Учебное пособие 1603

К числу альтернативных часто используемых числовых характеристик относится, в частности, мода распределения.

Модой называют наиболее вероятное значение СВ

т.е. такое значение аргумента плотности вероятности, при котором Wξ (x) оказывается максимально возможной. Отметим, что

кривая плотности вероятности может быть унимодальной, т.е. иметь единственный максимум, или полимодальной, т.е. иметь несколько максимумов.

Ещё одну группу характеристик образуют квантили и процентные точки распределения. Квантилем порядка р, называют значение аргумента функции распределения x*p , удовлетво-

ряющее уравнению

Процентные точки xq распределенияопределяютсяуравнением

т.е. определяют значение случайной величины, вероятность превышения которого равна q. Очевидно, что q-процентная точка распределения совпадает с квантилью порядка (1 – q).

Для непрерывной СВ квантиль x0*,5 совпадает с процент-

ной точкой x0,5 и делит площадь под кривой плотности вероятности на две равные части. Подобное значение, по отношению к которому как меньшие, так и большие значения встречаются одинаково часто, называют медианой распределения.

4.4. Расчет числовых моментов нормального распределения

Получим расчетные выражения для числовых характеристик нормального распределения.

100

Согласно (4.3) для определения математического ожидания необходимо рассчитать интеграл

Громоздкий показатель экспоненты в подынтегральном выражении можно несколько упростить использованием подстановки z = (x − a) /σ . При такой замене пределы интегриро-

вания корректировать не потребуется, поскольку при любых

так как первый интеграл берется в симметричных пределах от нечетной подынтегральной функции, а во втором интеграле в бесконечных пределах интегрируется плотность вероятности нормальной СВ (3.24) с параметрами a=0, σ=1.

Проанализируем теперь особенности центральных моментов нормальных СВ. Используя стандартную подстановку z = (x − a) /σ , запишем выражение для расчета центрального

момента k-го порядка нормальной случайной величины в виде

– четной, поэтому подынтегральное выражение в целом представляет собой нечетную функцию аргумента z, что однозначно обеспечивает нулевое значение интеграла и, соответственно, равенство нулю всех моментов нечетного порядка.

101

Для расчета центральных моментов четного порядка вос-

В этой сумме первое слагаемое всегда принимает нулевое значение, а второе – соответствует по структуре исходному интегралу, но с уменьшенной на “2”: степенью z. Повторяя аналогично операции по понижению степени, получим

=1 (по свойству нормировки)

Учитывая, что начальные моменты распределения любой случайной величины можно представить в виде

а центральные моменты нормального распределения имеют вид

для нормального распределения получаем m1{ξ} = Mξ = a ,

μ2{ξ} =σ2 , m2{ξ} =σ2 + Mξ2 ,

m3{ξ} = 3σ2 Mξ + Mξ3 ,

(4.16)

μ4{ξ} = 3σ4 , m4{ξ} = 3σ4 + 6σ2 Mξ2 + Mξ4 , m5{ξ} =15σ4 Mξ +10σ2 Mξ3 + Mξ5 ,

μ6{ξ} =15σ6 , m6{ξ} =15σ6 + 45σ4Mξ2 +15σ2Mξ4 + Mξ6 .

102

Обратите внимание, что оба параметра нормального распределения имеют чёткий физический смысл: a определяет математическое ожидание СВ, σ – совпадает со среднеквадратическим отклонением (эффективным значением) СВ.

Колоколообразный вид кривой плотности вероятности нормального распределения (см. выше рис. 13), симметричный относительно центральной точки x = a, указывает на то, что единственной модой и, одновременно, медианой этого распределения служит именно точка xмод = x0,5 = a. При этом и

коэффициент асимметрии γ , и коэффициент эксцесса ε име-

ют нулевые значения.

4.5. Примеры расчета числовых характеристик типовых распределений непрерывных случайных величин

4.5.1.Свойства равномерного распределения

Впределах всего разрешенного диапазона значений [a, b] плотность вероятности равномерного распределения принимает одно и то же значение

поэтому моды равномерное распределение не имеет. Симметрия же плотности Wξ (x) относительно середины диапазона наблю-

даемых значений позволяет без вычислений утверждать, что медиана и математическое ожидание совпадают между собой

а центральный момент третьего порядка равен нулю μ3{ξ} = 0 .

Таким образом, рассчитать необходимо лишь дисперсию и коэффициент эксцесса распределения. Вычислим сначала второй начальный момент

103

Оставшийся интеграл в элементарных функциях не выражается и его следует преобразовать к какому-либо известному результату. Так как подынтегральное выражение является четным, то расширение области интегрирования на отрицательные значения приведет к удвоению значения интеграла, поэтому

Для получения дисперсии вместо определения (4.6) вновь воспользуемся (4.7). При расчете начального момента m2{ξ}

В итоге, числовые характеристики распределения Релея равны

Обратите внимание, что для релеевского распределения эффективное значение не совпадает с параметром распределения σ и составляет σξ ≈ 0,655 σ . Напротив, расчет, произведенный

ранее на с. 79, показал, что значение этого параметра служит модой распределения Релея xмод =σ .

105

Для определения медианы распределения необходимо решить уравнение Fξ (x0,5 ) = 0,5 . Используя (3.30), получим

exp(− x0,52 /(2 σ2 ))=0,5. Отсюда, медиана распределения Релея

4.5.3. Числовые характеристики распределения Коши

Отметим, что числовые характеристики случайных величин существуют не всегда. Попробуем определить математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону Коши (3.31).

Вариант рассуждений 1: Плотность вероятности (3.31) симметрична относительно точки x0 , поэтому точка x0 и должна служить математическим ожиданием распределения.

Вариант рассуждений 2: Формально, математическое ожидание распределения Коши определяется значением инте-

Подстановка пределов интегрирования приводит в первом слагаемом к неопределенности «∞ – ∞», что не позволяет поставить в соответствие распределению Коши конкретное значение математического ожидания.

Замечание: Глубинный смысл обнаруженной неопределенности состоит в том, что попытка экспериментального определения математического ожидания СВ ξ по статистической выборке её

106

значений x1 , x2 ,…xn не приводят к положительному результату.

Даже при бесконечном увеличении числа измерений вероятность

наблюдения заметных отличий x0 от среднего арифметического значений xi будет оставаться существенно отличной от нуля.

Итог: распределение Коши является примером распределения, не имеющего ни математического ожидания, ни дисперсии.

4.5.4. Характеристики показательного распределения

Плотность вероятности показательного распределения определяется соотношением (3.33). Опираясь на определение (4.3) для математического ожидания получим

Mξ = +∞∫ x λ exp(−λ x)dx = x −exp(−λ x) +∞ + +∞∫exp(−λ x)dx .

Приведенная в правой части сумма получена путем интегрирования по частям, где u = x, dv = λ exp(−λ x)dx . Учтем далее, что при x →∞ функция exp(−λ x) при любом положи-

тельном λ стремится к нулю быстрее, чем возрастает любая степень x, поэтому первое слагаемое суммы стремится к нулю.

В результате, математическое ожидание показательного распределения оказывается равным

Для расчета дисперсии разумно использовать (4.7). Дважды применив интегрирование по частям, получаем

Как следствие, среднеквадратическое отклонение (4.8) величины, имеющей показательное распределение, составляет

107

Расчет третьего центрального момента путем непосредственного интегрирования оказывается весьма громоздким, но в конечном счете приводит к

Таким образом, коэффициент асимметрии (4.9) показательного распределения оказывается равным

γ= μ3{ξ} = 2 ,

σξ2

что вполне согласуется с физическим смыслом данного параметра, обсуждавшимся на с. 98.

4.5.5. Гамма-распределение

При решении задач математической статистики довольно часто приходится иметь дело с гамма-распределением, которое является обобщением показательного распределения и определяется плотностью вероятности

иобладающая следующим набором свойств

Г(k +1) = k Г(k) ,

Гамма-распределение превращается в показательное при k=1.

108

При поиске числовых характеристик гамма-распределения воспользуемся заменой переменных t = λ·x

Сопоставляя последний интеграл с определением (4.27), а затем, используя верхнее свойство из (4.28), для математического ожидания гамма-распределения получаем

Примечание: При целочисленном k > 1 гамма-распределение превращается в распределение Эрланга k-го порядка, характеризующее свойства суммы k интервалов между событиями в простейшем пуассоновском потоке событий (см. с. 81).

4.6. Производящие функции и их применение для расчета числовых характеристик дискретных случайных величин

Расчет числовых характеристик дискретных случайных величин производится в соответствии с выражениями

i=1

109