Учебное пособие 1574

Характеристическое уравнение имеет вид

1,5·10-2р+50=0.

Так как уравнение имеет один корень р=-3333 1/с, то свободную составляющую тока катушки запишем, как

смотрим искомую функцию тока iL(t)=iLсв(t)+iLпр= Ae 3333 t 6

откуда найдем значение постоянной интегрирования А= -3 (А).

Переходная функция тока катушки

iL(t)=-3е-3333t+6 (А).

Напряжение индуктивной катушки

Построим графики переходных функций uL(t) и i L (t) . Для этого рассчитаем постоянную времени

Постоянная времени τ – это время, в течение которого свободная составляющая, затухая, уменьшается в е раз по сравнению со своим предыдущим значением. Построение переходных функций будем выполнять по точкам, значения координат которых приведены в табл. 2.5.

Таблица 2.5

Переходный процесс можно считать практически завершенным через промежуток времени t = 4÷5τ.

Графики временных зависимостей переходных функций напряжения и тока конденсатора представлены на рис. 2.8.

uL(t), iL(t)

iLпр(t)

iL(t)

uL(t)

t, c

Рис. 2.8

Геометрический смысл постоянной времени τ: постоянная времени численно равна длине любой подкасательной (рис. 2.8). Для графического определения τ проводится касательная к кривой свободной составляющей любой электрической величины в любой точке, и на оси времени находится подкасательная.

Пример расчета задачи 2.1, б

В цепи, схема которой приведена на рис. 2.9, происходит коммутация. Рассчитать переходные функции напряжения и тока конденсатора и построить их временные зависимости.

50

Согласно второму закону коммутации напряжение конденсатора не может измениться мгновенно, поэтому начальное значение этого напряжения будет равно его докоммутацион-

51

Тогда напряжение конденсатора

Определим постоянную интегрирования В. Для этого,

52

рассмотрим искомую функцию напряжения

u C(t)=uCсв(t)+uCпр= Be 2857 t 10

в момент времени t=0+: u C(0+)= B 10 .

Начальное значение напряжения конденсатора uC(0+)=-5 В.

Построим графики переходных функций u C(t) и iC (t) . Для этого рассчитаем постоянную времени

Постоянная времени τ – это время, в течение которого свободная составляющая, затухая, уменьшается в е раз по сравнению со своим предыдущим значением. Построение переходных функций будем выполнять по точкам, значения координат которых приведены в табл. 2.6.

Таблица 2.6

53

Переходный процесс можно считать практически завершенным через промежуток времени t = 4÷5τ.

Графики временных зависимостей переходных функций напряжения и тока конденсатора представлены на рис. 2.13.

Рис. 2.13

Пример расчета задачи 2.2

На рис. 2.14 показана разветвленная магнитная цепь. Исходные данные для расчета:

- число витков и намагничивающие токи катушек:

I1= 0,2 А, w1= 1500 витков, I3=0,25А, w3 =800 витков.

Размеры магнитопровода:

-длина однородных участков магнитопровода ℓ1= 48 см, ℓ2=20 см, ℓ3=40 см;

-ширина воздушного зазора ℓ0= 0,1мм;

-сечение однородных участков магнитопровода

S1=15,6 см², S2 =10,3 см², S3= 15 см².

Магнитные свойства стали, из которой изготовлен магнитопровод, определяются кривой намагничивания, заданной в виде табл. 2.7.

54

Определить магнитные потоки Ф1, Ф2, Ф3 в ветвях магнитной цепи.

Таблица 2.7

а

II

в

Рис. 2.14

Решение. Составим расчетную схему замещения магнитной цепи (рис. 2.15).

Однородные участки магнитопровода заменим нелинейными магнитными сопротивлениями Rм1, Rм2, Rм3. Воздушный зазор - линейным магнитным сопротивлением Rмв. Намагничивающие катушки заменим источниками магнито-движущей силы (МДС) F1 и F3, направление которых определяется по правилу правого винта: если вращательное движение направить по направлению тока в катушке, то поступательное движение винта покажет направление МДС.

Направления магнитных потоков Ф1, Ф2, Ф3 в ветвях магнитопровода выберем произвольно.

55

в

Рис. 2.15

Полученная расчетная схема магнитной цепи содержит нелинейные элементы, поэтому расчет будем выполнять графически.

Рассматриваемая схема имеет два узла, все ветви в ней включены параллельно. Для расчета магнитных потоков воспользуемся методом двух узлов.

Согласно первому закону Кирхгофа для магнитной цепи

Ф1(Uмав)+Ф3(Uмав)=Ф2(Uмав).

На первом этапе расчета построим вебер-амперные характеристики (ВАХ) Ф(Uм) для каждой ветви схемы замещения магнитной цепи в общей системе координат. Для этого воспользуемся кривой намагничивания стали магнитопровода В=f(Н), которая задана в табл. 2.7.

Расчет значений магнитных потоков и магнитных напряжений при построении вебер-амперных характеристик выполняется для каждой точки кривой намагничивания по следующим формулам:

- магнитный поток Ф = В·S;

56

- магнитное напряжение на зажимах ветви находится по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи, как алгебраическая сумма напряжений на всех элементах рассматриваемого

- напряжение на источнике МДС UмF = F и направлено против направления МДС.

Для рассматриваемой схемы (рис. 2.15) уравнения для построения ВАХ для ветвей схемы замещения магнитной цепи имеют вид:

ветвь I:

Uмав(Ф1) F1 Uм1 w1I1 H1 1 ;

ветвь II:

Uмав(Ф2 ) Uм2 H2 2 ;

Намагничивающие силы:

F1= I1w1= 0,2·1500 = 300 A;

F3= I3w3= 0,25·800 = 200 A.

Результаты расчета представим в виде табл. 2.8.

Выбирая попарно из табл. 2.8 величины Ф и Uмав для каждой ветви схемы замещения магнитной цепи, построим ве- бер-амперные характеристики, представленные на рис. 2.16.

Согласно первому закону Кирхгофа для узла “а” сумма магнитных потоков равна нулю:

Ф1(Uмав)+ Ф3(Uмав)= Ф2(Uмав).

Строим суммарную характеристику (Ф1+Ф3)=f(Uмав) складывая потоки по оси ординат (пунктирная кривая рис. 2.16) и находим точку «m», где эта кривая пересекается с ВАХ второй ветви. Опуская из точки «m» перпендикуляр на ось на-

57

пряжений, определяем магнитное напряжение Uмав, при котором выполняется первый закон Кирхгофа.

Таблица 2.8

В нашем случае Uмав=220 А. Проведем вертикальную прямую через точку, соответствующую на оси напряжений магнитному напряжению Uмав=220 А. Найдем точки пе-

58