Учебное пособие 1603

Если же факт принятия величиной ξ конкретного значения x изменяет вероятность принятия СВ η значения y, то ξ и η являются зависимыми. Для работы с подобными величинами часто оказывается удобно использовать условные ФРВ и плотности вероятности. Знакомство с условными законами распределения разумно начать с анализа следующего предела

Проанализированная выше вероятность, определяющая ФРВ СВ η, вычисленную при условии, что принятое в опыте величиной ξ значение фактически известно, называется условной функцией распределения величины η

Аналогично, условная плотность вероятности величины η, зависящей от величины ξ, определяется выражением

и характеризует возможность наблюдения значений СВ η из бесконечно малой окрестности аргумента y в тех опытах, где величина ξ находилась в бесконечно малой окрестности x.

Для условных плотностей вероятности тоже выполняется условие нормировки

150

а приведенные ниже выражения являются аналогами формулы полной вероятности

В итоге, аналогом формулы Байеса для непрерывных случайных величин ξ и η может служить правило

6.6.Числовые характеристики системы двух СВ

Кнаиболее часто используемым числовым характерис-

тикам системы СВ относят смешанные начальные и централь-

ные моменты распределения. Различающиеся порядками моменты могут иметь заметно отличающийся «физический смысл»; в связи с этим, начнем с формального определения числовых характеристик, а их свойства и практическое назначение будем исследовать для каждого конкретного случая в отдельности.

151

6.6.1. Определения и общие свойства моментов распределения системы СВ

Смешанным начальным моментом распределения порядка k, r для системы случайных величин {ξ, η} называют константу

В этот набор констант входят как величины, характеризующие особые свойства системы, так и «классические» моменты распределений, характеризующие свойства отдельных компонент. Действительно, с учетом (6.19) для произвольной системы СВ при k = 0 получим

Если вместо значений самих СВ использовать при усреднении отклонения величин от их математических ожиданий, то получаемые числовые характеристики называют центральными моментами распределения системы СВ

Нетрудно заметить, что для независимых случайных величин, у которых плотность вероятности системы распадается на произведение законов распределения составляющих систему СВ, как начальные, так и центральные смешанные моменты пред-

152

ставляют собой просто произведение числовых характеристик отдельных СВ

μkr {ξ,η} = μk {ξ} μr {η}.

Врезультате, информацию о системе (т.е. характеризующую особенности зависимости между величинами) несут, прежде всего, смешанные моменты порядков k ≥1, r ≥1.

6.6.2.Корреляционные характеристики случайных

величин

Моменты распределения системы СВ порядка (1,1) важны для многих практических приложений теории вероятностей и имеют собственные названия.

Смешанный начальный момент порядка (1,1) называют корреляцией величин ξ и η. Корреляцию Bξη рассчитывают

по формулам

Смешанный центральный момент порядка (1,1) называют ковариацией величин ξ и η. Для системы непрерывных СВ ковариацию Kξη рассчитывают по правилу

Kξη = μ11 {ξ,η}= ∞∫ ∞∫ (x − Mξ ) ( y − Mη ) Wξη (x, y)dydx . (6.35)

−∞ −∞

153

Раскрыв в (6.35) скобки и проанализировав четыре получающихся интеграла, нетрудно убедиться, что ковариация Kξη

и корреляция Bξη связаны простым соотношением

а значит для величин ξ и η, хотя бы одна из которых обладает нулевым математическим ожиданием, они просто совпадают.

Наконец, безразмерное отношение

называют коэффициентом корреляции величин ξ и η.

Примечание: Зафиксированное после (6.36) совпадение значений величин Kξη и Bξη привело к неоднозначности в терминологии;

часть авторов в своих книгах две эти величины меняют местами. В их книгах название коэффициент корреляции для rξη выглядит бо-

лее логичным, чем при предложенных выше обозначениях, однако при более широком рассмотрении это приводит к иным нелогичностям и хуже согласуется с трудами иностранных авторов.

Рассмотрим физический смысл понятия корреляции случайных величин. Для этого с учетом (6.19) и (6.35) проанализируем приведенный ниже интеграл:

но т.к. исходный интеграл J, очевидно, не может быть отрицательным, то коэффициент корреляции всегда удовлетворяет соотношению

Кроме того, случаю rξη =1, очевидно, соответствует J = 0 ,

но такое возможно лишь если для всех наблюдаемых пар значений величин ξ и η соблюдается равенство

x − Mξ = y − Mη ,

σξ ση

т.е. если значения СВ функционально связаны между собой линейной зависимостью.

Рассмотрим также ряд представленных на рис. 34 случаев, характеризующих разные варианты взаимозависимостей между величинами системы {ξ,η}. Значения xi и yi, принятые в i-м опыте величинами ξ и η, определяют расположение на плоскости очередной i-й точки, а наиболее вероятным сочетаниям значений соответствуют области плоскости с наибольшей густотой расположения точек.

Левый рисунок соответствует случаю объединения в систему независимых случайных величин. В результате, число точек, принадлежащих каждой четверти плоскости (относительно линий x = Mξ = a и y = Mη = b ), оказывается вполне сопос-

тавимым, а потому результаты усреднения произведений (xi − Mξ ) ( yi − Mη ) с учетом их отмеченных на рис. 34 знаков,

дают нулевое значение ковариации Kξη , а значит и нулевой коэффициент корреляции rξη .

155

Согласно (6.33), для независимых СВ

т.е. статистически независимые случайные величины являются некоррелированными. Обратное в общем случае неверно, т.е. некоррелированные СВ вполне могут оказаться зависимыми.

6.7. Двумерный нормальный закон распределения

Случайные величины ξ и η считаются распределенными по двумерному нормальному (гауссовскому) закону, если плотность вероятности системы {ξ, η} может быть записана в виде

где параметры aξ , aη могут принимать произвольные значения, а остальные параметры удовлетворяют условиям σξ > 0, ση > 0 и r ≤1.

Найдем условную плотность вероятности величины η, входящей в двумерное нормальное распределение

Из сопоставления полученного выражения с одномерной нормальной плотностью вероятности (3.24) видно, что при r = 0 условная плотность вероятности СВ η приобретает вид

Она уже не зависит от x и имеет классическое нормальное распределение (3.24). Как следствие, при r = 0 можно записать

и, в соответствии с (6.21), величины ξ и η оказываются независимыми.

Отсюда следует важное свойство: для нормальных случай-

ных величин некоррелированность означает также и их статистическую независимость.

6.8. Функциональное преобразование системы СВ

Пусть система СВ {ξ1 ,ξ2 } преобразуется в новую систему {η1 ,η2 } в соответствии с некоторым известным правилом

Случаи с бесконечнозначными обратными преобразованиями, подобными обсуждавшимся в п. 5.2.2, для систем СВ хотя и возможны, но не являются типичными для радиотехнической

158

практики. Поэтому в дальнейшем будем полагать, что обратные функции, позволяющие вычислить значения x1, x2 входных СВ, необходимые для получения на выходе преобразователя значений y1, y2, являются конечнозначными (т.е. состоят из одной или конечного числа ветвей). В подобном случае можно доказать, что взаимосвязь между плотностями вероятности систем СВ на входе и выходе функционального преобразователя может быть записана в виде

где функции ϕ1i (...),ϕ2i (...) - определяют одну из ветвей обратного преобразования

а | Ji | – модуль якобиана обратного преобразования – поправоч-

ный коэффициент, характеризующий растяжение/сжатие элементарных областей при переходе от одного набора аргументов к другому и численно равный значению определителя, состоящего из частных производных обратных функций

Пример 3: Найти функцию распределения полярных координат случайно расположенной на плоскости точки, декартовы координаты которой независимы и подчиняются нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием и одинаковым среднеквадратическим отклонением σ .

159