Элементы теории функций комплексного переменного и операционное исчисление и их приложение в технических задачах. Катрахова А.А., Купцов В.С

Доказательство. Проведем в верхней полуплоскости дугу СRокружности | | . Радиус Rэтой окружности выберем так, чтобы все особые точки функции , расположенные в верхней полуплоскости, оказались внутри контура С, состоящего из

71

полуплоскости Imz> 0, кроме одной особой точки z=1+i, являющейся полюсом кратности 2, и

то

∫

1.18.3. Лемма Жордана. Применение леммы к вычислению несобственных интегралов

Пусть СR-дуга окружности радиуса Rс центром в начале координат, расположенная в полуплоскости Imz>b (рис. 1.29).

Лемма. Если функция аналистична в полуплоскости Imz b, кроме конечного числа особых точек, ни одной из

72

то при любом t > 0.

∫

Лемма Жордана приводится здесь без доказательства. Лемма Жордана используется для вычисления некоторых несобственных интегралов.

плоскости Imz>0 и пусть С – контур, состоящий из отрезков [– ]и дуги СR (рис. 1.30).

По основной теореме о вычетах

|

73

Приравнивая в этом равенстве действительную и мнимую части, получаем

∫ ∫

В теории преобразования Лапласа лемма Жордана применяется в другой формулировке. Пусть СR – дуга окружности | | , расположенная в полуплоскости Rep<a (рис. 1.31).

Лемма. Если функция F(p)аналитична в полуплоскости Rep<a, кроме конечного числа особых точек, ни одна из ко-

то при любойt> 0 , ∫ .Вторая формули-

ровка леммы получается из первой, если в ней сделать замену переменной iz = p. При такой замене плоскость комплексного переменного p получается из плоскости переменногоz поворотом на угол вокруг начала координат.

74

2.ОПЕРЕЦИОННОЕ ИСЧЕСЛЕНИЕ 2.1. Оригинал и изображение Лапласа

ных точек, в которых функция или ее производные имеют раз-

торой показательной функции. Это означается, что для каждой

, для которых выполняется неравенство (2.1), назвается по-

ничена на всей числовой оси, то ее порядок роста равен 0. Ну-

ции для которой не выполняется условие 3, служит функция

.Простейшим примеров оригинала является так называемая

условия, предъявляемые к оригиналам, так как

{

Например, функция sint, cost, ,tn и другие не являются оригиналами, так как для них не выполнено условие

при t< 0. Поэтому в операционном исчислении рассматрива-

76

∫

Если функция F(p) является преобразованием Лапласа

функция , то этот факт записывается в виде:

[ ]

77

По определению

∫

Покажем, что интеграл стоящий в правой части этого равен-

∫

|∫ |

Аналитичность функции F(p) в полуплоскости Rep= Примем без доказательства.

2.2. Свойства преобразования Лапласа 2.2.1. Линейность преобразования Лапласа

очевидно, является порядком роста функции

78

Поэтому, если Rep> ,то

∫∫

Примеры. Найти изображения функций cosbt, sinbt,chbt,shbt.

Поэтому

( )

( )

( )

( )

Таким образом,

79

2.2.2. Теорема подобия

что совпадает с результатом (2.6).

( )

2.2.3. Теорема о смещении изображения

Теорема 3. Если то для любого постоянного комплексного числа

В самом деле,

С помощью теоремы 3 из соотношений (2.6)-(2.9) получаем

80