Учебное пособие 1804

Функция sys = parallel(sys1, sys2) реализует параллельное соединение двух lti-моделей.

sys

Обе модели должны быть непрерывными или дискретными с

коэффициентов передачи. Эта функция эквивалентна операции сложения lti-

моделей sys sys1 sys 2 .

Функция sys = parallel(sys1, sys2, inp1, inp2, out1, out2) позволяет реализовать более общую форму параллельного соединения двух lti-моделей.

v2 z2 sys

Векторы inp1 и inp2 определяют, какие номера входов системы sys1 и какие номера входов системы sys2 соединяются. Аналогично векторы out1 и out2 определяют, какие номера выходов систем sys1 и sys2 суммируются. Результирующая модель sys имеет входом вектор [v1; u; v2] и выходом вектор

[z1; y; z2].

Синтаксис:

sys = series(sys1, sys2)

sys = series(sys1, sys2, outputs1, inputs2)

Функция sys = series(sys1, sys2) реализует последовательное соединение двух lti-моделей и эквивалентна операции умножения sys = sys2 * sys1.

sys

При использовании функции действуют те же ограничения, что и в предыдущем случае.

Функция sys = series(sys1, sys2, outputs1, inputs2) позволяет реализовать более общую форму последовательного соединения двух lti-моделей.

Векторы outputs1 и inputs2 указывают, какие номера выходов системы sus1 к каким номерам входов системы sys2 должны быть подсоединены. Полученная модель sys имеет входом вектор u и выходом вектор y.

Пример: рассмотрим две модели – ss-модель sys1 c пятью входами и четырьмя выходами и ss-модель sys2 с двумя входами и тремя выходами. Выполним последовательное соединение этих моделей, когда выходы 2 и 4 модели sys1 присоединяются к входам 1 и 2 модели sys2.

»outputs1=[2 4];

»inputs2=[1 2];

»sys=series(sys1,sys2,outputs1,inputs2)

Синтаксис:

sys = feedback(sys1, sys2)

sys = feedback(sys1, sys2, feedin, feedout, sign)

Функция sys = feedback(sys1, sys2) возвращает lti-модель с дескриптором sys, соответствующую соединению lti-моделей sys1 и sys2 в контур с отрицательной обратной связью.

Замкнутая модель имеет вход u и выход y. Обе модели должны быть непрерывными или дискретными с одинаковыми периодами дискретности. Правила приоритета определяют подкласс результирующей модели. Функция feedback(sys1, sys2) эквивалентна функции feedback(sys1, sys2, -1). Чтобы замкнуть систему положительной обратной связью следует использовать функцию feedback(sys1, sys2, +1).

Функция sys = feedback(sys1, sys2, feedin, feedout) позволяет реализовать более общую форму соединения с обратной связью.

Вектор feedin содержит индексы входного вектора модели sys1 и определяет, какие ее входы включаются в контур с обратной связью. Вектор feedout определяет, какие входы системы sys1 используются для организации обратной связи. Результирующая модель имеет те же входы и выходы, что и система sys1 с сохранением их порядка. По умолчанию предполагается, что контур замыкается отрицательной обратной связью.

Ограничения: соединение с обратной связью не должно содержать алгебраических петель. Для ss-моделей в пространстве состояний это условие заключается в том, что матрицы прямой передачи входа D1 и D2 таковы, что матрица I + D1D2 для контура с отрицательной обратной связью и матрица I – D1D2 для контура с положительной обратной связью являются невырожденными.

Синтаксис:

sys = star(sys1, sys2)

sys = star(sys1, sys2, nu, ny)

Функция sys = star(sys1, sys2, nu, ny) формирует соединение звездой для двух моделей sys1 и sys2.

Обратная связь соединяет первые nu выходов системы sys2 с последними nu входами системы sys1 (сигналы u) и последние ny выходов системы sys1 с первыми ny входами системы sys2 (сигналы y). Полученная система sys отображает вектор входа [v1; v2] на вектор выхода [z1; z2].

Функция sys = star(sys1, sys2) возвращает lti-модель с дескриптором sys, которой может соответствовать одно из двух соединений:

Синтаксис:

sys = append(sys1, sys2, …, sysN)

Функция sys = append(sys1, sys2, …, sysN) объединяет входы и выходы lti-моделей и формирует агрегатированную модель без перекрестных связей.

Для tf-моделей с передаточными функциями H1(s), H2(s), …, HN(s) результирующая модель характеризуется передаточной функцией в виде диагональной блочной матрицы

H s diag H1 s , H2 s , , H N s .

connect Построение lti-модели на основе структурной схемы

Синтаксис:

sysc = connect(sys, Q, inputs, outputs)

На практике сложные динамические системы часто описываются структурными схемами, состоящими из большого количества элементов. В этом случае даже для систем умеренной сложности построить ss-модель в пространстве состояний по ее структурной схеме бывает затруднительно. Использование функции connect существенно облегчает эту задачу.

Входные аргументы Q, inputs и outputs имеют следующее назначение:

матрица связей Q предназначена для описания связей блоков на структурной схеме. Каждая строка этой матрицы соответствует одному входу системы sys; первый элемент строки – это номер входа, последующие элементы указывают номера выходов, которые алгебраически суммируются по этому входу; отрицательные элементы обозначают суммирование со знаком минус. Например, если на вход 7 поступают сигналы с выходов 2, 15 и 6, причем сигнал с выхода 15 имеет отрицательный знак, то соответствующая строка матрицы связей Q имеет вид [7 2 –15 6]. Теперь с помощью функции connect может быть построена модель в пространстве состояний с учетом перекрестных связей и с теми же входами и выходами, которые имела модель sys;

векторы inputs и outputs определяют, какие входы и выходы агрегатированной системы являются внешними. Например, если внешними

являются входы 1, 2, 15 и выходы 2, 7 системы sys, то аргументы inputs и outputs должны иметь вид inputs = [1 2 15]; outputs = [2 7].

Поскольку при вводе большого объема данных достаточно просто допустить ошибку, следует выполнить проверку сформированной модели. Для этого можно предложить несколько рекомендаций:

следует убедиться, что полюсы модели sys соответствуют полюсам отдельных блоков;

убедиться, что полюс и статические коэффициенты передачи результирующей системы являются приемлемыми;

построить переходные функции и частотные характеристики для системы sysc и сравнить их с ожидаемыми.

Если методика работы со структурными схемами является преобладающей, то лучше формировать модель в системе Simulink, как мощным инструментом построения моделей динамических систем.

3.9. Получение lti-объекта из системы Simulink

Для того, чтобы получить lti-объект из системы Simulink, следует сформировать модель, в которой не будет источников и приемников сигналов.

Входы и выходы системы отмечаются блоками in и out.

Далее необходимо получить параметры пространства состояний системы (предполагаем, что система собрана в окне системы Simulink с именем untitled):

» [a, b, c, d] = linmod('untitled');.

Полученная матрица позволяет получить модель системы в пространстве состояний:

» sys=ss(a, b, c, d) a =

Continuous-time model.

Полученная модель может быть использована также, как и любая другая, сформированная командами подсистемы Control System Toolbox.

Можно получить ее в виде tf-модели: » systf=tf(sys)

Transfer function from input to output...

100 #1: ----------------

s^2 + 50 s + 600

200 #2: ---------------------------

s^3 + 52 s^2 + 700 s + 1200.

Внимание! Так как модель первоначально преобразуется в форму пространства состояний, не допускается включение в модель в явном виде элементов, передаточные функции которых носят дифференциальный характер (степень числителя больше степени знаменателя).

3.10. Операторы и функции для анализа систем

Синтаксис: p = pole(sys)

poles = eig(sys)

Функция р = pole(sys) вычисляет полюсы р одномерной или многомерной lti-модели sys.

Для ss-моделей в явной форме Коши полюсами являются собственные значения задачи Аr = r, для ss-моделей в неявной форме Коши - обобщенные собственные значения задачи Аг = Вг.

Команда pzmap(sys) указывает расположение полюсов и нулей непрерывной или дискретной lti-модели sys на комплексной плоскости. Для одномерной lti-модели выводятся полюсы и нули ее передаточной функции; для многомерной lti-модели - полюсы и передаточные нули. Полюсы изображаются маркером х, а нули - о.

Функция [р, z] = pzmap(sys) возвращает полюсы и передаточные нули в виде векторов-столбцов р и z. План расположения нулей и полюсов на экран не выводится.

Для наглядности можно построить линии постоянного уровня для коэффициента демпфирования и собственной частоты на плоскости s или z, используя команды sgrid или zgrid.

Команды sgrid и zgrid строят сетки постоянных коэффициентов демпфирования от 0 до 1 с шагом 0.1 и собственных частот от 0 до 10 рад/с с шагом 1 рад/с на плоскостях s и z, соответственно.

Функции sgrid(z, wn) и zgrid(z, wn) строят сетки постоянных коэффициентов демпфирования и собственных для значений, указанных в векторах z и wn.

Функция zgrid([ ], [ ]) строит окружность единичного радиуса.

Замечание:

Если текущая s или z плоскость содержит расположение нулей и полюсов или график корневого годографа, то команда sgrid строит сетку координат поверх графика.

Пример: построить на s и z плоскости сетки постоянных коэффициентов демпфирования и собственных частот:

»subplot(1, 2, 1),sgrid

»subplot(1, 2, 2),zgrid

Синтаксис: bode(sys) bode(sys, w)

bode(sys1, sys2, …, sysN) bode(sys1, sys2, …, sysN, w)

bode(sys1, ‘<тип линии1>’, …, sysN, ‘<тип линииN>’)

[mag, phase, w] = bode(sys)

Группа команд и функций bode предназначена для расчета амплитудных и фазовых логарифмических частотных характеристик (диаграмм Боде) для ltiмоделей. Команды bode строят на экране графики логарифмических частотных характеристик. Функция bode выполняет только расчет характеристик, но графиков не выводит. Логарифмические частотные характеристики применяются при анализе таких свойств систем, как запас устойчивости по фазе и амплитуде, коэффициент передачи, ширина полосы пропускания, реакция системы на возмущения.

Команда bode(sys) строит на экране графики логарифмических частотных характеристик для lti-модели sys. Эта модель может быть непрерывной или дискретной, одномерной или многомерной. В случае многомерной модели функция bode строит множество логарифмических частотных характеристик для каждого канала системы от входа к выходу. Диапазон частот определяется автоматически по значениям нулей и полюсов передаточной функции системы.

Команда bode(sys, w) строит логарифмические частотные характеристики в заданном диапазоне частот. Этот диапазон должен быть задан массивом ячеек w = {wmin, wmax}. Для построения логарифмических частотных характеристик на заданных частотах создается вектор значений частот w. Для создания логарифмической сетки следует применить команду logspace. Единица измерения частоты - рад/с.

Команды bode(sysl, sys2,..., sysN), bode(sysl, sys2,..., sysN, w) позволяют построить частотные характеристики для нескольких lti-моделей на одном