Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Учебное пособие 1699

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
30.04.2022
Размер:
1.81 Mб
Скачать

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

И.Н. Пантелеев

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ: ПРАКТИКУМ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2011

УДК 681.3.06(075)

Пантелеев И.Н. Высшая математика. Кратные интегралы и векторный анализ: практикум / И.Н. Пантелеев.

Воронеж: ФГБОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2011. – 220 с.

Учебное пособие включает материал, необходимый для подготовки к практическим занятиям по курсу высшей математики в третьем семестре. Содержит краткий теоретический материал по методам вычисления кратных интегралов, векторному анализу и теории поля с приложениями к задачам геометрии, механики и физики, а также большое количество примеров, иллюстрирующих основные методы решения.

Издание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлениям 280100 «Безопасность жизнедеятельности», 280200 «Защита окружающей среды», специальностям 280103 «Защита в чрезвычайных ситуациях», 280101 «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», дисциплине «Высшая математика». Предназначено студентам очной формы обучения.

Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе Microsoft Word 2003 и содержится в файле

Vmfmm_ KratInt1.pdf.

Ил. 71. Библиогр.: 11 назв.

Рецензенты: кафедра физики Воронежского государственного университета инженерных технологий (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. Н.Н. Безрядин); профессор Г.Е. Шунин

©Пантелеев И.Н., 2011

©Оформление. ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2011

И.Н. Пантелеев

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ: ПРАКТИКУМ

Учебное пособие

Учебное издание

Пантелеев Игорь Николаевич

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ: ПРАКТИКУМ

В авторской редакции

Компьютерный набор И.Н. Пантелеева

Подписано к изданию 15.12.2011. Объем данных 1761 кб

 

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический

Воронеж 2011

университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14

ВВЕДЕНИЕ

Изучение математики развивает логическое мышление, приучает человека к точности, к умению выделять главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложнейших задач, возникающих в различных областях деятельности. Цель пособия - помочь студентам научиться самостоятельно решать задачи по курсу высшей математики, при условии, что изучение теории должно выполняться по рекомендованному в программе учебнику и конспекту лекций.

Каждый параграф начинается с краткого теоретического введения, приводятся основные определения, теоремы без доказательств, главнейшие формулы, методы и способы решения задач. Решение типовых примеров и задач в параграфе, как правило, расположено по возрастающей трудности.

Характерной особенностью является включение решений задач вычислительного характера, что позволяет развивать необходимые навыки и умение для студентов инженерных специальностей. Кроме того, значительное внимание уделено методам решения прикладных задач с физическим смыслом.

Часть задач была заимствована из сборников: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, 1975; Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике, 1972; Задачи и упражнения по математическому анализу, под редакцией Б.П. Демидовича, 1968; Бугров Я.С., Никольский Я.С. Высшая математика. Задачник, 1982.

Пособие включает задания для типового расчета по кратным интегралам и теории поля по основным разделам, изучаемым в курсе высшей математики в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 280700 «Техногенная безопасность».

3

1. КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1. Двойной интеграл и его вычисление

1°. Двойной интеграл является обобщением понятия определенного интеграла на случай функции двух

переменных f(x, у) и представляет конечный предел двумерной интегральной суммы в области (S).

∫∫ f (x, y)maxlimx 0∑∑ f (xi , y j ) xi yj .

(1)

(S )

 

i

i

j

 

max

yi 0

 

где xi y j = (xi+1 xi )(yj+1 yj )

- площади элементарных об-

ластей, на которые разбивается плоская область S.

На двойной интеграл распространяются свойства простого определенного интеграла: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, область интегрирования можно разбивать на части.

2°. Вычисление двойного интеграла сводится к

последовательному

вычислению

двух

обыкновенных

определенных интегралов

y2 (x)

 

 

 

 

b

f (x, y)dy

 

 

dx

(2)

 

a y1 (x)

 

 

 

или

 

x2 (y)

 

 

 

 

c

f (x, y)dx

 

 

dy

(3)

 

d

x1 (y)

 

 

 

Если внутренний интеграл берется по переменной у, то переменная х рассматривается как постоянная, а если по х, то постоянной будет у. Пределы интегрирования во внутреннем интеграле как правило являются переменными и зависят от переменной, которая рассматривается как постоянная, пределы же внешнего интеграла всегда постоянны. Пределы интегрирования внутреннего и внешнего интеграла постоянны только тогда, когда область интегрирования является прямоугольни-

4

ком со сторонами, параллельными осям координат. Область

интегрирования

интеграла (2) (рис. 1.1 ) a x b ,

y1 (x)y y2 (x)

такова, что любая прямая, параллельная оси

у, пересекает ее границу только два раза. Вычисление двойного интеграла по области d y c , x1 (y)x x2 (y)

(рис. 1.2 ) целесообразно выполнять по формуле (3), поскольку любая прямая, параллельная оси х, пересекает границу области только два раза.

Рис. 1.1

Рис. 1.2

3°. Если верхняя или нижняя граница области описывается несколькими функциями (рис. 1.3), то область интегрирования следует разбить прямой х = с на две области S1 и S2. Двойной интеграл по области S в этом случае разбивается на сумму интегралов

5

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy +∫∫

f (x, y)dxdy =

(S )

(S1 )

(S2 )

(4)

= c

y(x)

(x, y)dy + b

y(x)

dx f

dx f (x, y)dy.

a

y1 (x)

c

y2 (x)

 

Рис. 1.3

Если левая или правая граница области описывается несколькими функциями (рис. 1.4), то область интегрирования S разбивается на две области S1 и S2, а двойной интеграл вычисляется по формуле

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy +∫∫

f (x, y)dxdy =

(S )

 

(S1 )

(S2 )

(5)

= b

x(y)

 

x(y)

dy f (x, y)dx + c

dy f (x, y)dx.

d

x1 (y)

b

x2 (y)

 

Рис. 1.4

6

В случае более сложного контура область S разбивается на конечное число частей рассмотренных типов.

 

 

 

 

 

 

 

1 2

dxdy

 

 

1.1.

Вычислить двойные

интегралы: а) ∫∫0 1

 

;

 

(x + y)2

 

 

e y

 

 

π

 

2cosϕ

 

 

2

x

 

; г) 2

 

 

 

б) dx(x2 2 y +1)dy ; в) ∫∫ ydxdy

dϕ

ρ3d ρ .

 

 

1

0

1 1

x

 

π

 

0

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Решение. а) Поскольку пределы интегрирования постоянные величины, то первое интегрирование может быть по любой переменной. Запишем интеграл в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 dx1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x + y)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим внутренний интеграл по у, считая, что х

постоянная величина

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

2

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

dx = −

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + y

 

1

 

 

 

 

x + 2

 

 

 

x +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее вычисляем внешний интеграл по х

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x +1

 

1

2

 

1

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

dx

=ln

x +1

ln

x +2

=ln

 

 

 

 

 

 

=ln

 

 

ln

 

 

=ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 x +1

 

x +2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +2

 

0

3

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Поскольку пределы внутреннего интеграла зависят от

х, то вычисляем сначала внутренний интеграл по у, считая х постоянной величиной

2 ((x2 y y2 + y)

 

0x )dx = 2 (x3 x2 + x)dx .

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее находим внешний интеграл

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

4

 

x

3

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x3 x2 + x)dx =

x

 

 

+

 

 

 

 

=

35 .

 

 

 

 

 

 

1

 

 

4

3

2

 

 

1

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) Поскольку пределы внутреннего интеграла зависят от у, то интегрируем сначала по х, считая у постоянной величиной, а затем интегрируем по у

7

e

y

 

e

y

y

 

 

 

 

e

 

 

∫∫

y

dxdy = dy

dx = y ln x

 

 

1

1

 

x

1

 

1

x

 

1

 

 

= e

y ln ydy =

y2

ln y

 

e

1

e

ydy

 

 

 

 

2

 

1

 

 

2

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

dy =

1

= e24+1.

г) Вычислим сначала внутренний интеграл

π

2cosϕ

 

 

π

 

2cosϕ

 

π

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

dϕ =4 2

cos4 ϕdϕ = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dϕ

ρ3dρ =

1

 

ρ4

(1+cos2ϕ)2 dϕ =

 

π

0

4

 

 

π

 

 

 

 

π

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

0

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

(1+cos4ϕ)

dϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1+

2cos2ϕ+

 

 

 

 

 

=

 

 

ϕ+sin 2ϕ

+

 

sin 4ϕ

 

=

 

π.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

8

 

 

 

 

2

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

1.2. Вычислить двойные интегралы:

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

а) ∫∫x cos (x + y)dxdy, где D

 

 

x π, 0 y

 

;

 

 

 

 

= 0

2

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) ∫∫(x + y)dxdy,

где D ={y = 0,

y = x2 , x = 2};

 

 

 

 

 

 

 

 

D

в) ∫∫xydxdy, где D ={y = −x, y = x2 , y =1};

D

г) ∫∫xdxdy, где область D ограничена осью Ox и одной аркой

D

циклоиды x = a (t sin t ), y = a (1cos t ).

Решение. а) Расставим пределы интегрирования и проинтегрируем сначала по у, а затем по х

π π

∫∫x cos (x + y)dxdy =

πxdx2 cos (x + y)dy = πx sin (x + y)

 

2 =

D

 

 

 

 

0

0

0

 

0

 

 

 

 

 

π

 

π

 

 

 

 

π

 

 

= x sin

+ x

sin x dx

= x (cos x sin x)dx =

 

 

0

 

2

 

 

 

 

0

 

 

8

= πx cos xdx

πxsin xdx = xsin x

πsin xdx + x cos x

πcos xdx =

0

0

 

 

0

0

= (x sin x +cos x + x cos x sin x)

 

π

= −1π 1 = −(2 +π ).

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

б) Представим область интегрирования на рис 1.5. Расставим пределы интегрирования и проинтегрируем

 

2

x2

2

 

y

2

 

 

x2

 

 

∫∫(x + y)dxdy = dx (x + y)dy = xy +

 

 

 

dx =

2

D

0

0

0

 

 

 

0

 

 

 

 

2

 

3

 

x4

x4

 

 

x5

 

 

2

16

 

36

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

x

 

+

 

dx =

 

+

 

 

 

 

= 4 +

 

=

 

.

 

 

2

4

10

5

5

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.5

в) Сделаем чертеж (рис. 1.6).

Рис. 1.6

9

Из совместного решения уравнений y = −x и y = x2 нахо-

дим точки пересечения прямой и параболы А (-1, 1), О (0, 0). Координаты точки В(1,1). Расставим пределы интегрирования и проинтегрируем

∫∫xydxdxy = 1

 

 

y

 

 

 

1

1

 

 

 

 

y

 

 

1

1

(y2

y3 )dy =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ydy xdx =

yx2

 

 

dy =

D

 

 

0

 

 

y

 

 

 

2

0

 

 

 

y

 

 

2

0

 

 

 

1

 

 

y3

 

y4

 

 

1

1

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

=

 

.

 

 

 

2

3

4

2

3

4

24

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) Для одной арки циклоиды параметр t изменяется от 0 до 2π , а переменная х от 0 до 2πa . Представляя функцию у в виде функции от х у =f(x), запишем искомый интеграл, разделяя переменные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2πa xdx

y= f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I = ∫∫xdxdy =

 

dy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находя дифференциалы dx = a (1cos t )dt, dy = a sin tdt и

переходя во внешнем интеграле к переменной t, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a(1cost)

 

 

 

 

 

2π (t sint)(1cost)2 dt =

I =

2π a(t sint)a(1cost)dt

 

dy = a3

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

=a3

2π (t 2t cost +t cos2 t sint +sin 2t sint cos2 t)dt =

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

1

 

 

 

 

 

1

 

2

 

1

 

 

= a

 

 

2

2t sin t 2cos t +

 

t +

2

sin 2t

4

t

 

2

cos 2t

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+cos t

1

cos 2t +

1

cos

3

 

 

 

2π

 

 

2

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

t

 

 

 

= 3π

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10