sm (x) (Sm (x) 0), существуют единственным образом определенные многочлены Q(х), R(х), являющиеся частным и остатком при делении Рn(х) на Sm (x).

Так как, очевидным образом, степень многочлена-произведения равна сумме степеней многочленов-сомножителей, то нетрудно сделать вывод: при

п>= т степень частного от деления Рn(х) на Sm (x) равна разности степеней

пт; при п < т частное тождественно равно нулю; в последнем случае

Pn(x) = Sm(x) 0 + Pn(x), т. е. R(x) = Pn(x)

(аналогично тому, как при делении 5 на 7 получим: 5 =0-7+5).

При п >= т наше утверждение о степени Q(х) выясняется из сравнения степеней многочленов в обеих частях равенства

Pn x Sm x Q x R x

87

Так как степень R(x) по определению меньше т, то она также меньше степени Sm(х) Q(х). Степень Sm(х) Q(х) должна равняться степени Рп(х), откуда степень

Q (х) равна п т.

Напомним на примере метод деления многочленов (деление «углом»). Пример 3. Найти частное и остаток при делении

Решение.

Ограничимся пояснением первых шагов: делим старший член делимого на старший член делителя; получаем 2х2. Умножаем делитель на 2х2 и результат подписываем под делимым. Вычитаем подписанный результат из делимого и снова делим старший член разности на старший член делителя... Процесс заканчивается, когда очередной остаток при вычитании имеет степень, меньшую степени делителя (или просто равен нулю).

Таким образом,

Если обе части равенства Р (х) = S (х) Q (х) + R (х), определяющего частное и остаток от деления Р (х) на S (х), разделить почленно на S (х), то получим равенство

которой степень числителя меньше степени знаменателя (правильная рациональная дробь). Это сходно с разложением числовой дроби (рационального числа) на целую и дробную части.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Сборник задач по математике для конкурсных экзаменов по математике во втузы / Под ред. Сканави М.И. М.: ВШ, 1980. 429 с.

2.Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. - М.: Просвещение, 1990. 416 с.

3.Никольский С.М., Потапов М.К. Алгебра: Пособие для самообразования. - М.: Наука, 1984. 288 с.

4.Олехин С.Н. и др. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: Справочник. - М.: Изд-во МГУ, 1991. 144 с.

5.Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений: Учеб. руководство. - М.: Наука, 1990. 96 с.

88

6.Система тренировочных задач и упражнений по математике / А.Я. Симонов и др. - М.: Просвещение, 1991. 208 с.

7.Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие / В.В. Вавилов и др. М.: Наука, 1987. 432 с.

8.Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие / В.В. Вавилов и др. М.: Наука, 1987. 240 с.

9.Литвиненко В.Н., Мордквович А.Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия. М.: Просвещение, 1991. 352 с.

10.Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа / Б.М. Ивлев и др. М.: Просвещение, 1990. 48 с.

89

СОДЕРЖАНИЕ

I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА ……………………………………….3

1.1.Натуральные числа …………………………………………………..3

1.2. Простые и составные числа. Признаки делимости ………………..5

1.3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное …….7 1.4. Целые числа. Рациональные числа …………………………………8

1.5. Десятичные дроби. Представление рациональных чисел десятичными дробями ………………………………………………11

1.6. Иррациональные числа. Действительные числа …………………..15 1.7. Числовая ось. Координаты точки на плоскости …………………...17 1.8. Степени с натуральными показателями …………………………….22

1.9.Степени с целыми показателями ……………………………………23

1.10.Корни ………………………………………………………………...24

1.11.Степени с рациональными показателями. Степени с действительными показателями ……………………………………27

2.ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ …………………………..29

2.1.Формулы сокращенного умножения ………………………………...29

2.2.Разложение многочлена на множители ……………………………...30

2.3.Дробные алгебраические выражения ………………………………..31

2.4.Радикалы из алгебраических выражении ……………………………33

2.5.Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби ………..36

3.ЛОГАРИФМЫ …………………………………………………………..39

3.1.Определение и свойства логарифмов ………………………………..39

3.2.Логарифмы по различным основаниям. Модуль перехода ………...44

4.ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ ……………………………………………….47

4.1.Величина. Числовые множества ………………………………………47

4.2.Определение функции …………………………………………………48

4.3.График функции. Способы задания функций ………………………...49

4.4.Элементарное исследование поведения функции ……………………51

4.5.Сложная функция ……………………………………………………….54

4.6.Обратная функция ………………………………………………………55

4.7.Функции нескольких переменных ……………………………………..57

4.8.Обзор элементарных функций …………………………………………59

4.9.Линейная функция ……………………………………………………....60

4.10.Квадратичная функция y=ax 2 ………………………………………...63

4.11.Степенная функция у = x n ……………………………………………65

4.12.Обратная пропорциональная зависимость. Степенная функция с рациональным показателем степени ………………………………...66

4.13.Показательная функция ………………………………………………...69

4.14.Логарифмическая функция ……………………………………………..71

90

5.ГРАФИКИ ФУНКИЙ ……………………………………………………….71

5.1.Преобразование графиков. Параллельный сдвиг графика ………………71

5.2.График квадратного трехчлена ……………………………………………73

5.3.Преобразование симметрии. Сжатие и растяжение графика ……………77

5.4.Построение графиков функций у = | f(x) |, y = ( |х| ), y = | f( |x| ) | ……..79

5.5.Сложение графиков ………………………………………………………...83

6.Некоторые сведения о рациональных функциях …………………………...84

6.1.Целые и дробные рациональные функции ………………………………..84

6.2.Деление многочленов ………………………………………………………85

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ……………………………………………………….87

91

Учебное издание

Пантелеев Игорь Николаевич Ястребков Виктор Николаевич

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Компьютерный набор И.Н. Пантелеева

ЛР №066815 от 25.08.99. Подписано к изданию 25.09.2001. Уч.- изд. л. 5,6. "C"

Издательство Воронежского государственного технического университета

394026 Воронеж, Московский просп., 14

92