Учебное пособие 1868

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Перемещая х на отрезке АВ применяется от

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

3)	дуга параболы									у = х2,		соединяющая точки				С(0, 0)	и
D(4, 2).
Ответ: 1)		23		;	2)					38	; 3)	22		.
Ответ: 1)				;	2)						; 3)			.
	2									3		3
Задача 3.10. Вычислить:
	I			2 y 6 xy3 dx 2x 9x2 y2 dy ;
			L
где L одна из линий, соединяющих точки О(0, 0) и А(2, 2).
1)	отрезок ОА;
2)	парабола			y			1		x2 ;
2)	парабола			y	2				x2 ;
					2
3)	парабола		x			1		y 2 ;
3)	парабола		x		2			y 2 ;
					2
4)	кубическая парабола y												1		x3
4)	кубическая парабола y											4			x3
												4
5)	ломанная ОСА,									где С(2, 0).
Решение.
1)	Уравнение прямой на которой лежит отрезок															ОА	у

= х,	поэтому dy = dx. Заменим в подынтегральном выражении
у на	х, а dy на dx, получим:

	2
I	2x 6 x x3 dx 2x 9x2 x2 dx 88 .
	0
2) Из уравнения кривой y		1	x2	следует, что dy = x dx.
2) Из уравнения кривой y		2	x2	следует, что dy = x dx.
		2

Заменяя в подынтегральном выражении у на 21 x2 , а dy на

хdx, получим, что

2										3															2
2			1	x2					1		x2						9 x2						1		x2
I	2		1				6 x		1				dx		2x								1				xdx
I	2						6 x						dx		2x												xdx
0		2						2													2
2	2	3x7 dx
3x	2	3x7 dx						88
0
	3) Так как уравнение линии x																		1			y 2 , то dx = ydy. Заменим
	3) Так как уравнение линии x																					y 2 , то dx = ydy. Заменим
																		2
в подынтегральном выражении х,																	на				1			y2 , а		dx		на	ydy, полу-
в подынтегральном выражении х,																	на				2			y2 , а		dx		на	ydy, полу-
																					2
чим, учитывая, что у изменяется от 0																			до 2.
		2								1								1								1		2
		2										x2	y3							y2							y2		y2 dy
	I				2 y			6							ydy		2								9
	I	0			2 y			6		2					ydy		2	2							9	2
		0								2								2								2
2	3 y2				21	y6						y3		3	y7	2					3
					21			dy						3			8				3				128			88 .
								dy									8								128			88 .
0		4											4			0					4

4)Убедиться самостоятельно, что I = - 88.

5)Вычислим этот интеграл по ломанной ОСА, состоящий

из отрезка ОС оси ОХ и отрезка СА прямой Х = 2.

В этом случае на отрезке ОС: у = 0, dy = 0. На отрезке СА:

х = 2, dх = 0, а у изменяется от 0 до 2,								так как
							.
						OCA OC CA
	2		2		2		3	2
	2
I		2 2 9 2		y		dy 4 y 12y			88 .
I		2 2 9 2		y		dy 4 y 12y		0	88 .
	0							0

Итак, по какой бы из указанных кривых, соединяющих точки (0, 0) и (2, 2), мы не вычисляли этот интеграл, оказывается, что он равен одному и тому же числу. Иначе говоря, величина этого интеграла не зависит от пути интегрирования.

Ниже будет указано условие, которому должно удовлетворять подынтегральное выражение Р(х,у)dx + Q(x,y)dy в криво-

линейном интеграле второго рода, чтобы интеграл не зависел от пути интегрирования, соединяющего эти точки.

3.3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Если функции Р(х,у) и Q(x,y) определены и непрерывны

вместе со своими частными производными	P	и	Q	в замк-
	y		x

нутой ограниченной односвязью области D,	то для того, чтобы
в криволинейный интеграл

P x, y dx Q x, y dy

не зависел от формы пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках этой области выполнялось условие

	P	=	Q	.	(3.15)

	y		x
Но условие (3.15) является необходимым и достаточным для
того, чтобы выражение Р(х,у)dx + Q(x,y)dy,					являлось полным

дифференциалом некоторой функции. Поэтому можно утверждать, что для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования АВ, а зависел только от его концов и достаточно, чтобы подынтегральное выражение Рdx + Qdy, было полным дифференциалом некоторой функции.

Но, если выполняются условия (3.15) и выражение Рdx + Qdy, является полным дифференциалом некоторой функции, то криволинейный интеграл P (х,у)dx + Q(x,y)dy, взятый по любому

замкнутому контуру L целиком лежащему в односвязной ограниченной замкнутой области D равен 0.

Если путь, по которому вычисляется криволинейный интеграл, безразличен, то употребляется обозначение:

x1 , y1

P x, y dx Q x, y dy

(3.16),

x0 , y0

где (х0, у0) и (х1, у1) – координаты начала и конца пути интегрирования.

Задача 3.11. Выяснить, будет ли криволинейный интеграл зависеть от формы пути интегрирования:

I 6 xy 4 y2 5 y dx 3x2 8xy 5x dy .

Решение. Здесь Р(х, у) = 6ху + 4у2 + 5у,

а функция Q(x,y) = 3x2 + 8xy + 5x. Интеграл не будет зависеть от пути интегрирования, если выполнено условия (3.15).

6 x 8 y 5

;

6 x 8 y 5

Следовательно,

и криволинейный интеграл за-

висит от формы пути интегрирования.

Задача 3.12. Убедится, что интеграл

6 xy2

4x3 dx 6 x2 y 3 y2 dy

не зависит от формы пути интегрирования, и после этого вычислить его по отрезку прямой, соединяющей точки (2, 3) и (3, 4).

Решение. Р(х, у) = 6ху2 +					4х3 ,	Q(x,y) = 6x2y + 3у2.
	P	12xy ;	Q	12xy ,	т.е.	P	Q	.
	y		x			y	x

Интеграл не будет зависеть от пути интегрирования.

Уравнение прямой, соединяющий точки с координатами

(2, 3) и (3, 4) имеет вид: у = х + 1; dy = dx.

Получим:

3,4

6 xy2

4x3 dx 6 x2 y 3 y2

2,3

4 x3

6 x2 x

1 2

6 x x 1 2

3 x

426 .

Ответ:

426.

Задача 3.13. Будет ли криволинейный интеграл,

3 y 2

2 y

dy ,

L x2

взятый по замкнутому контуру L равен 0 ?

Решение: При выполнении условия

(где Р(х, у) =

3 y2

, Q(х, у) =

2 y

Криволинейный интеграл, взятый по любому замкнутому контуру, будет равен нулю. Поэтому, чтобы ответить на вопрос, вычислим:

6 y

т.е.

x x4

Так как функции выражение Р(х,у) и Q(x,y) и их частные

производные

имеют разрыв при х = 0, следует ука-

зать, что заданный интеграл, взятый по любому замкнутому контуру, будет равен нулю, но этот контур не должен проходить через точку с абсциссой х = 0.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.14. Вычислить интеграл

3,2

dy .

1,1 x y 2

y 2

Указание. Убедится, что

За путь интегрирова-

ния выбрать прямую, соединяющие точки

(1, 1) и (3, 2). Ее

уравнение y

Ответ:

Задача 3.15. Будет ли криволинейный интеграл

x2 y2 xdx ydy

по любому замкнутому контуру, будет равен нулю. Подтвердить полученное заключение непосредственным вычислением, по какому-нибудь замкнутому контуру.

Указание. Проверить, является ли подынтегральное вы-

ражение полным дифференциалом, для этого найти						P	и	Q	,
ражение полным дифференциалом, для этого найти						X	и	y	,
						X		y
где Р(х, у) = х3 + ху2;					Q(х, у) = х2 у + у3,
так как	P	Q	2xy	,	то можно утвердительно ответить на

	X	y
	X	y

вопрос задачи.

Выбрать в качестве замкнутого контура, например, окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Параметрические уравнения такой окружности имеют вид:

x cost

(0 t 2 ).

y sint

Задача 3.16. Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить следующие интегралы:

1,2

2xy

2 1

dx 2x

3 y

2 1

2x2

y 2

2,1

(вдоль путей, не пересекающих координатных осей и не проходящих через начале координат).

5,3	y2dx	x2dy
2)			;
2)	x	y 2	;
2,1	x	y 2

(вдоль путей, которые не пересекают биссектрису первого и третьего координатных углов).

Ответ: 1)	15	;	2) 5,5.
	4

3.4. Формула Грина. Вычисление площадей с помощью криволинейного интеграла второго ряда

Криволинейный интеграл по простому замкнутому гладкому контуру L, ограничивающему односвязную область D может быть преобразован в некоторый двойной интеграл по области D, ограниченной этим контуром.

Это преобразование выполняется по формуле Грина, которая имеет вид:

P x, y dx Q x, y dy		Q	P	dxdy.	(3.17)
P x, y dx Q x, y dy	D x		y	dxdy.	(3.17)
L	D x		y
57

Предполагается, что функции				Р(х, у) и Q(x, y), а также
их частные производные	Q	и	P	непрерывны в области D и
	x		y

на контуре L, который ее ограничивает, причем, контур L, пробегается в положительном направлении, т.е. так, что область D остается слева.

Если формулу Грина прочесть справа налево, то можно сказать, что она сводит вычисление двойного интеграла по области D к вычислению криволинейного интеграла взятого по контуру L, ограничивающему эту область.

Формула (3.17) справедлива не только для области D указанного вида, но и для более сложных областей, ограниченных несколькими простыми гладкими контурами. В случае:

P x, y dx Q x, y dy ,

следует рассматривать как сумму интегралов по составляющим контурам, причем, интегрирование по этим контурам должно вестись в таком направлении, чтобы область D оставалась слева.

Многие криволинейные интегралы, взятые по замкнутому контуру, удобно вычислять, сводя их к двойному.

Задача 3.17. Вычислить, применяя формулу Грина, инте-

грал.

x2 ydx xy2dy ,

где L – окружность х2 + у2 = а2, пробегаемая в положительном направлении.

	Решение.	Здесь Р(х, у) = - х2 у; Q(х, у) = - х у2;
P	x2 ;		Q	y2 .
y			x

Подставляя эти значения в формулу (3.17), получим:

I	x2 ydx xy2dy	y2 x2 dxdy,
L		D

где D – круг, ограниченный окружностью х2 + у2 = а2. Вычисление полученного интеграла удобно провести в полярных ко-

ординатах, при этом элемент площади dxdy = rdrd , а х2 + у2 = r2. Получим

	2		2					3		2	a	3		a4		a	4
x		y		dxdy			r		drd	d	r		dr 2					.
x		y		dxdy			r		drd	d	r		dr 2	4	2			.
D							D			0	0			4	2
Ответ:			I		a	4	.

					2

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.18. С помощью формулы Грина вычислить инте-

грал

I		1	arctg	y	dx	2	arctg	x	dy , где

	C x			x		y		y

С – замкнутый контур, составленный дугами двух окружностей

х2 + у2 = 1

х2 + у2 = 4 (y > 0)

и отрезками прямых у = х и

3 x

(у

0), заключенных между этими окружностями

(рис. 3.1).

Указание. Найти

;

y x2

y 2

Рис. 3.1

По формуле Грина интеграл равен: I	1		dxdy .
	D	x2 y2

В данной задаче удобно перейти к полярным координатам

I	1			rdrd	3	d	2 1		drd		ln 2 .
I	D	r 2		rdrd		d	1	r	drd	12	ln 2 .
					4
Ответ: I			ln 2 .
Ответ: I	12		ln 2 .

Задача 3.19. Криволинейный интеграл из предыдущей задачи и по тому же контуру вычислить, не прибегая к формуле Грина.

Указание. Уравнения окружности преобразовать к параметрической форме. Получим уравнение:

x	cos t		x	2 cos t
y	sint	и	y	2 sint
Параметр t	на дуге ВС изменяется от					до		,
					4		3

а на дуге DА от 3 до 4 .

Интегралы по этим двум дугам взаимно уничтожаются.

на отрезке СD от 1 до 21 .

С помощью интеграла второго рода, площадь плоской фигуры, ограниченной кусочно-гладкой кривой вычисляется, по формуле:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.54 Mб3Учебное пособие 1863.pdf
#
30.04.20222.54 Mб2Учебное пособие 1864.pdf
#
30.04.20222.54 Mб2Учебное пособие 1865.pdf
#
30.04.20222.54 Mб4Учебное пособие 1866.pdf
#
30.04.20222.55 Mб5Учебное пособие 1867.pdf
#
30.04.20222.55 Mб6Учебное пособие 1868.pdf
#
30.04.20222.56 Mб4Учебное пособие 1869.pdf
#
30.04.2022317.56 Кб6Учебное пособие 187.pdf
#
30.04.20222.56 Mб10Учебное пособие 1870.pdf
#
30.04.20222.58 Mб5Учебное пособие 1871.pdf
#
30.04.20222.58 Mб10Учебное пособие 1872.pdf