Учебное пособие 1699

ограниченная конусом x2 + y2 = z2 т плоскостью z = h .

Решение. а) Область интегрирования показана на рис.

1.39.

Рис. 1.39

Расставим пределы интегрирования

Полагая х и у постоянными величинами, вычисляем внутренний интеграл по z

52

б) Преобразуя уравнение сферы к виду x2 + y2 +(z − R)2 = R2 , нетрудно заметить, что центр сферы

смещен по оси z на R. Таким образом, область интегрирования ограничена сверху сферической, а снизу конической поверхностью (рис. 1.40). Искомый интеграл в сферической системе координат примет вид

I = ∫∫∫dxdydz = ∫∫∫ρ2 sinθd ρdθdϕ .

V G

Рис. 1.40

Подставляя в уравнение сферы сферические координаты,

в) Проекция конуса на плоскость Оху есть круг х2 + у2 = h2 (рис. 1.41). Расставляя пределы интегрирования в тройном интеграле, будем иметь

53

3°. Моменты инерции тела относительно координатных

осей

V

4°. Моменты инерции относительно координатных плоскостей

Ixy = ∫δ (x, y, z)z2dV ;

V

5°. Если в теле объема V непрерывным образом распределены массы с заданной в каждой точке М (x,y,z) плотностью

δ (M )=δ (x, y, z), ТО проекции на оси координат полной силы

притяжения FG на точку A(xc,yc,zc), в которой, мы считаем, сосредоточена единица массы, согласно закону притяжения Ньютона, определяются по формулам

где r = (x − xc )2 +(y − yc )2 +(z − zc )2 - расстояние МA.

6°. Ньютоновское поле потенциально. Выражение для потенциала поля тела объема V с плотностью δ на точку А имеет вид

55

Если тело однородно, то в приведенных формулах следует положить δ (x, y, z)=1.

7.1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

а) z = x2 + y2 , z = x2 +2y, y = x, y = 2x, x =1;

б) x2 + y2 = z2 , x2 + y2 + z2 = a2 , внутри конуса;

показана на рис. 1.42. Расставляя пределы интегрирования, получим

Рис. 1.42

б) Представим искомый объем на рис. 16.43. Поскольку тело, заключенное внутри конуса, симметрично относительно начала координат, то его объем в сферической системе координат равен

56

π

V = 2∫∫∫ρ2 sinθd ρdθdϕ = 22∫π dϕ∫4 sinθdθ∫a ρ2d ρ =

Рис. 1.43

в) Поскольку уравнение содержит выражение х2 + у2 + z2, то целесообразно перейти к сферическим координатам

x = ρsinθ cosϕ, y = ρ sinθ sinϕ, z = ρ cosθ

Уравнение поверхности в сферической системе координат будет ρ = a 3 sinθ cosϕ .

Переменные y и z входят в уравнение только в квадратах, поэтому тело симметрично относительно плоскостей Oxz и Оху. Учитывая, что x ≥ 0 , т. е. все тело расположено в области положительных значений х, достаточно вычислить четвертую часть объема. В первом октанте в сферической системе

I = ρ2 sinϕ , получим

57

поверхности в обобщенных сферических координатах имеет

ππ

=8 (abc)4 ∫2 sin3 ϕ cos3 ϕdϕ∫2 sin7 θ cos3 θdθ = (abc)4 . 3 h9 0 0 180h9

7.2. Определить массу: а) пирамиды, ограниченной плоскостями x + y + z = a, х = 0, y = 0, z = 0, если плотность в каждой ее точке равна аппликате z этой точки; б) сферического слоя между поверхностями x2+y2+z2=R2 и х2 + у2 + z2 = 4R2, если плотность в каждой его точке обратно пропорциональна расстоянию точки от начала координат.

Решение. а) Пирамида показана на рис. 1.44. Поскольку по условию задачи плотность δ (x, y, z)= z , то, пользуясь формулой (2), будем иметь

58

Рис. 1.44

б) Поскольку расстояние точки от начала координат

7.3. Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями: х + у + z=1, х = 0, у = 0, z = 0.

Решение. Масса тела определяется по формуле (2)

По формулам (3) находим статические моменты

59

Таким образом, по формулам (4) xc = yc = zc = 14 .

7.4. Найти координаты центра тяжести сферы x2 + y2 + z2 = 2az , если плотность в точках сферы обратно

пропорциональна расстоянию этих точек от начала координат. Решение. Центр сферы сдвинут по оси Oz на величину радиуса. По соображениям симметрии, очевидно, что хс и ус

равны 0.

Статический момент относительно плоскости Оху по формуле (3) равен

60