Учебное пособие 1664
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. 1) ∫ x3 cos(x4 ) dx ; |
|
8) ∫ |
|
x3 + x −1 |
dx ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
∫ |
|
x +4 |
|
dx ; |
|
9) ∫ |
|
|
|
|
3 |
|
|
dx ; |
|
|
|||||||
|
|
|
3 +2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 +6x + |
5 |
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
∫ctg5x dx ; |
|
|
|
10) |
∫ |
|
|
x |
|
|
|
dx ; |
|
||||||||||
|
|
|
2x2 −12x |
+15 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4) |
∫4 |
5 −3x dx ; |
|
11) |
∫ |
|
|
x +1 |
|
dx ; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 − x −2 |
|
|
|
|
|
|
||||
5) |
∫ln2 x dx ; |
|
|
|
|
12) |
∫ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
; |
||||||
|
|
|
|
−2 cos x +sin x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6) |
∫(x +2) e4 xdx ; |
13) |
∫sin2 5x dx ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7) |
∫ |
|
|
x +6 |
|
|
dx ; |
14) |
∫sin 4x cos15x dx . |
|
||||||||||||||
x( x |
2 |
+ x |
+2) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. 1) ∫e 1 +ln x dx ; |
2) ∫ |
|
|
sin x |
3 |
dx . |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
(1 |
−cos x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. 1) |
+∞ |
|
|
1 |
|
dx ; |
1 |
|
|
x |
4 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ |
|
|
|
2) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
2 |
+4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
1 − x5 |
|
|
|
|
|
|
|
4.y = sin x , y = 0 .
5.x = 3cos t , y = 2sin t , 0 ≤ t ≤ 2π .
6.y = x2 , y2 = x , (OX).
7.y =1 −ln cos x от x = 0 до x = π6 .
8.ρ =sin3 ϕ3 0 ≤ϕ ≤ π2 .
9.Скорость тела задается формулой v = 2t2 −t +3 м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 5 с после начала движения.
31
sin x
1. 1) ∫ cos2 x dx ;
2) ∫ 32−x5+x12 dx ;
3) ∫e5x−6dx ;
4) ∫ x sin (1 − x2 ) dx ;
5) ∫arctg x dx ;
6) ∫(2x +1) cos 7x dx ;
7) ∫ xx4+−31 dx ;
e |
1 +ln2 x |
dx ; |
2. 1) ∫ |
x |
|
1 |
|
0x
3.1) −∫∞ 3 ( x2 +5)7 dx ;
4.y = x3 , y =1 , x = 0 .
5.ρ = 4 sin2 ϕ .
6.y = 2x − x2 , y = 0 , (OX).
Вариант 10
8)∫ 2 − x2 dx ;
x2 +1
9) ∫ |
|
|
8x +3 |
dx ; |
||||
|
27 +12x −4x2 |
|||||||
10) |
∫ |
|
|
1 |
|
dx ; |
||
x2 −8x +15 |
||||||||
11) |
∫ |
3 x |
x |
2 |
dx ; |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
||
12) |
∫ |
|
|
|
1 |
|
|
dx ; |
5 +2 cos x +sin x |
||||||||
13) |
∫tg3 2x dx ; |
|
|
|||||
14) |
∫cos 4x cos5x dx . |
|||||||
2) 9∫ |
|
x |
|
|
dx . |
|
|
|
(1 + x2 )3 |
|
|
||||||
4 |
|
|
|
|
πsin x dx
2)π∫ 3 cos2 x .
2
7. y = ln sin x от x = π3 до x = π2 .
8.ρ = 3cosϕ .
9.Материальная точка движется со скоростью v = 3t2 −2t +2 м/с. Какой путь она пройдет за первые 5 с после начала движения?
32
1. 1) |
∫ |
tg3 x +1 |
dx ; |
|
|
cos2 x |
|||
|
|
|
|
|
2) ∫ |
3 −9x |
dx ; |
||
|
|
|
3 + x2 |
|
3)∫e3−5xdx ;
4)∫ x cos(1 −4x2 ) dx ;
5)∫arccos 2x dx ;
6)∫(1 − x) sin 3x dx ;
x
7) ∫ x4 +6x2 +5 dx ;
2. |
1) |
e2 |
x ln x dx ; |
|
∫ |
||||
|
|
1 |
arctg x dx ; |
|
3. |
1) |
∫ |
||
|
|
+∞ |
|
|
|
|
0 |
π(1 + x2 ) |
|
4. |
y2 = 9x , y = 3x . |
|||
5. |
ρ = 4(1 +cosϕ) . |
Вариант 11
8) ∫ |
1 + x3 |
dx ; |
|
|
|
||
x3 − x2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
9) ∫ |
|
5x +3 |
|
|
|
dx ; |
|
|
|
5 +4x − x2 |
|
||||
10) |
∫ |
1 |
|
|
|
dx ; |
|
x2 +3x +3 |
|||||||
11) |
∫ |
x2 +9 |
− |
6 |
dx ; |
||
x2 |
+ |
9 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
12)∫ 2 +cos1 x dx ;
13)∫sin5 2x dx ;
14)∫sin 7x sin 5x dx .
2) |
5 |
x |
dx . |
∫ |
|||
|
2 |
x −1 |
|
2) |
1 |
2x dx |
. |
∫ |
1 − x4 |
||
|
0 |
|
6.y = cos x , x = 0 , x = π2 , y = 0 (OX).
7.y = 2 x3 от x = 0 до x = 4 .
8.ρ = 5sinϕ .
9.Определить работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружи-
ну на 0,05 м, если известно, что сила, растягивающая пружину на x м, равна F ( x) = kx , где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от упруго-
сти пружины, и что для растяжения пружины на 0,01 м необходима сила 1 кг.
33
1. 1) ∫cos3 2x sin 2x dx ;
2) ∫103 +− xx2 dx ;
3) |
∫ |
e |
x+1 |
dx ; |
|
x +1 |
|||||
|
|
|
4)∫ 1 +x x4 dx ;
5)∫sin(ln x) dx ;
x −2
6) ∫ ex dx ;
7) |
∫ |
|
x2 |
|
dx ; |
|||
( x |
−1)3 |
|||||||
|
|
|
|
|||||
2. |
|
1 |
|
|
|
|
x dx ; |
|
1) ∫arctg |
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
3. |
|
+∞ |
x |
|
dx ; |
|||
1) ∫ |
|
|
||||||
|
1 + x4 |
|||||||
|
|
0 |
|
|
||||
4. |
y2 = 4x , x = 4 . |
|||||||
5. |
x = 4 cos3 t , y = 4 sin3 t . |
Вариант 12
8)∫ 4 + x3 dx ;
x3 − x
9) ∫ |
|
x +3 |
dx ; |
||
5 + x − x2 |
|||||
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
10) |
∫ |
x2 +6x +12 dx ; |
|||
11) |
∫ |
x −6 dx ; |
|||
|
|
x +5 |
|
|
|
12) |
∫ |
|
1 |
dx ; |
|
2 +4 cos x −3sin x |
|||||
13) |
∫sin4 x dx ; |
14) ∫sin 7x cos8x dx .
2) |
2 |
1 |
dx . |
|
∫ |
||||
x2 + x |
||||
|
1 |
|
||
2) |
1 |
dx |
. |
|
∫ |
||||
|
0 |
5 1 − x |
|
6.y = x +2 , x = 2 , y =1 (OX).
7.y = x2 от x = 0 до x = 2 .
8.ρ = 2(1 −cosϕ) .
9.Определить работу A , которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из котла, имеющего форму полушара радиусом R = 4м, если плотность
воды δ =1 кг/ м3 .
34
|
|
|
Вариант 13 |
|
|
|
|
|
||
1. 1) ∫sin (2x −9) dx ; |
8) ∫ |
|
|
x3 +1 |
|
|
dx ; |
|||
|
|
|
x3 + x2 − x |
|||||||
2) ∫ |
0,5x +1 dx ; |
9) ∫ |
|
|
x −5 |
|
dx ; |
|
||
1 + x + x2 |
|
|||||||||
|
|
x2 + x |
|
|
|
|
||||
3) |
∫ |
arcsin x dx ; |
10) |
∫ |
|
1 |
8x + |
dx ; |
||
|
|
1 − x2 |
|
|
|
2x2 + |
7 |
|||
4) |
∫tg 3x dx ; |
11) |
∫ |
|
x +1 |
|
dx ; |
|
||
|
|
|
|
|
3 |
3x +1 |
|
|
|
|
ln x
5) ∫ x3 dx ;
6) ∫(2x +5) sin x dx ;
x2 +6
7) ∫ x( x2 +4x +5) dx ;
|
|
1 |
|
|
|
|
2. 1) ∫(x +3)e−2 xdx ; |
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
3. 1) |
+∞ |
1 |
dx ; |
|||
0∫ |
|
|||||
4x2 +4x +5 |
||||||
4. |
y = x2 , y =1. |
|||||
5. |
x = 4 cos t , y = 5sin t . |
|||||
6. |
y = |
x |
+3, x = 4 , y =1 (OX). |
|||
|
||||||
|
|
2 |
|
|
7. y = ln cos x от x = 0 до x = π2 .
1
12) ∫ sin x −4 cos x dx ;
13) ∫sin2 3x dx ;
14) ∫sin 6x sin 8x dx .
2) |
3 7 |
x |
2 |
dx . |
∫ |
|
|||
|
0 |
x3 +9 |
|
|
2) |
∫ |
dx . |
|
|
|
0 |
|
|
|
−133 1 +3x
8.ρ = 3cosϕ .
9.Материальная точка движется со скоростью v = t2 −2t +2 м/с. Какой путь она пройдет за первые 7 с после начала движения?
35
Вариант 14
1.1) ∫cos (2 −9x) dx ;
2)∫ x2 x+3 dx ;
3)∫ arctgxx2 +1 dx ;
4)∫esin x cos x dx ;
5)∫ln (x +5) dx ;
6)∫ x cos(1 − x) dx ;
4
7) ∫ x(x2 +2x +2) dx ;
|
|
π |
|
|
2. |
1) |
8∫ x sin 4x dx ; |
||
|
|
0 |
|
|
3. |
1) |
+∞ |
1 |
dx ; |
1∫ |
|
|||
x (1 +ln2 x) |
||||
4. |
y2 = 9x , y = 3x . |
|||
5. |
x = 4 cos3 t , y = 4sin3 t . |
6.y = x , x = 4 , x =1, y = 0 (OX).
7.y = 12 (ex +e−x )от x = 0 до x =1.
8) ∫ |
|
|
x2 +1 |
dx ; |
|
|
|||
|
x2 |
+ x −6 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
9) ∫ |
|
|
|
4x −5 |
|
dx ; |
|||
10 |
+6x + x2 |
||||||||
|
|
|
|
||||||
10) |
|
∫ |
1 |
|
|
dx ; |
|||
|
5 −2x + x2 |
||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
11) |
|
∫ |
x +1 +1 dx ; |
||||||
12) |
|
∫ |
|
|
1 |
|
|
dx ; |
|
|
8 +5sin x −4 cos x |
13) ∫sin3 x cos4 x dx ;
14) ∫sin 2x cos 6x dx .
2) ∫ |
dx . |
ln12 |
|
ln5 |
ex +4 |
πsin x dx
2)π∫ 3 cos x .
2
8.ρ = 3sinϕ .
9.Материальная точка движется со скоростью v = t e−0,5t м/с. Какой путь она пройдет за первые 2 с после начала движения?
36
1. 1) ∫ctg 5x dx ;
2) ∫ 3x1+5 dx ;
3) ∫ arccos x dx ;
1 − x2
4)∫ex3 +5 x2dx ;
5)∫ x ln (x +5) dx ;
6)∫(2 + x)e1−xdx ;
4
7) ∫ x2 ( x +2) dx ;
1
2. 1) ∫arcsin (1 − x) dx ;
1
2
3. 1) ∫ |
1 |
dx ; |
+∞ |
|
|
0 |
x2 +9 |
|
4. y2 = 4x , x =1.
5. ρ = 3 cosϕ .
6. y = sin x , y = 0 (OX).
3
Вариант 15
8) ∫ |
|
x3 +1 |
|
dx ; |
||
x2 +2x −6 |
||||||
|
|
|
||||
9) ∫ |
|
1 |
|
dx ; |
||
5 +2x + x2 |
|
|||||
10) |
∫ |
2x −6 |
|
dx ; |
||
|
|
5 −2x − x2 |
||||
11) |
∫ |
1 |
dx ; |
|||
|
|
3 x − x |
|
|
|
|
12) |
∫ |
1 |
|
|
dx ; |
|
1 +sin x −cos x |
||||||
13) |
∫sin2 x cos2 x dx ; |
14) ∫cos 4x cos6x dx .
2) |
∫ |
|
dx . |
|
|
0 |
|
|
|
|
−1 |
4x2 −9 |
|
|
2) |
3 |
3 |
9x dx . |
|
∫ |
|
|||
|
0 |
3 9 − x2 |
7.y = ( x −1)2 от x =1 до x =5 .
8.x = 3(t −sin t) , y = 3(1 −cos t) , 0 ≤ t ≤ 2π .
9.Шар лежит на дне бассейна глубиной h =8м. Определить работу, кото-
рую необходимо затратить, чтобы извлечь шар из воды, если его радиус R = 2м и удельный вес шара и воды равен 1.
37
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 16 |
|
|
|
|
|
|
|||
1. 1) ∫ x sin (5x2 +3) dx ; |
8) ∫ |
|
|
2x3 +1 |
|
|
dx ; |
|||||||||||||||||||
x |
2 +2x + |
7 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2) ∫ |
|
|
1 |
|
|
|
dx ; |
|
|
9) ∫ |
|
|
3x −2 |
|
|
dx ; |
||||||||||
2x −7 |
|
|
x |
2 −8x − |
8 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3) ∫ |
|
|
|
|
e |
x |
|
|
dx ; |
|
10) ∫ |
|
1 |
|
|
|
|
dx ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
−e2 x |
|
|
|
|
|
|
3 −6x − x2 |
|||||||||||||||
4) |
∫ |
2x −3 |
dx ; |
|
|
11) ∫ |
|
x |
dx ; |
|||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
+5 |
|
|
|
3 x2 −1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5) ∫ x cos (4x +5) dx ; |
12) ∫ |
|
1 |
|
|
|
|
dx ; |
||||||||||||||||||
5 +3sin2 x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6) ∫(2 + x + x2 ) ln x dx ; |
13) ∫sin3 2x dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||
7) ∫ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx ; |
|
14) ∫cos 4x sin 5x dx . |
|||||||||||||
x( x +1)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. 1) ∫ xex dx ; |
|
|
|
2) ∫ |
|
|
x dx . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
5 −4x |
|
|
|
|
|
|||
3. 1) |
|
∫ |
|
|
|
x |
2 |
|
|
dx ; |
2) ∫ |
3 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 − x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
x3 +1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
y = |
|
x |
2 |
, |
|
y = |
3 |
− x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
x = 4 cos3 t , |
y = 4 sin3 t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. y = 2 − x2 , x + y = 2 , (OX). 2
7. y = ln cos x от x = 0 до x = π6 .
8.ρ = 4(1 +cosϕ) .
9.Материальная точка движется со скоростью v = t 2−0,05t м/с. Какой путь она пройдет за первые 2 с после начала движения?
38
1.1) ∫4x3 x4 −5 dx ;
2)∫1 −56x dx ;
3)∫sin (1 +3x) dx ;
4)∫ cos x sin x dx ;
5)∫ x2e−x dx ;
6)∫( x +1) ln x dx ;
7)∫ xx3 ++5x2 dx ;
|
|
π |
1 |
|
|
||
2. |
1) |
6∫ |
|
dx ; |
|||
|
|
||||||
|
|
0 cos x |
|
|
|||
3. |
1) |
+∞ |
x |
|
dx ; |
||
∫ |
|
||||||
x4 +16 |
|||||||
|
|
0 |
|
|
|||
4. |
y = x2 , y = 5x −4 . |
||||||
5. |
ρ = 3cos 2ϕ . |
6. y = x − x2 , y = 0 , (OX).
3
7.y = x 2 от x = 0 до x = 3 .
8.x = 2 cos t , y = 2 sin t .
Вариант 17
x3
8)∫ x2 +2x +2 dx ;
x−1
9)∫ 3x2 −2x −4 dx ;
|
|
1 |
|
10) |
∫ |
x2 −2x +5 dx ; |
|
11) |
∫ |
2x +1 |
dx ; |
|
|
2x +1 +5 |
|
12)∫ 5 −cosdx 2 x ;
13)∫ ctg12 x dx ;
14)∫cos3x cos 2x dx .
2) |
2 |
|
2x −1 |
dx . |
|||
|
∫ |
|
|
||||
x2 +7 |
|||||||
|
1 |
|
|
||||
|
|
1 |
|
dx . |
|||
2) |
|
∫ |
|||||
|
4 |
|
|
|
|
||
|
|
0 3 1 −4x |
9. Вычислить работу, которую нужно затратить на сооружение конического кургана, радиус основания которого R = 3м, а высота H = 4 м, из одно-
родного строительного материала плотностью δ = 3,5 кг/ м3 .
39
1. 1) |
∫ |
x2 |
|
2 |
dx ; |
||
|
|
+ x3 |
2)∫ 2 +15x dx ;
3)∫e2−3x dx ;
4) |
∫ |
1 |
dx ; |
(arcsin2 x) 1 − x2 |
5)∫ x2 cos x dx ;
6)∫( x2 +4x +2) ln x dx ;
7)∫ xx3 +−18 dx ;
|
π |
|
1 |
|
|
|
2. 1) |
2∫ |
|
dx ; |
|
||
2 +cos x |
|
|||||
|
0 |
|
|
|
||
3. 1) |
+∞ |
1 |
|
|
dx ; |
|
∫ |
|
|
|
|
||
|
x (ln x −1)2 |
|||||
|
e2 |
|
|
4.y = 23 x2 + 2x , y = 2x .
5.x = t −sin t , y =1 −cos t .
6. y = 2 − x2 , y = x2 , (OX).
3
7. y = x 2 от x =1 до x = 4 .
Вариант 18
8) |
∫ |
x2 |
+1 |
|
dx ; |
||
x2 + x +1 |
|||||||
|
|
|
|
||||
9) |
∫ |
|
x |
|
dx ; |
||
x2 −2x +10 |
|
|
|
|
1 |
10) |
∫ |
|
x2 +8x +11 dx ; |
|
11) |
∫ |
|
x |
dx ; |
|
|
4 |
x +1 |
dx
12) ∫ cos2 x +3sin2 x ;
13) ∫cos3 4x dx ;
14) ∫sin 4x sin 2x dx .
|
|
1 |
x −3 |
|
|
2) |
2 |
dx . |
|||
|
∫ |
1 − x2 |
|||
|
0 |
|
|||
2) |
1 |
x |
4 |
dx . |
|
|
∫ |
|
|||
|
0 |
3 1 − x5 |
|
8.ρ = 6(1 −cosϕ) .
9.Вычислить силу давления воды на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что его основание 9м, высота 13м, верхнее основание параллельно поверхности воды и находится на глубине 4м. Плот-
ность δ =1,5 кг/ м3 .
40