Учебное пособие 1664

∫ f (x)dx = F(x) +C ,

где F(x) - некоторая первообразная функции f (x) , а C - произвольная постоянная. Функцию f (x) называют подынтегральной функцией, а f (x)dx -

подынтегральным выражением.

1.2. Таблица неопределенных интегралов

Из формул дифференцирования основных элементарных функций можно получить таблицу неопределенных интегралов:

5.∫exdx = ex +C .

6.∫cos xdx =sin x +C .

7.∫sin xdx = −cos x +C .

8.∫ cosdx2 x = tg x +C .

9.∫ sindx2 x = −ctg x +C .

10.∫ x2 dx+a2 = a1arctg ax +C , a = const .

11.∫ x2 dx−a2 = 21a ln xx +−aa +C , a = const .

4

1.3. Свойства неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

1.(∫ f (x)dx)′ = f (x) .

2.d (∫ f (x)dx)= f (x)dx .

3.∫dF(x) = F(x) +C .

4.∫kf (x)dx = k ∫ f (x)dx , k = const .

5.∫(f (x) ± g(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx .

Пример 1.1. Найти интеграл ∫(2 cos x +3x2 − x +4x +5)dx .

Решение. Применяя свойства (4) - (5) и формулы (6), (2), (1), получим цепочку равенств

∫(2 cos x +3x2 − x +4x +5)dx =

1

= 2∫cos xdx +3∫ x2dx − ∫ x2 dx +4∫ xdx +5∫dx =

Используем свойство (1) неопределенного интеграла для проверки:

=2 cos x +3x2 − 23 23 x12 +2 2x +5 =

=2 cos x +3x2 − x +4x +5.

Мы получили подынтегральную функцию. Следовательно, интеграл найден правильно.

5

1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:

а) x =ϕ(t) , где ϕ(t) - монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t . Формула замены переменной в этом случае имеет вид

∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt ;

б) u =ψ(x) , где u - новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:

Пример 1.3. Найти интеграл ∫esin x cos x dx .

Решение. Сделаем подстановку t =sin x , dt = cos xdx . Тогда в силу б)

∫esin x cos xdx = ∫et dt = et +C = esin x +C .

1.5.Интегрированием по частям

Интегрированием по частям называется отыскание интеграла по фор-

муле

∫u dv = uv − ∫v du ,

где u = u(x) , v = v(x) - непрерывно дифференцируемые функции.

6

С помощью этой формулы нахождение интеграла ∫u dv сводится к отысканию другого интеграла ∫v du ; ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо подобен ему.

Для интегралов вида ∫P(x)eαxdx , ∫P(x)sinαx dx , ∫P(x) cosαx dx ,где P(x) - многочлен, за u следует принять P(x) , а за dv - соответственно вы-

принимаются соответственно ln x , arcsin x , arccos x , arctg x , arcctg x , а за dv - выражения P(x)dx .

Пример 1.4. Найти интеграл ∫ x cos x dx .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям:

u = x;du = dx;

∫ x cos x dx = dv = cos x dx;v = ∫dv = ∫cos x dx = sin x +C = = x sin x − ∫sin x dx = x sin x +cos x +C.

Пример 1.5. Найти интеграл ∫ x2 ln x dx .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям:

1.6.Для интегрирования выражений, содержащих квадратный трехчлен

взнаменателе

Для интегрирования выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе, необходимо выделить полный квадрат по формуле

Затем ввести новую переменную t = x + 2ba ; x = t − 2ba ; dx = dt и попы-

таться свести полученный интеграл к табличным интегралам (10)-(13).

7

=23 ∫ t22+t 9 dt +113 arctg 3t +C = 23 ln t2 +9 +113 arctg 3t +C =

=23 ln x2 −4x +13 +113 arctg x −3 2 +C.

1.7.Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь QP((xx)) , где P(x) и Q(x) - мно-

гочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x) ; в противном случае дробь называется неправильной.

Простейшими дробями называются правильные дроби вида:

тельные числа.

Интегралы от простейших дробей первых трех типов соответственно равны:

8

Интегрирование рациональной дроби следует проводить по следующей схеме:

а) если дробь неправильная, необходимо выделить целую часть, то есть представить в виде

QP((xx)) = H (x) + QR((xx)) ,

где H (x) - многочлен, QR((xx)) - правильная рациональная дробь;

б) если дробь правильная, разложить знаменатель на линейные и квадратичные сомножители

Q(x) = (x −a)k ...(x2 + px + q)m ... ,

где квадратный трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней;

в) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:

последнее равенство к общему знаменателю, а затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.

В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.

9

После приведения правой части к общему знаменателю, приравняв числители, получим

4 = A(x +1)( x2 +1) + B(x −1)( x2 +1) +(Cx + D)(x −1)( x +1),

4 = 4 = A(x3 + x2 +1) + B(x3 − x2 + x −1) +C(x3 − x) + D(x2 −1),

4 = ( A + B +C)x3 +( A − B + D)x2 +( A + B −C)x +( A − B − D).

Приравнивая коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях x в левой и правой частях, имеем систему уравнений

A + B +C = 0,A − B + D = 0,A + B −C = 0,A − B − D = 4.

Решая эту систему, получим A =1, B = −1, C = 0 , D = −2 . Таким обра-

зом,

=x2 +ln x −1 −ln x +1 −2arctgx +C. 2

1.8.Универсальная тригонометрическая подстановка

Интегралы вида ∫R(sin x,cos x)dx , где R - рациональная функция,

можно свести к интегралам от рациональной функции одной переменной с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки:

10