Учебное пособие 1664

x = 2arctg t , dx = d (2arctg t)= (2arctg t)′dt = 1+2t2 dt .

1.9. Интегрирование тригонометрических выражений

Интегралы вида ∫sinm x cosm x dx целесообразно разбить на два случая:

а) хотя бы один из показателей m или n - нечетное положительное число. Если m - нечетное число, то применяется подстановка t = cos x . Если n - нечетное число, то применяется подстановка t =sin x ;.

б) оба показателя степени m и n - четные положительные числа. Тогда следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул

Пример 1.9. Найти интеграл ∫sin3 x cos4 x dx .

Решение. Полагая t = cos x , dt = −sin x dx , получим

∫sin3 x cos4 x dx = −∫sin2 x cos4 x (−sin x dx) =

= −∫(1 −cos2 x) cos4 x (−sin x dx) = −∫(1 −t2 ) t4dt = −∫(t4 −t6 ) dt =

11

Пример 1.10. Найти интеграл ∫cos4 x dx .

Решение.

∫cos4 xdx = ∫ 1+cos 2x 2 dx = 1 ∫(1+2 cos 2x +cos2 2x)dx =2 4

можно легко решить, применив формулы тригонометрии:

2.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.1.Свойства определенного интеграла:

12

2.2. Формула Ньютона-Лейбница

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке. Для всякой функции f (x) , непрерывной на отрезке [a,b], существует на этом отрезке неопределенный интеграл ∫ f (x)dx = F(x) +C и имеет место формула Ньютона-Лейбница

b

∫ f (x)dx = F(b) − F(a) .

a

При вычислениях эту формулу обычно пишут в виде

Пример 2.1. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить инте-

2

грал ∫ x3dx .

−1

Решение.

13

π

Пример 2.2. Вычислить интеграл ∫2 cos2 ϕ dϕ .

0

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение по формуле

cos2 ϕ = 1 +cos 2ϕ 2

2.3 Замена переменной в определенном интеграле

Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], и пусть:

1)функция x =ϕ(t) , где ϕ(t) - монотонная, непрерывно дифференцируемая функция, когда новая переменная t меняется от α до β ;

2)ϕ(α) = a , ϕ(β) = b .

Тогда имеет место следующее правило замены переменной в определенном интеграле:

Первое условие обеспечивает непрерывность функции под знаком интеграла в правой части равенства.

Монотонность функции x =ϕ(t) нужна для того, чтобы при изменении t от α до β соответствующее значение x =ϕ(t) не вышло за пределы отрезка [a,b], где функция f (x) может быть не задана.

Второе условие устанавливает соответствие между пределами интегри-

14

Пределы изменения для новой переменной удобно находить при по-

При замене переменной часто удобно пользоваться не подстановкой x =ϕ(t) для перехода к новой переменной t , а, наоборот, обозначить новой переменной u =ψ(x) . В этом случае новые пределы определяют по форму-

2.4. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Если функции u = u(x) , v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b], то имеет место формула

где uv b = u(b)v(b) −u(a)v(a) .

a

15

Решение.

3.НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3.1.Интегралы с бесконечными пределами или несобственные интегралы первого рода

Если функция y = f (x) непрерывна при a ≤ x < +∞, то интеграл

+∞

∫ f (x)dx называется несобственным с бесконечным пределом и он вычисля-

a

ется по формуле

16

где F′(x) = f (x) .

Если предел в правой части равенства существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае он называется расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл с нижним бесконечным пределом и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами:

и, следовательно, несобственный интеграл сходится.

17

Решение. Это интеграл с обоими бесконечными пределами. Так как по-

дынтегральная функция f (x) = 1 +1x2 четная, то по свойству 7 определенного

сходится.

3.2. Интегралы от неограниченных функций или несобственные интегралы второго рода

вается несобственным интегралом от неограниченной функции и он вычисляется по формуле:

Если точка « c » является одним из концов отрезка [a,b], то есть c = a или c = b , то имеем соответственно

Несобственный интеграл от неограниченной функции называется сходящимся, если существуют и конечны пределы в правой части указанных формул, и расходящимися, если не существует хотя бы одни из них.

ограничена в точке x =1, так как f (x) = ∞, поэтому данный интеграл является несобственным интегралом от неограниченной функции.

18

Для вычисления этого интеграла применим формулы

Несобственный интеграл сходится.

Пример 3.5. Исследовать, сходится ли несобственный интеграл

ходится.

4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

4.1. Площадь плоской криволинейной фигуры

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y = f (x) ( f (x) ≥ 0), слева и справа соответственно прямыми x = a и x = b , а снизу осью OX , вычисляется по формуле

b

S = ∫ f (x)dx .

a

19

то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x = a и x = b и осью OX , выражается формулой

β

S = ∫ψ(t) ϕ′(t) dt ,

α

где α и β определяются из уравнений a =ϕ(α) , b =ψ(β) .

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ = ρ(ϕ) и двумя полярными радиусами ϕ =α и ϕ = β (α < β ), находится по формуле

Если кривая задана уравнениями в полярных координатах ρ = ρ(ϕ) , α ≤ϕ ≤ β , то длина дуги кривой находится по формуле

α

20