Неопределенный и определенный интегралы. методические указания и контрольные задания к расчету № 3 по курсу математики. Муштенко В.С., Стенюхин Л.В

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Математика

Файл:

2. 1) 2∫ x cos x dx ;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

4.3. Объем тела вращения

Если криволинейная трапеция, имеющая основанием отрезок a ≤ x ≤ b , вращается вокруг оси OX , то объем полученного тела вращения вычисляется по формуле

V =π∫( f (x))2 dx ,

где y = f (x) - уравнение кривой, ограничивающей криволинейную трапецию сверху.

Если тело получено от вращения вокруг осиOX фигуры, ограниченной кривыми y = f1 (x) и y = f2 (x) ( f1 (x) ≤ f2 (x) ) и прямыми x = a и x = b , то объем тела вращения равен

V =πb∫[(f2 (x))2 −(f1 (x))2 ]dx .

Если криволинейная трапеция, имеющая основанием отрезок c ≤ y ≤ d , вращается вокруг оси OY , то объем такого тела вращения вычисляется по формуле

V =π ∫(ϕ( y))2 dy ,

где x =ϕ( y) - уравнение кривой, ограничивающей криволинейную трапецию справа.

Если тело получено от вращения вокруг оси OY фигуры, ограниченной кривыми x =ϕ1 ( y) и x =ϕ2 ( y) и прямыми y = c и y = d , то объем тела вращения равен

V =πd∫[(ϕ2 ( y))2 −(ϕ1 ( y))2 ]dy .

4.4. Некоторые физические задачи

4.4.1. Путь, пройденный телом

Если материальная точка движется по некоторой прямой со скоростью v = f (t) , то путь S , пройденный ею за промежуток времени α ≤ t ≤ β , вычисляется по формуле

S = ∫ f (t)dt .

4.4.2. Работа переменной силы

Пусть под действием силы F = f (x) материальная точка движется по прямой. Работа A этой силы на участке пути [a,b] определяется по формуле

A = ∫ f (x)dx .

4.4.2 Давление жидкости

Для вычисления силы давления жидкости используется закон Паскаля, согласно которому давление жидкости на площадку равно ее площади S , умноженной на глубину погружения h , на плотность ρ и ускорение силы

тяжести g , то есть

P = ρ g h S .

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

1.1) ∫ x x2 −5 dx ;

2)∫1 −52x dx ;

3)∫sin(1 −3x) dx ;

4)∫ cos3 x sin x dx ;

5)∫ x2ex dx ;

6)∫ln x dx ;

7)∫ x3 +1 x2 dx ;

2. 1)	3
	∫ y ln( y −1) dy ;
	2
	+∞	x
3. 1)	0∫		dx ;
		16x4 +1

4.y = x2 , y = 3 −2x .

5.ρ = 3cosϕ , 0 ≤ϕ ≤ 2π .

6.y = 2x − x2 , y = x , (OX).

Вариант 1

8) ∫			x3	dx ;
8) ∫	x2		+ x +1	dx ;
	x2		+ x +1
9) ∫			5x −1			dx ;
9) ∫	3x		2 −2x +1			dx ;
	3x		2 −2x +1
			1
10)	∫		x2 −4x +5 dx ;
11)	∫		x −1		dx ;
		x( x +1)
12)	∫		dx		;
12)	∫	5	−3cos x		;
		5	−3cos x
13)	∫	cos3 x		dx ;
13)	∫	4	+sin x	dx ;
		4	+sin x

14) ∫sin 3x cos 2x dx .

2)	8		x dx	.
2)	∫		x +1	.
	3		x +1
2)	∫		dx .
	1
	0	3	2 −4x

7.	3		от x = 0 до x = 5 .
	y = x	2
8.	x = 2 cos3 t , y = 2 sin3 t .

9. Скорость тела задается формулой v = 1 +t м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 10 с после начала движения.

1. 1) ∫ x 2 −3x2 dx ;

2)	∫	x2		dx ;
		x3	−2

3)∫cos (2 +6x) dx ;

4)∫ xx−2 +21 dx ;

5)∫ xe−x dx ;

6)∫( x +1) ln x dx ;

7)∫ xx2 −+1x dx ;

Вариант 2

8) ∫		x2	dx ;
	x2	+ x +1

9) ∫ 3x2 −2x +4 dx ;

10)	∫	2x +1	dx ;
		5 −4x − x2
11)	∫	x +1	x +1 dx ;
		x +1 −4

12)∫ 2 +dxsin x ;

13)∫sin2 3x dx ;

14)∫sin 3x sin x dx .

2.		π	2 cos x dx ;
2.	1)	∫ x	2 cos x dx ;
		0
3.	1)	+∞	4x	3	dx ;
3.	1)	∫	4x		dx ;
		0	x4 +1
4.	y = x2 , y = 4x −3.
5.	ρ = 3(1 +cosϕ) , 0 ≤ϕ ≤ 2π .
6.	y = 2x − x2 , y = 0 , (OX).
7.	y = ln cos x от x = 0 до x =					π .
						6

2)	∫3 tg2 x dx .
	π
	4
2)	∫		dx	.
	3
	1	3	(3 − x)2

8.x = 2(cos t +t sin t) , y = 2(sin t −t cos t) , 0 ≤ t ≤π .

9.Вычислить работу, которую нужно затратить на сооружение конического кургана, радиус основания которого R = 2 м, а высота H = 3м, из одно-

родного строительного материала плотностью δ = 2,5т/ м3 .

Вариант 3

1.1) ∫ x2 2 +5x3 dx ;

2)∫ sin x x dx ;

3)∫e2+7 x dx ;

4) ∫		x3
4) ∫	1	dx ;
	1	−2x4

5)∫ x2ex dx ;

6)∫ln(x +2) dx ;

7)∫1 −1x3 dx ;

8)∫ x2 +1 dx ;

x2 + x

9) ∫		2x +5	dx ;
	x2	−6x +10

		1
10) ∫		2 −2x − x2 dx ;

11) ∫ 3 x x−5 dx ;

12) ∫ cos x +sin x ;

13) ∫sin4 x dx ;

14) ∫sin 8x cos x dx .

+∞	x	2		0			dx	.
3. 1) ∫	( x3 +8)5		dx ;	2) ∫		3	1 +3x	.
0	( x3 +8)5			−	1		1 +3x
				3

4.y = x2 , y = 5 x −2 . 2 2

5.ρ = 4 sin 2ϕ (четырехлепестковая роза).

6.y = 4x −2x2 , y = 0 , (OX).

7.	y = ln sin x от x = π до x =	2π	.
7.	y = ln sin x от x = π до x =	3	.
	3	3
8.	x = 4 cos3 t , y = 4 sin3 t .
9.	Вычислить силу давления воды на прямоугольник, вертикально погру-

женный в воду, если известно, что его основание 8м, высота 12м, верхнее основание параллельно поверхности воды и находится на глубине 5м. Плот-

ность δ =1 кг/ м3 .

Вариант 4

1. 1) ∫

dx ;

8) ∫

dx ;

x ln x

2 −1

2) ∫

e x

dx ;

9) ∫

6x +4

dx ;

−8x +4

∫

dx ;

10)

∫

dx ;

1 − x4

x2 +4x +2

∫

x +2

dx ;

11)

∫

dx ;

1 − x2

x −1

∫arctg x dx ;

12)

∫

;

cos x −sin x

6)∫cos(ln x) dx ;

7)∫ x +1x3 dx ;

2. 1)	π		sin x dx ;
	∫ x2
	0
3. 1)	+∞		1	dx ;
	0∫
		π( x2 +4x +5)

4.y = x2 , y = 6 −5x .

5.ρ = 2(1 −cosϕ) , 0 ≤ϕ ≤ 2π .

6.y = 4x −2x2 , y = x , (OX).

13)∫sin2 x cos2 x dx ;

14)∫sin 2x cos 4x dx .


2ln 2			1		dx .
2)	∫		1
2)	∫	ex −1
ln 2		ex −1
2		x	2	dx .
2) ∫	3	x		dx .
0	3	64 − x6

7. y =	x2	от x = 0 до x = 2 .
	2

8.x =5cos2 t , y =5sin2 t , 0 ≤ t ≤ π2 .

9.Скорость движения материальной точки v = 4te−t2 м/с. Какой путь пройдет точка от начала движения до полной остановки?

Вариант 5

1. 1) ∫

2x +2

dx ;

8) ∫

x3 +1

dx ;

+2x

x2 + x

2) ∫ cos

dx ;

9) ∫

dx ;

1 −3x − x

3) ∫

dx ;

10)

∫

5x −1

dx ;

+ x4

6 +4x − x2

4) ∫

1 −2x2 dx ;

11)

∫

x3 (

x −1)dx ;

5) ∫ x arctg x dx ;

12)

∫

;

+2 cos x

6) ∫ x 2x dx ;

13)

∫cos5 x dx ;

7) ∫

x2 +1

dx ;

14)

∫cos3x cos5x dx .

x − x3

dx .

2. 1)

∫arccos 2x dx ;

2) ∫

2x +

3x +

−

dx .

3. 1)

∫

dx ;

2) ∫

−∞

( x2 +4)3

0,5 9 1 −2x

x2 x

4.y = 2 , y = 2 +3.

5.ρ = 4 cos 3ϕ .

6.y = 3x − x2 , y = 0 , (OX).

7.y = ( x −1)3 от x =1 до x = 6 .

8.x = 9(t −sin t) , y = 9(1 −cos t) , 0 ≤ t ≤ 2π .

9.Вычислить силу давления воды на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что его основание 2м, высота 3м, верхнее основание параллельно поверхности воды и находится на глубине 4м. Плот-

ность δ =1 кг/ м3 .

1.1) ∫ sin(lnx x) dx ;

x2 + 1

2)∫ x3 + 3x dx ;

3)∫tg x dx ;

4)∫ x4 x−3 dx ;

5)∫ x2 arctg x dx ;

6)∫ x e3xdx ;

7) ∫		x3	−1		dx ;
7) ∫	x2 + x −2				dx ;
	x2 + x −2
2. 1)		π	sin 2x dx ;
2. 1)		∫ x	sin 2x dx ;
		−π
3. 1)		+∞		x		2	dx ;
		∫		x
		∫	3 ( x3 +4)4
		0	3 ( x3 +4)4

4. y = 2x2 + 2x , y = 52x .

Вариант 6

8)	∫	x	3 +1	dx ;
		x3	− x2

9) ∫ x2 +2x +2 dx ;

		2x −1
10)	∫	x2 +16x +60 dx ;
11)		3 x	dx ;
	∫ 23 x +3 x

12)∫ sin x dx ; 3 +cos x

13)∫ tg13 x dx ;

14)∫sin 3x cos5x dx .

5	x	dx .
2) ∫	x	dx .
0	x +4

	1 ln(3x −1) dx		.
2) ∫		3x −1
	1
3

5.ρ = 2ϕ , один виток спирали Архимеда и полярная ось.

6.xy = 4 , 2x + y −6 = 0 , (OX).

7.y =1 −ln cos x от x = 0 до x = π6 .

8.x = 7(t −sin t) , y = 7(1 −cos t) , 0 ≤ t ≤ 2π .

9.Скорость тела задается формулой v = 3t2 +2t +1 м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 3 с после начала движения.

1. 1) ∫	cos(ln x) dx			;
		x
2)	∫	x5	dx ;
		x6 +10

3)	∫ctg x dx ;
4)	∫	x +5	dx ;
		6 − x2

5)∫ x2 sin x dx ;

6)∫(x2 +9) ln x dx ;

7) ∫ ( x2 +3)( x −1) dx ;

2. 1)	0
	∫ x e−2 x dx ;
	−	1

	2
3. 1)	+∞		4	dx ;
	1∫
			x(1 +ln2 x)

Вариант 7

8) ∫		x3 +1	dx ;
	x2	−5x +6

				x
9) ∫		x2 −4x +10 dx ;
10)	∫				8	dx ;
10)	∫	4x2 +16x −20				dx ;
11)	∫	6	x		dx ;
11)	∫	2 −	3	x	dx ;
		2 −	3	x

12)∫sin3 2x dx ;

13)∫tg4 x dx ;

14)∫sin 3x sin 5x dx .

	π		1
2)		6∫		dx .

		0 cos x
2)		∫	dx .
	1
		3 5	3 −4x
		4

4.y = 3x2 + x , y = 4x .

5.ρ = 4sin2 ϕ .

6.y = x , y = x3 , (OX).

7.y = ( x +1)3 от x = −1 до x = 4 .

8.x = 3t2 , y = t −t3 .

9.Определить работу A , которую необходимо затратить, чтобы выкачать

воду из прямого кругового цилиндра. Радиус основания цилиндра R = 2м, высота h = 4м.

1. 1) ∫esin x cos x dx ;

2) ∫	2x −5	dx ;
	3 − x2

3)∫ arcctg2 x dx ;

x2 +1

4)∫sin(2x −7) dx ;

5)∫ x2 arcsin x dx ;

6)∫(x +2) cos 4x dx ;

x−2

7)∫ x3 + x2 + x −3 dx ;

	π
2. 1)	∫3 tg2 x dx ;
	0
3. 1)	+∞		1	dx ;
	∫
	∫	4x2	+4x +5
	−1	4x2	+4x +5

Вариант 8

8) ∫	2x5 −2x3 + x2				dx ;
		1 − x4

9) ∫		3x +5	dx ;
		x2 −4x +5
10)	∫	8		dx ;
		x2 −6x +25
11)	∫	x	dx ;
		3 2x +3
12)	∫	1				dx ;
		2 −3cos x +sin x
13)	∫cos2 3x sin 3x dx ;
14)	∫cos 4x cos5x dx .
ln 3		1	dx .
2) ∫
		ex −e−x
ln 2

1 x dx

2)∫0 1 − x4 .

4.y = x2 , y = 2 − x2 .

5.ρ = cos 2ϕ .

6.y = ex , y = 0, x = 0 , x =1, (OX).

7.y = x3 от x = 0 до x = 4 .

8.x = 7(t −sin t) , y = 7(1 −cos t) , 0 ≤ t ≤ 2π .

9.Определить работу A , которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда, диаметр которого равен 20м, если плот-

ность воды δ =1 кг/ м3 .

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика