Учебное пособие 1868

(скалярных или векторных), до тех пор, пока нам не приходится применять входящие в V операции дифференцирования к произведению переменных величин. Если же некоторое выражение содержит произведение двух или более переменных сомножителей, применяя к этому выражению вектор V, нельзя использовать обычные правила векторной алгебры. Пусть U = U(x, у, z)

– скалярное поле и А = А (x, у, z) – векторное поле. Вычислим

div (U А ), т.е. (V, U А ).

Применение вектора V сводится к применению входящих в него операций дифференцирования, но правило дифференцирования произведения состоит в том, что дифференцируется сначала первый сомножитель, а остальные рассматриваем как постоянные, затем дифференцируется второй сомножитель, считая остальные постоянными, и т.д., а затем берем сумму полученных таким образом выражений.

Дадим сводку формул, связывающих операции взятия градиента, ротора и дивергенции с основными операциями векторной алгебры:

1. div(U А ) = ( А , grad U)+ U div А ; 2. grad (UW) = W grad U + U grad W;

[ А , rot B ].

Если в последней формуле А = B , получим grad ( А 2/2)=

( А , V) А +[ A , rot A ]. Первые две из этих формул были получены выше. Остальные могут быть получены аналогичным образом с применением оператора V (и соблюдением правил действия с V) и обычных формул векторной алгебры. Например,

101

для вычисления выражения rot [ A , B ], которое в символиче-

ской форме пишется как [V, [ A , B ]], следует применить из-

встречается в последних двух формулах, означает векторную величину

(Ax∂Bx/∂x + Ay∂Bx/∂y + Az∂Bx/∂z, Ax∂By/∂x + Ay∂By/∂y + Az∂By/∂z , Ax∂Bz/∂x + Ay∂Bz/∂y + Az∂Bz/∂z), которую можно рас-

сматривать как результат применения «скалярной» операции ( A , V) = Ax ∂ /∂x + Ay ∂ /∂y + Az ∂/∂z к каждой из компонент вектора B .

Дифференциальные операции второго порядка

В предыдущих параграфах мы ввели понятия градиента, дивергенции и ротора. В приложениях векторного анализа приходится встречаться не только с выполнением этих основных операций, но и с различными их комбинациями. Особенно часто встречаются так называемые операции второго порядка, т.е. всевозможные комбинации трех указанных выше основных операций. Комбинируя символы grad, rot, div попарно, мы можем составить из них девять пар. Однако не все эти пары имеют смысл. Например, операция rot div (т.е. взятие ротора от дивергенции) не имеет смысла ни для скалярного поля, ни для векторного. Все имеющиеся здесь возможности изображаются следующей таблицей.

В таблице пустые клетки, отвечающие не имеющим смысла сочетаниям основных операций.

Выражение div grad U называется оператором Лапласа и обозначается ∆U. Воспользовавшись известными выражениями

градиента и дивергенции, получаем

∆U = div(gradU) = ∂2U/∂x2 + ∂2U/∂y2 + ∂2U/∂z2.

Дивергенция и градиент не зависят от выбора координатной системы, а ∆U зависит от самого поля U. Оператор Лапласа

∆ естественно рассматривать как скалярный квадрат вектора V,

т.е. ∆ = (V, V) = (∂2/∂x2) + (∂2/∂y2) + (∂2/∂z2), и (V,V)U = ∂2U/∂x2 + ∂2U∂y2 + ∂2U/∂z2 = ∆U.

Оператор ∆ применять не к скалярной величине, а к векто-

ру. Если A = Axi + Ayj + Azk, то под ∆ A понимается вектор

∆Axi + ∆Ayj + ∆Azk.

Это выражение зависит только от самого вектора A , но не от выбора системы координат. Рассмотрим теперь операции второго порядка для векторного поля. Применительно к векторному полю имеют смысл три операции второго порядка: grad

div A , rot rot A , div rot A . С выражением вида div rot A мы уже встречались ранее при нахождении условий соленоидаль-

ности поля и выяснили, что всегда div rot A = 0. Выражения

grad div A и rot rot A не обязаны обращаться в нуль. Они часто встречаются в различных вопросах механики и электродина-

мики. Рассмотрим выражение rot rot A , которое в символиче-

ской форме записывается так: [V, [V, A ]].

103

Воспользовавшись формулой для двойного векторного произведения, получим, что [V, [V, A ]] = V(V, A ) - (V, V) A ,

т.е. rot rot A = grad div A - ∆ A . Из этой формулы видно, что это выражение не зависит от выбора системы координат (т.к.

величины rot rot A и grad div A с выбором системы координат не связаны) и что в нем участвует только одна переменная величина. Оперируя с V, можно пользоваться обычными формулами векторной алгебры.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. М.: Наука , 1985. Т. 2. 560 с.

2.Шестаков А.А., Малышева И.А., Полозков Д.П. Курс высшей математики. M.: Высшая школа, 1987. 320 c.

3.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. M.: Наука, 1986. Т. 3. 656 c.

4.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. M.: Наука, 1989. 655 c.

5.Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. M.:

Наука, 1967. 608 c.

104

6. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Часть 4. Издательство ХГУ, Харьков, 1986, 235 c.

7. Кузнецов Сборник задач по высшей математике. Типовой расчет. М.: Высшая школа, 1998.

107

Учебное издание

Катрахова Алла Анатольевна Купцов Валерий Семенович

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

ЛР № 066815 от 25. 08. 99. Подписано к изданию 26. 03. 2002. Уч.-изд. л. – 5,1. «C» 12.

Воронежский государственный технический университет 394026 Воронеж, Московский просп., 14

108