Учебное пособие 1603

6.11. Комплексные случайные величины и характеристические функции СВ

Комплексной называют случайную величину вида

где ξ и η – действительные случайные величины. Плотность

вероятности системы СВ { ξ, η } определяет статистические свойства СВ ς ; отдельных плотностей вероятности от ком-

плексного аргумента для описания свойств комплексных СВ не используют.

Математическим ожиданием комплексной СВ называют комплексное число

а дисперсией комплексной СВ называют математическое ожидание квадрата модуля соответствующей центрированной СВ

Dς = M {| ς − Mς |2} = M {(ξ+ jη−(Mξ + j Mη))× (6.71)

×(ξ − jη −(Mξ − j Mη ))} = Dξ + Dη .

Характеристической функцией ϑξ (υ) вещественной СВ

ξ называют математическое ожидание комплексной величины ς , получаемой из ξ преобразованием ς = exp( jυξ) , где j = −1

– мнимая единица, υ – вещественный параметр, т.е.

Характеристическая функция безразмерна, а параметр υ имеет размерность обратную размерности СВ ξ. Усредняемые в (6.72) комплексные значения представляют собой разнонаправленные (при разных υξ ) вектора единичного радиуса, а поэтому резуль-

татусреднениянеможетпоабсолютнойвеличинепревосходить1

170

Кстати, при нулевом аргументе значения характеристических функций для всех случайных величин совпадают

Характеристическая функция суммы независимых СВ равна произведению характеристических функций слагаемых. Действительно,

Если мысленно поменять порядок следования сомножителей в (6.72), то за исключением знака в показателе экспоненты выражение совпадет с прямым интегральным преобразованием Фурье. Как следствие, каждой характеристической функции соответствует единственный закон распределения, определяемый по правилу

Наконец, если у СВ существует начальный момент k-го порядка, то существует k-я производная характеристической функции этой СВ, которая выражается формулой

171

же, с заменой переменных y = z − jσυ можно перейти к обыч-

ному нормальному распределению (3.24) с параметром a=0, но с комплекснозначными пределами интегрирования ( −∞− jσυ ;

+∞− jσυ ). В соответствии со свойствами комплексной плос-

кости подобные пределы означают необходимость интегрирования аналитической функции (экспоненты) по замкнутому контуру, а результат подобного интегрирования не зависит от конкретной траектории интегрирования и должен оставаться равным единице (как и в правиле(3.22)) при произвольном по величине смещении − jσυ .

Характеристическая функция нормального распределения равна

Эти результаты полностью соответствуют свойствам нормального распределения (4.16).

Пример 6: Определить числовые характеристики биномиально распределенной СВ ξ1 .

Решение: На основе (6.80) определим производные от характеристической функции этой СВ

∂ϑξ (υ) = n (pe jυ + q)n−1 pj e jυ

∂υ

174

∂2ϑξ (υ) = npj {(n −1) (pe jυ + q)n−2 pj e j 2υ +(pe jυ + q)n−1 j e jυ}

∂υ2

При υ = 0 имеем ( pe jυ + q)υ=0 = p + q =1 (см. п. 2.5), а значит

Mξ = m1{ξ} = j−1 n 1n−1 pj e0 = np m2{ξ} = j−2 npj {(n −1) p +1} j = (np)2 + npq ,

откуда в соответствии с (4.7), для дисперсии получаем

Dξ = m2{ξ}− Mξ2 = npq .

Полученные числовые характеристики полностью соответствуют ранее полученным результатам (4.44) и (4.45).

175

7. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Под предельными теоремами понимается совокупность закономерностей, характеризующих свойства большого числа случайных величин. С качественных позиций все эти закономерности являются проявлениями «закона больших чисел», который утверждает, что применительно к большому числу случайных явлений средний их результат становится практически неслучайным и может быть предсказан с близкой к единице вероятностью.

7.1. Неравенство Чебышева и теоремы Чебышева

Для получения неравенства Чебышева рассмотрим чуть подробнее выражение для расчета дисперсии СВ (4.6). Если из бесконечной области интегрирования исключить какой-то фрагмент, то, учитывая неотрицательность подынтегрального выражения, можно утверждать, что для любого ε > 0

Соотношение “ ≥“ между первой и второй строкой выражения выше появляется из-за того, что лишь на границе интервала

интегрирования справедливо (x −Mξ )2 = ε2 , а в других точках (x −Mξ )2 > ε2 . Разделив обе части неравенства на ε2 , получаем

неравенство Чебышева

Итак: для любой СВ вероятность наблюдения значений, отличающихся по абсолютной величине от математического ожидания

176

На практике часто используется следствие из неравенства

Неравенства, на основании которых выше было получено неравенство Чебышева, выполняются обычно с большим запасом, поэтому и соотношение (7.2) оказывается на практике заметно «жёстче». Поэтому практический смысл правила 3 сигм состоит в том, что для любой величины практически все наблюдаемые значения умещаются на интервале [Mξ −3σξ ; Mξ +3σξ ].

Пример 1: Проверить выполнение правила 3 сигм для нормально распределенной случайной величины.

Решение: Учитывая симметрию нормального распределения, входящую в (7.2) вероятность можно представить в виде

т.е. вероятность выполнения неравенства из (7.2) для нормального распределения в 40 раз меньше формальной границы и составляет менее 0,3%.

Проанализируем свойства среднего арифметического ηN результатов N независимых измерений xi некоторой СВ ξ. При

многократном повторении эксперимента будут получаться всё новые и новые комплекты измерений xi (1≤i≤N), т.е. среднее

арифметическое ηN будет представлять собой линейную комбинацию однотипных с ξ случайных величин ηN = N −1 ∑iN=1 ξi .

177

В соответствии с (6.64) математическое ожидание СВ ηN равно

m1{ηN } = N −1 ∑iN=1 m1{ξi } = N Mξ / N = Mξ ,

а для дисперсии, в соответствии с (6.65) получаем

D{ηN } = (N −1 )2 ∑iN=1 D{ξi } = N Dξ / N 2 = Dξ / N .

Теперь для произвольного ε > 0 на основе (7.1) запишем

т.е. наблюдение значений ηN , отличающихся от Mξ даже на

бесконечно малую величину ε , является событием невозможным. В подобных случаях говорят, что величина ηN сходится

по вероятности к Mξ . Полученный результат известен как

первая теорема Чебышева: «Среднее арифметическое независимых измерений любой случайной величины сходится по вероятности к её математическому ожиданию»

Немного более громоздко вторая теорема Чебышева: Среднее арифметическое последовательности произвольных независимых СВ сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий

Наконец, теорема Маркова утверждает, что результат (7.4) справедлив и для произвольной последовательности зависимых случайных величин.

178

7.2. Центральная предельная теорема Ляпунова

Пусть ξi (1≤i≤N) последовательность независимых слу-

чайных величин с одинаковой плотностью вероятностей Wξi (x) =Wξ (x) . Проанализируем свойства суммы

Представим эти функции в форме разложения в ряд Маклорена

и, соответственно, характеристическиефункции ϑi (υ) имеютвид

Для независимых слагаемых в соответствии с (6.76) справедливо