Учебное пособие 1685

2.2.4. Дифференцирование оригинала

Теорема 4. Если функции - оригиналы и если

,то

Вчастности, если , то

Доказательство. С помощью формулы интегрирования по частям находим, что

81

Соотношения (2.17) – (2.18) играют большую роль в применениях преобразования Лапласа, так как сложной операции дифференцирования оригинала соответствует более простая операция над изображением оригинала.

2.2.5. Интегрирование оригинала

Теорема 5. Если , то интегрированию оригинала в пределах от 0 доtсоответствует деление изображения на p.

∫

Интегрированию оригинала в пределах от 0 доt соответствует деление изображения на p.

В самом деле,

Применим к интегралу в правой части этого соотношения формулу интегрирования по частям, полагая

∫

В результате получим

∫

так как, если Rep>s0, где s0- порядок роста функции

∫ ∫

82

2.2.6. Дифференцирование изображения

Теорема 6. Если

Дифференцированию изображению по переменной p соответствует умножение оригинала на (-t).

∫

Применяя это правило n раз, получим

Пример. Положим в формуле (2.21)

( )

иными словами, интегрированию изображения в пределах от pдо соответствует деление оригинала на t.

Доказательство. Пусть несобственный интеграл

сходится и пусть интегрирование по переменной q, соединяющей точки pи , проводится по кривой, лежащей в полуплос-

83

Функция sit называется интегральным синусом. Пользуясь результатом предыдущего примера и теоремой об интегрировании оригинала, находим, что

2.2.8. Теорема о запаздывании оригинала. Изображение периодических оригиналов

Пусть - оригинал и пусть a>0 . Тогда функция называется запоздавшим оригиналом. График функции

получается из графика функии сдвигом вправо на величинуa (рис. 2.4).

84

Впоследнем интеграле сделаем замену переменной t-a=t1.

Врезультате получим

то есть

Пример. Найти изображения функций, графики которых изображены на рис. 2.5, 2.6 и 2.7. Функции можно задать в виде:

85

мере, являются периодическими оригиналами с периодом T=2a. Изображение периодического оригинала можно найти следую-

86

Пример. Найти изображение функции, график которой

2.2.9. Гаммафункция Эйлера. Изображение степенных функций

В общем курсе высшей математики рассматривается несоб-

которое позволяет свести вычисление функции Г( при а>1 к

второго рода. Однако для этих функций преобразование Лапла-

рой является данная функция Для решения этой задачи сравним преобразование Лапласа

с преобразованием Фурье. Как известно, если функция абсолютно интегрируем на всей числовой оси tи на каждом [-T,T] конечной длины кусочно - непрерывна и кусочно - монотонна, то для нее существует преобразование Фурье

отсюда находим, что

∫

Формула (2.30) справедлива во всех точках t, в которых функция непрерывна, и всех . Преобразуем интеграл в правой части (2.30) в интеграл по комплексному переменному

.

если переменная меняется пределах от то переменная p меняется по прямой

. Следовательно,

∫

причем

∫

Непосредственное вычисление интеграла, стоящего правой части формулы (2.31) очень часто сопряжено с большими трудностями. Рассмотрим случаи, когда обратное преобразование Лапласа можно найти более простыми способами.

90