Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1874

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

a 2	b2	,	6abx	,	ab
a 2	b2		ab ax bx		4cd

(и третье из выражений (2.3.1)).

Тождественные преобразования дробных алгебраических выражений имеют по большей части своей целью представить их в виде алгебраической дроби. Для отыскания общего знаменателя используется разложение на множители знаменателей дробей – слагаемых – с целью отыскания их наименьшего общего кратного. При сокращении алгебраических дробей может нарушаться строгая тождественность выражений: необходимо исключать значения величин, при которых множитель, на который производится сокращение, обращается в нуль.

Приведем примеры тождественных преобразований дробных алгебраических выражений.

Пример 1. Упростить выражение

2x2	a	x
			.
x2 a2	x a	a x	.

Решение. Все слагаемые можно привести к общему знаменателю х2 – а2 (удобно при этом изменить знак в знаменателе последнего слагаемого и знак перед ним):

2x2

a x a x x a

x2 a2

x a a x

x2 a2

2x2

ax a2 x2

ax x2

Наше выражение равно единице при всех значениях х, кроме х = а и х = – a (при этих значениях оно не

определено и сокращение дроби

– незаконно).

Пример 2. Представить в виде алгебраической дроби выражение

a2b

a a b

ab b2

a3 b3

Решение. За общий знаменатель можно принять выражение

a a3 b3 .

Находим последовательно:

a2b a3

a a b

ab b2

a3 b3

b2 a 2

b2 aba a b

a b3

a 2b

a 4 2a 2b2 b4

a 2

b2 2

a a3

a a3 b3

a a3

Упражнения:

1. Найти значения алгебраических выражении при указанных значениях параметров:

n m

при m = 2,

n = 1.

m n

б)

r 2

p - q - r

при p =

2qr

pqr

Разложить на множители:

а) x2

x y

2 ;

б)

a2b

ab2

a2c ac2

b2c

bc2

2abc .

Раскрыть скобки в выражении

5x2

3 2 .

a 2

Найти разложение степени бинома

Вычислить, пользуясь формулой бинома Ньютона, степени комплек-

сных чисел: а)

3 ; б)

5 .

В разложении

имеется член, подобный

pq; найти n и

этот член.

Упростить следующие рациональные алгебраические выражения:

; б) z 2

2 z 2

z 2

;

y 2

в) a6

;

г)

x y

x y 2

xy ;

x y

д)

2m 3n 2m 3n 3m 2n 3m 2n

13 m

2.4. Радикалы

из

алгебраических

выражении.

Алгебраические

выражения, в записи которых используются не только четыре рациональных действия, но также знаки радикала (из буквенных выражений), мы называем

иррациональными алгебраическими выражениями. Таковы, например,

выражения

ab x

b 2x .

;

a 1

3 x

При определении о. д. з. иррациональных алгебраических выражений следует учитывать, что выражения, находящиеся под знаком радикала четной степени, не должны быть отрицательными. При отыскании числовых значений

выражения при данных буквенных значениях параметров корни четной степени понимаются в арифметическом смысле.

Пример 1. Найти о.д.з. выражения

	2x a	x 4a
и его значение при x = 5, а = 1.
Решение. О.д.з. определяем из условий 2x			a		0 , x 4a 0 . Находим,
что о. д з. определяется неравенствами x		a 2 ,		x	4a . При вычислении
значения в заданной точке х = 5, а = 1 получаем

2x a		x 4a		x 5
				a 1

10 1 5 4 3 3 6 .

При преобразовании иррациональных алгебраических выражений используются все правила действий с корнями. Рассмотрим сначала возможные упрощения выражения типа ―корень из одночлена‖ или ―корень из частного двух одночленов‖. Будем говорить, что корень приведен к простейшей форме, если: 1) он не содержит иррациональности в знаменателе, 2) в нем нельзя сократить его показатель с показателем подкоренного выражения и, наконец, 3) все возможные множители вынесены из-под корня. Всякий данный корень может быть приведен к простейшей форме, т. е. заменен тождественно равным ему, но таким, который отвечает всем трем перечисленным условиям.

Пример 2.

Привести

простейшей форме следующие корни

a 0,

b 0 :

б) 10 a16

6 a9b15 ;

;

в)

3 256 a2b14 .

Решение. а) Сокращаем на 3 показатель корня и показатель степеней каждого из сомножителей подкоренного выражения

6 a9b15

a3b5 .

Выносим из-под знака корня множители а и b2:

6 a9b15 ab2

ab .

б) 10 a16

5 a8

5 a5a3b4

a 5

a3b4 ;

в) 3 256 a2b14

6 28 a2b14

3 24 ab7

323 2ab6b 2b2 32ab .

Корни, простейшие формы которых отличаются, быть может, лишь коэффициентами (числовыми или буквенными), принято называть подобными.

4 81a5

Например, корни 8 a 2b6 и

подобны, так как 8 a 2b6 = 4 ab3 ,

3a 4 a

3a 4

ab3 , а корни

a3b и a 4b3 не подобны, так как

a3b

= aab , а a 4b3 = a2bb .

При сложении и вычитании подобных корней все они приводятся к простейшей форме, а затем корень выносится за скобки.

Пример 3. Произвести указанные действия

		b
4 81a5b 8 256 a2b10	a2b	b	, a 0 , b 0 .
		a

Решение. Приведем каждый из корней к простейшей форме:

4 81a5b 3a 4

8 256a2b10

4 16 ab5 2b 4

a2b

a 4 ab .

Теперь находим (все корни оказались подобными)

4 81a5b

8 256 a2b10

a2b

= 3a 4 ab 2b 4

ab a 4

3a 2b a 4 ab 2 a b 4 ab .

При вынесении сомножителей из под знака корня четной степени необходимо помнить, что корень понимается в арифметическом смысле. Так,

a3b5

ab2

если знаки

а,

не

указаны,

то

следует

писать

не

ab , а

a3b5

. Здесь о. д. з. состоит не только из значений а

0, b

0, но и

из значений а < 0, b < 0. Поэтому

ab2

a3b5

ab2

Пример 4. Упростить выражение

4xy 4y2

4xy 4y2 ,

x 0 ,

y 0 .

Находим

4xy 4y2

x2 4xy 4 y2

x 2y 2

x 2y

Возможны следующие случаи:

2 y ,

тогда

4y ,

2 y ,

тогда

2x .

Итак,

4 y

2 y

4xy 4y2

2 y

x 0

Если не предполагать заранее, что x

0 , y

0 ,

то решение примера еще

усложнится, так как придется записать ответ в общей форме:


	x2	4xy 4y2		x2	4xy 4y2				,
	x2	4xy 4y2		x2	4xy 4y2	x 2y	x 2y		,
и	затем разбирать	четыре	возможных		случая: 1) x	2 y 0 ,		x	2 y 0 ;
2)	x 2 y 0 , x 2 y 0 ;		x 2 y 0 ,		x 2 y 0 ;	x 2 y 0 ,		x	2 y 0 .
Предоставляем завершить этот разбор читателю.

В примере, который мы сейчас решали, подкоренные выражения представлялись как точные квадраты некоторых двучленов очевидным способом. В некоторых случаях такое представление подкоренного выражения производится не столь очевидным образом. Так, иногда можно упростить радикалы вида

B C ,

записав A

B C в виде точного квадрата.

Пример 5. Упростить выражение

2x2 1 2x x2

1 .

Решение. Подкоренное выражение перепишем в виде

2x2

1 2x x2

1 x2

1 2x x2

1 x2

1 x .

Теперь имеем

2x2

1 2x x2

1 =

О д з. нашего выражения состоит из интервалов

1. Нетрудно заметить, что

1 > 0 при x

1, а при x

1 < 0. Поэтому окончательно имеем

1 ,

2x2

x2 1

1 .

Пример 6. Упростить числовые выражения:

2) 3 10 6

1) 3 2 2 ;

1 2

Решение. 1)

2 2

1 3

2) 3 10

В последнем случае удается записать подкоренное выражение как точный

куб.

2.5. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

При преобразовании дробного алгебраического выражения, в знаменателе которого записано иррациональное выражение, обычно стремятся представить дробь так, чтобы ее знаменатель был рациональным. Если А, В, С, D, ... –некоторые алгебраические выражения, то можно указать правила, с помощью которых можно освободиться от знаков радикала в знаменателе выражений вида

и т. д.

n B

B C D

3 B

Во всех этих случаях освобождение от иррациональности производится умножением числителя и знаменателя дроби на множитель, выбранный так, чтобы его произведение на знаменатель дроби было рациональным.

1)Для освобождения от иррациональности в знаменателе дроби вида A nB умножаем числитель и знаменатель на nB n 1 .

A n B n 1

n B

n B n 1

Пример 1.

4a b

2ab 3

4a 2c2 .

3 2ac

2ac

2) В случае дробей вида

умножаем числитель и

B C D

знаменатель на иррациональный множитель B CD или B CD соответственно, т. е. на сопряженное иррациональное выражение.

Смысл последнего действия состоит в том, что в знаменателе произведение суммы на разность преобразуется в разность квадратов, которая уже будет рациональным выражением.

Пример 2. Освободиться от иррациональности в знаменателе выражения:

а)

;

б)

y 2

Решение. а) Умножаем числитель и знаменатель дроби на выражение

x2 y2

x .

Получаем (при условии, что y

x2 y 2

x ;

y 2

б)

3 .

3) В случае выражений типа

C 3 D

3 B

C 3 D

знаменатель рассматривается как сумма (разность) и умножается на неполный квадрат разности (суммы), чтобы получить сумму (разность) кубов ((2.1.11), (2.1.12)). На тот же множитель умножается и числитель.

Пример 3. Освободиться от иррациональности в знаменателе выражений:

а)		3		;	б)		1		.
	3					3		3
		5
			1				a 2 b

Решение. а) Рассматривая знаменатель данной дроби как сумму чисел 35 и 1, умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности этих чисел:


		3 3 52
3	=	3 3 52			3 5	1			3 3 25		3 5		1	,

3 5 1		3		1 3 52 3					3		3
			5				5	1
			5				5	1		5		1

или окончательно:


										3 3 25				3 5	1	3			3
				3					=	3 3 25				3 5	1	3		25	3	5 1	;

		3 5				1							6						2
		3 5				1							6						2

		3		a2				2 3				4 3 b2					3 a2					3 b2
	1	3		a2				2 3			ab	4 3 b2					3 a2		2 3 ab 4			3 b2
б)			=																				.
									3					3
	3 a 23 b				3							3							a 8b
	3 a 23 b				3		a			2		3	b						a 8b
							a			2			b

В некоторых случаях требуется выполнить преобразование противоположного характера: освободить дробь от иррациональности в числителе. Оно проводится совершенно аналогично.

Пример 4. Освободиться от иррациональности в числителе дроби

																													a			b						a		b				.
																																		2b										.
																																		2b
																														a					b				a				b
Решение.										a					b					a				b		=				a					b				a				b												1								.
										a					b					a				b																															1
																2b
																2b											2b a b														a b											a b								a b
Упражнения:
1. Упростить выражения:
а)						x2					4								,				рассмотрев два случая:																							1)					x			0 и 2) x								0 ;

	x				x2					4 2						4
					x2					4 2
							2x
							2x

																												x					x2					1 x										x2		1
б)		x 1							x 1									x 1								:		x					x2					1 x										x2		1			;

		x 1							x		1
		x 1							x		1							x			2			1				x					x			2		1				x						x	2	1
																		x						1				x					x					1				x						x		1

	3 8										33 3															3 8

							3			5												5		8							3					5																					3 9
в)							3			5												5		8							3					5				3 9						2							2		9		3 9				.

																2 3 57																								3 3						4 2				4 2					3		81
																2 3 57																								3 3						4 2				4 2					3		81
2.		Найти										значение													выражения:															z3 a 2 3b 1 a2																		b2 z					b1 2 при
z a2 3b 1 2 , где a														0 и b								0 .
3. Освободить от иррациональности в знаменателе следующие
выражения:

а)				2a			1						;				б)									1											; в)										3 x			3				y					.
																																										3													3
			a 2																					2		3								5											x2											y 2
			a 2				1	a																2		3								5											x2				3 xy							y 2

3.ЛОГАРИФМЫ

3.1.Определение и свойства логарифмов. В соотношении

a x N

может быть поставлена задача отыскания любого из трех чисел a, N, х по двум другим, заданным. Если даны а и х, то N находят действием возведения в степень. Если даны N и х, то а находят извлечением корня степени х (или возведением в степень 1/х). Теперь рассмотрим случай, когда по заданным а и N требуется найти х.

Пусть число N положительно: N > 0, число а положительно и не равно единице: а > 0, а 1.

Опре де лен ие . Логарифмом числа N по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить число N; логарифм обозначается через loga N:

a	loga N	N	(3.1.1)

Таким образом, в равенстве (3.1.1) показатель степени х находят как логарифм N по основанию а. Записи

a x N и x loga N

(3.1.2)

имеют одинаковый смысл. Равенство (3.1.1) иногда называют основным тождеством теории логарифмов; в действительности оно выражает определение понятия логарифма. По данному определению основание логарифма а всегда положительно и отлично от единицы; логарифмируемое число N положительно. Отрица-

тельные числа и нуль логарифмов не имеют. Можно доказать, что всякое число N > 0 при данном основании

а(а > 0, а 1) имеет вполне определенный логарифм. Поэтому равенство a x a y влечет за собой х = у. Заметим, что здесь существенно условие а 1, в противном случае вывод х = у был бы не обоснован, так

как равенство 1x	1y верно при любых значениях х и у.
Пример 1. Найти log2 1 .
			8
Решение.		Для	получения числа	1	8	следует возвести основание 2 в
					8
степень –3:	2 –3	= l/23	= l/8. Поэтому log2	1	= –3.
				8

Можно проводить записи при решении таких примеров в следующей форме:

2x 1	1	3	2 3 ,	x	3 .
8	2

Пример 2. Найти log1 3 933 .

Решение. Имеем

		7 3
9 3 3 3231 3 37 3	13	7 3	log1 3 93 3 = 7 3 .
9 3 3 3231 3 37 3	13	;	log1 3 93 3 = 7 3 .

В примерах 1 и 2 мы легко находили искомый логарифм, представляя логарифмируемое число как степень основания с рациональным показателем В общем случае, например для log2 3, log3 5 и т. д , этого сделать не удастся, так как логарифм имеет иррациональное значение. Обратим внимание на один связанный с этим утверждением вопрос. В п. 1.11 мы дали понятие о возможности определения любой действительной степени данного положительного числа. Это было необходимо для введения логарифмов, которые, вообще говоря, могут быть иррациональными числами.

Рассмотрим некоторые свойства логарифмов.

Свойство 1. Если число и основание равны, то логарифм равен единице, и, обратно, если логарифм равен единице, то число и основание равны.

Доказательство. Пусть N = a. По определению логарифма имеем

a	loga a	a a		1	, откуда
a		a a			, откуда
								loga a = l.	(3.1.3)
	Обратно, пусть loga N = 1. Тогда по определению N = aloga N = а1 = а.
	Свойство 2. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.
	Доказательство. По определению логарифма aloga 1 = 1 = а0 (нулевая степень любого положительного
основания равна единице, (см. п.1.9. (1.9.1)). Отсюда
								loga l = 0 ,	(3.1.4)
что и требовалось доказать.
		Верно и обратное утверждение: если loga N = 0, то N = 1. Действительно,
имеем N = a			loga N			= а	0	= 1.
имеем N = a						= а		= 1.
		Прежде			чем			сформулировать следующее свойство	логарифмов,

условимся говорить, что два числа а и b лежат по одну сторону от третьего числа с, если они оба либо больше с, либо меньше с. Если одно из этих чисел больше с, а другое меньше с, то будем говорить, что они лежат по разные стороны от с.

Свойство 3. Если число и основание лежат по одну сторону от единицы, то логарифм положителен; если число и основание лежат по разные стороны, от единицы, то логарифм отрицателен.

Доказательство свойства 3 основано на том, что степень a x больше единицы, если основание больше единицы и показатель положителен или основание меньше единицы и показатель отрицателен. Степень меньше единицы, если основание больше единицы и показатель отрицателен или основание меньше единицы и показатель положителен.

Требуется рассмотреть четыре случая:
a	1,	N	1,	loga	N	0 ;
a	1,	N	1,	loga	N	0 ;
a	1,	N	1,	loga	N	0 ;
a	1,	N	1,	loga	N	0 .

Ограничимся разбором первого из них, остальные читатель рассмотрит самостоятельно.

Пусть a 1, N 1; тогда в равенстве a	loga N	= N показатель степени не может быть ни отрицательным,

ни равным нулю, следовательно, он положителен, т. е. Loga N > 0, что и требовалось доказать.

Пример 3. Выяснить, какие из указанных ниже логарифмов положительны, какие отрицательны: a) log1215; б) log10002; в) log3,10,8;

г) log23 72 д) log 0,3 2,1.

Решение. a) log 12 15 > 0, так как число 15 и основание 12 расположены по одну сторону от единицы;

б) log 1000 2 > 0, так как 1000 и 2 расположены по одну сторону от единицы; при этом несущественно, что основание больше логарифмируемого

числа;

в) log 3,1 0,8 < 0, так как 3,1 и 0,8 лежат по разные стороны от единицы; г) log23 72 > 0; почему?

д) log 0,3 2,1 < 0; почему?

Следующие свойства 4 – 6 часто называют правилами логарифмирования: они позволяют, зная логарифмы некоторых чисел, найти логарифмы их произведения, частного, степени каждого из них.

Свойство 4 (правило логарифмирования произведения). Логарифм произведения нескольких положительных чисел по данному основанию равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию.

Доказательство. Пусть даны положительные числа N1, N2, ..., Nk. Для лога-рифма их произведения напишем определяющее логарифм равенство (3.1.1):

a	log a N1N2	...Nk	N1N 2	...N k .

Отсюда найдем

log

N N

...N

log

loga N2

...a

loga Nk

loga N1 loga N2 ... loga Nk

a 1

a 1 a

Сравнив показатели степени первого и последнего выражений, получим требуемое равенство:

loga N1N2 ...Nk

loga N1

loga N2

...loga Nk .

(3.1.5)

Заметим, что условие N1

> 0, ...,

Nk >

существенно,

логарифм

произведения двух отрицательных чисел

< О,

N2 < О имеет смысл, но в

этом случае получим

loga N1N2 log N1 N2

loga

В общем случае, если произведение нескольких сомножителей положительно, то его логарифм равен сумме логарифмов модулей этих сомножителей.

Свойство 5 (правило логарифмирования частного). Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя, взятых по тому же основанию.

Доказательство. Последовательно находим

loga

log

loga N2

откуда

loga

loga N1

loga N2 ,

(3.1.6)

что и требовалось доказать.

Свойство 6 (правило логарифмирования степени). Логарифм степени какого-либо положительного числа равен логарифму этого числа, умноженному на показатель степени.

Доказательство. Запишем снова основное тождество (1.1) для числа N n:

a	loga N n	N	n	a	loga N	n	a	nloga N	;

отсюда

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022317.56 Кб6Учебное пособие 187.pdf
#
30.04.20222.56 Mб10Учебное пособие 1870.pdf
#
30.04.20222.58 Mб5Учебное пособие 1871.pdf
#
30.04.20222.58 Mб11Учебное пособие 1872.pdf
#
30.04.20222.59 Mб19Учебное пособие 1873.pdf
#
30.04.20222.59 Mб2Учебное пособие 1874.pdf
#
30.04.20222.6 Mб3Учебное пособие 1875.pdf
#
30.04.20222.61 Mб3Учебное пособие 1876.pdf
#
30.04.20222.61 Mб5Учебное пособие 1877.pdf
#
30.04.20222.61 Mб6Учебное пособие 1878.pdf
#
30.04.20222.62 Mб7Учебное пособие 1879.pdf