Учебное пособие 1603

5. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Большинство технических устройств и систем представляют собой совокупность взаимодействующих модулей, преобразующих поступающие на вход сигналы в отклики на выходе устройства по некоторым жестко установленным правилам. При воздействии на вход такого устройства (модуля) случайных сигналов, очевидно, и реакция, наблюдаемая на выходе модуля, будет носить случайный характер. Однако из-за наличия четкой зависимости между входными и выходными сигналами, их законы распределения также жестко связаны друг с другом. Необходимо лишь выявить правила, позволяющие по свойствам нелинейного модуля и вероятностным характеристикам воздействия, прогнозировать закон распределения отклика, формируемого конкретным нелинейным модулем.

В текущей главе мы рассмотрим преобразование единственной СВ ξ в наблюдаемую на выходе нелинейного преобразователя СВ η. При этом взаимосвязь между входом и выходом будет задаваться некоторой известной функцией прямого преобразования y = f( x ), позволяющей рассчитать реакцию y анализируемого преобразователя в ответ на входное воздействие x (рис. 24). Случаи преобразования нескольких случайных входных воздействий в одну или несколько случайных реакций будут рассматриваться в гл. 6.

Рис. 24. Общий вид исследуемого нелинейного преобразователя

5.1. Преобразование дискретных случайных величин

Случай воздействия на нелинейный преобразователь ДСВ является максимально простым для анализа. Для выявления

120

принципов расчета здесь достаточно произвести анализ какоголибо простого конкретного случая, например…

Пример 1: Работа генератора гармонических сигналов синхронизирована с работой некоего внешнего задающего устройства. В зависимости от нюансов процесса синхронизации начальная фаза ψ колебания

формируемого генератором, может принять одно из нескольких возможных значений в соответствии с рядом распределения СВ, представленным строчками «xi» и «pi» таблицы ниже

Определить закон распределения мгновенного значения на выходе генератора в момент времени t0 = 10 мкс.

Решение: Дополним стандартную таблицу ряда распределения случайной начальной фазы ψ новой (третьей) строкой, в которую внесём соответствующие ψ мгновенные значения сигнала η, возникающего на выходе генератора. При этом учтем, что π 105 t0 =π 105 10 10−6 =π , т.е. значения, на-

блюдаемые в момент времени t0 являются противофазными по отношению к начальной фазе ψ.

Из сформированной строки таблицы видно, что величина η может принимать лишь 4 различных значения ±A и ±A/2; разместим их в порядке возрастания в новой таблице, тем самым получив заготовку для ряда распределения СВ η. Наименьшее значение (–A) СВ η приобретает тогда и только тогда, когда начальная фаза ψ оказывается нулевой, поэтому P{ η= –A } = = P{ ψ = 0 } = 0,05. Значение же (–A/2) СВ η принимает как

121

при ψ1 = π/3, так и при ψ2 = 5π/3, поэтому P{ η= –A/2 } =

=P{ ψ = π/3 } + P{ ψ = 5π/3 } = 0,35. (Вероятности здесь можно и нужно просто суммировать, т.к. объединяемые события – несовмест-

ны) Просуммировав вероятности для двух случаев, приводящих к появлению η= +A/2, и зафиксировав P{ η= +A } = P{ ψ = π } =

=0,20, получаем для СВ η следующий ряд распределения, который и будет ответом к рассматриваемому случаю функционального преобразования ДСВ:

Итак, при функциональном преобразовании ДСВ и на входе, и на выходе преобразователя могут наблюдаться лишь счетные множества значений. Число разных значений СВ η, наблюдаемой на выходе преобразователя, не может превышать число различных значений СВ ξ, подаваемой на его вход. И анализ функционального преобразования ДСВ сводится, по сути, к пересчету наблюдаемых значений со входа на выход, их упорядочению по возрастанию и к записи получаемого в итоге нового ряда распределения.

5.2. Преобразование непрерывных случайных величин 5.2.1. Базовый случай

Рассмотрим теперь случай, когда СВ ξ, воздействующая на вход преобразователя (рис. 24), является непрерывной, а функция y = f( x ) не содержит горизонтальных участков (пример подходящей функции показан на рис. 25). Тогда каждое выходное значение y может быть получено из конечного числа аргументов x, т.е. существует конечнозначная обратная функция x = φi(y), где i – номер ветви обратной функции φ(·). В частности, для случая, представленного на рис. 25, обратная функция является однозначной для y ( –∞; y0 ] и трехзнач-

122

ной для y [ y0; y1 ] (три разных значения x1* = φ1(y*), x2* = φ2(y*)

иx3* = φ3(y*) соответствуют одному и тому же y* ).

Всоответствии с определением (3.18)

Согласно рис. 25 существуют 3 несовместных случая, когда СВ η будет попадать в нужный диапазон значений:

1)Входная величина ξ лежит в интервале от x1* до ( x1* +Δx1 ). При малом интервале x1 вероятность подобного события

равна P{x1* ≤ξ ≤ x1* + x1} ≈Wξ (x1* ) x1 =Wξ (ϕ1 ( y* )) x1 ;

2) Величина ξ лежит в интервале от ( x2* +Δx2 ) до x2* . Порядок следования граничных точек здесь изменен в связи с тем,

но, в расчетном выражении для вероятности следует исполь-

y = f( x )

Рис. 25. Пример функциональной зависимости с конечнозначной обратной функцией

123

Здесь x3 > 0 , однако если при расчете вероятности использовать знак модуля, то выражение останется вполне кор-

ректным P{x3* ≤ξ ≤ x3* +Δx3} ≈Wξ (x3*) x3 =Wξ (ϕ3 (y*)) x3 .

Вероятность того, что в конкретном опыте произойдет какое-то из этих несовместных событий в соответствии с (2.5) определяется суммой

i=1

Этот результат будет тем точнее, чем меньше величины xi ,

мости x = φ(y) приращения xi оказываются приращениями

функции, возникающими в ответ на приращение её аргумента у. Отношение этих приращений при условии y → 0 приводит

нас, по сути, к определению производной функции x = φi(y)

Объединяя собранные факты воедино, приходим к выводу:

Если для каждого возможного значения выходной СВ η обратная функция оказывается конечнозначной, то закон рас-

где суммирование идет по всем ветвям обратной функции.

124

5.2.2. Анализ функционального преобразования при бесконечнозначной обратной функции

К сожалению, формула (5.4) не является универсальной. Например, её затруднительно применить к случаю, представленному на рис. 26. Ранее предполагалось, что для каждого аргу-

Рис. 26. Пример функциональной зависимости с бесконечнозначной обратной функцией

мента y существует конечное число ветвей обратной функции, определяющее число слагаемых в сумме (5.4). Но согласно рис. 26, для получения на выходе значения y1 достаточно подать на вход любое воздействие из диапазона a1 ≤ x ≤ b1. Аналогично, количество аргументов x, соответствующих выходному уровню y2, бесконечно велико – это любые значения из диапазона a2 ≤ x ≤ b2.

Для преодоления затруднений полезно вспомнить, что в соответствии с п.3.2, под законом распределения понимается правило, определяющее вероятности принятия случайной величиной её возможных значений, а вероятности наблюдения на выходе значений y1 и y2 определить легко. Действительно,

ai

125

Полученный результат указывает, что значения СВ η можно разделить на 2 отличающиеся по свойствам группы:

1) набор значений из диапазонов η < y1, y1 < η < y2, η > y2, где каждая реакция на выходе возникает в ответ на единственное конкретное подаваемое на вход воздействие; вероятность наблюдения каждого конкретного значения из этой группы бесконечно мала;

2)уровни, строго равные y1 и y2, наблюдаемые с положительной вероятностью, определяемой (5.5).

Величины η с подобными свойствами уже рассматривались в п. 3.8 и назывались смешанными случайными величинами. Согласно (3.41), для записи плотности вероятности такой СВ достаточно к выражению, определяющему непрерывную часть зависимости, добавить δ-образные слагаемые, соответствующие значениям, наблюдаемым с положительной вероятностью.

Дополняя правило (5.4) набором δ-образных слагаемых с вероятностями, определяемыми (5.5), приходим к результату:

Плотность вероятности отклика η нелинейного преобразователя на воздействие СВ ξ с законом распределения Wξ (x)

в общем случае может быть рассчитана по правилу

где первая сумма включает все ветви обратных функций по всем наклонным участкам зависимости y = f( x ), вторая сумма – все горизонтальные участки той же самой зависимости, а вероятности P{η = ym } рассчитываются в соответствии с (5.5).

126

5.3. Расчет числовых характеристик случайных величин на выходе нелинейного преобразователя

В соответствии с определением (4.2) начальные моменты k-го порядка величины η можно рассчитывать по правилу

−∞

т.е. k-й начальный момент есть результат усреднения k-х степеней всех возможных значений СВ η с учетом вероятности их наблюдения в опыте, определяемой сомножителем Wη ( y)dy .

Однако, любое значение y выходной СВ η – это реакция нелинейного преобразователя на конкретное входное воздействие x, порожденное в данном опыте величиной ξ. Вероятность появления значений η из малой окрестности конкретного уровня y определяются возможностью наблюдения значений СВ ξ, принадлежащих соответствующим диапазонам оси x (см., в частности (5.3)). А значит, перебор всех значений y СВ η вполне можно заменить перебором от минус до плюс бесконечности всех возможных значений x величины ξ. Если при подобном переборе усреднять k-е степени самих значений x, то (см. (4.2)) будет получен k-й начальный момент величины ξ. Если же выполнять усреднение k-х степеней реакций y = f( x ), то результатом будет k-й начальный момент СВ η:

Итак, числовые характеристики отклика η нелинейного преобразователя на воздействие подчиняющейся закону распределения Wξ (x) СВ ξ могут быть получены без предварительного

расчета Wη (y) по правилам

−∞

127

5.4. Примеры анализа функциональных преобразований случайных величин

Пример 1: Случайные величины ξ и η связаны линейной зависимостью η = a · ξ + b. Установить взаимосвязь между их законами распределения и числовыми характеристиками.

Решение: Функция прямого преобразования, определяющая реакцию y преобразователя на входное воздействие x, имеет вид y = a·x + b и является взаимнооднозначной (см. рис. 27): каждому x соответствует единственная реакция y, и каждому y соответствует один аргумент x, определяемый

обратной функцией x =ϕ1(y) = y a−b . Её производная ddyϕ1 = 1a . Горизонтальных участков зависимость y = f(x) = a·x + b не имеет. Таким образом, в универсальной формуле (5.6) первая сумма будет представлена единственным слагаемым, а вторая

– отсутствовать. Получаем связь законов распределения

128

y = f (x)

b

y*

x1* 0 x

Рис. 27. Случай линейной взаимозависимости величин

Для расчета начальных моментов распределения СВ η подставим функцию y = f(x) = a·x + b в правило (5.8)

Например, для математического ожидания логично получаем

не зависят от параметра b, который лишь смещает Mη вдоль

оси y, никак не затрагивая величину отклонения значений СВ от математического ожидания, а вот параметр a явно влияет на разброс значений СВ η и потому, например, её дисперсия увеличивается пропорционально квадрату данного параметра

129