Дифференциальные уравнения. Провоторова Е.Н

Поясним этот метод на примере. Пусть требуется проинтегрировать систему

значениях C1 , C2 . удовлетворяют заданной системе.

3.3 Системы линейных дифференциальных уравнений.

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно неизвестных функций и их производных. Система n линейных уравнений первого порядка, записанная в нормальной форме, имеет вид

существования и единственности решения задачи Коми и, следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (3.1).

Действительно, в таком случае правые части системы (3.1) непрерывны по совокупности аргументов t, x1, x2 ,..., xn и

частные производные по xj , j 1,2,..., n ограничены, так как

эти производные равны непрерывным на отрезке [a, b] коэффициентам aij (t) .

Введем линейный оператор

L d / dt A .

Тогда система (3.2) коротко запишется в виде

Если матрица F — нулевая, т. е. fi (t) 0,i 1,2,..., n, на

интервале (а, b), то система (3.1) называется линейной однородной и имеет вид

Приведем некоторые теоремы, устанавливающие свойства решений линейных систем.

Теорема 3.2. Если X(t) является решением линейной однородной системы L[X] = 0, то сХ(t), где с — произвольная постоянная, является решением той же системы.

Теорема 3.3. Сумма X1(t) X 2 (t) двух решений X1 (t) u X 2 (t) однородной линейной системы уравнений является решением той же системы.

неоднородной системы L[X ] F , а X 0 (t) — решение соответствующей однородной системы L[X ] 0, то сумма

X1 (t), X 2 (t),..., X n (t) .

Определение . Пусть имеем линейную однородную систему

является линейная комбинация n линейно независимых на интервале a t b решений X1 (t), X 2 (t),..., X n (t) системы

(3.7):

( c1, c2 ,..., cn — произвольные постоянные числа). Например, система

имеет, как нетрудно проверить, решения

Эти решения линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля:

Общее решение системы имеет вид

( c1,c2 — произвольные постоянные).

Квадратная матрица

столбцами которой являются линейно независимые решения X1 (t), X 2 (t),..., X n (t) системы (3.7), называется

фундаментальной матрицей этой системы. Нетрудно проверить, что фундаментальная матрица удовлетворяет матричному уравнению d / dt A(t) (t) .

Если (t) — фундаментальная матрица системы (3.7), то общее решение системы можно представить в виде

X (t0 ) (t0 )C , откуда C 1(t0 ) X (t0 ) ;

следовательно, X (t) (t)1(t0 )X (t0 ) .

Матрица (t)1(t0 ) K(t,t0 ) называется матрицей Коши. С ее помощью решение системы (3.7) можно представить так:

X (t) K (t,t0 ) X (t0 ).

Теорема 3.7 (о структуре общего решения линейной

неоднородной системы дифференциальных уравнений).

в которой все коэффициенты aij (i, j 1,2,..., n) — постоянные.

это уравнение будет также линейным с постоянными коэффициентами. Другой эффективный метод интегрирования систем с постоянными коэффициентами — метод преобразования Лапласа.

Мы рассмотрим еще метод Эйлера интегрирования линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Он состоит в следующем. Будем искать решение системы

в виде

в систему (4.1), сокращая на e t и перенося все члены в одну часть равенства, получаем систему

Для того чтобы эта система (4.3) линейных однородных алгебраических уравнений с n неизвестными 1, 2 ,..., n

имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

Уравнение (4.4) называется характеристическим. В его

все корни i ,i 1,2,..., n характеристического уравнения (4.4) различные, то, подставляя их по очереди в систему (4.3),

находим n решений исходной системы дифференциальных уравнений (4.1) в виде

где второй индекс указывает номер решения, а первый — номер неизвестной функции. Построенные таким образом решений линейной однородной системы (4.1)

образуют, как можно проверить, фундаментальную систему решений этой системы.

Следовательно, общее решение однородной системы дифференциальных уравнений (4.1) имеет вид

X (t) c1 X1 (t) c2 X 2 (t) ... cn X n (t),

или