Дифференциальные уравнения. Провоторова Е.Н

Случай 1. Правая часть (5.1) имеет вид f(х) = Рn(х)еах, где

α € R, Рn(х) — многочлен степени n. Уравнение (5.1)

запишется в виде

y′′+ py′ + qy = Рn(х) eαx

В этом случае частное решение у* ищем в виде:

у* = хrQn(х)eαx,

где г — число, равное кратности а как корня характеристического уравнения k2 +pk + q = 0 (т.е. г — число, показывающее, сколько раз а является корнем уравнения k2+pk + q =0 ), a.Qn(x) = А0хn + A1xn-1 + … +An

— многочлен степени n, записанный с неопределенными коэффициентами Ai (i = 1,2,...,n).

Случай 2: правая часть (5.1) имеет вид

f(x) = eαx(Рn(х) cosβx + Qm(x)sinβx), где Рn(х) и Qm(x) -

многочлены степени n, m соответственно, α и β действительные числа. Уравнение (5.1) запишется в виде

y′′+ py′ + qy = eαx(Рn(х) cosβx + Qm(x)sinβx)

в этом случае частное решение у*нужно искать в виде

у* = хreαx(Ml(х) cosβx + N l(x)sinβx)

где r – число, равное кратности α + βi как корня характеристического уравнения к2+ pк + q =0 Ml (х) и Nl(x) – многочлены степени l c неопределѐнными коэффициентами, l – наивысшая степень многочленов Рn(х) и Qm , т.е. l = max(n, m).

Пример1. Найти частное решение уравнения

y′′+ 2y′ + y= cosx

Решение. Характеристическое уравнение

k2 +2k + 1 = 0

имеет корни k1 = k2 = - 1 .В данном случае числа a±βi=± i не являются корнями характеристического уравнения, значит частное решение следует искать в виде

при синусах , находим М=0, N=0,5, следовательно, у*

= 0,5 sin x .

Пример2. Найти общее решение дифференциального уравнения

y 4y 3y x

Решение.

Это неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение

y* - частного решения исходного уравнения.

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения воспользуемся методом неопределѐнных коэффициентов. Будем искать частное решение в виде

y* Ax B.

y* A; y* 0.

Подставим y* , y* и y* в исходное уравнение и получим

4А+3(Аx+B)=x.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, будем иметь

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид

Пример 3.Найти вид частного решения уравнения

y′′-2 y′+у =х ex

Решение. Характеристическое уравнение k2 - 2k + 1

= 0

имеет корни условию k1 = k2 = 1 . В данном случае число a=1 является двукратным корнем характеристического уравнения, значит частное решение следует искать в виде

у* = хr eαx(Ах+В).

2.6.Уравнения Эйлера

Уравнения вида

где все ai постоянные, называются уравнениями Эйлера. Эти уравнения заменой независимого

переменного

x et

преобразуются в линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами:

З а м е ч а н и е 1. Уравнения вида

также называются уравнениями Эйлера и сводятся к линейным однородным уравнениям с постоянными коэффициентами заменой переменных

ax b et .

З а м е ч а н и е 2. Частные решения уравнения (6.1) можно сразу искать в виде

y x k ,

при этом для k мы получаем уравнение, которое совпадает с характеристическим уравнением для уравнения (6.2).

Пример. Найти общее решение уравнения Эйлера

Корни характеристического уравнения: 1= -3, 2=2, и общим решением последнего уравнения будет функция: y C1e 3t C2 e2t .

Но, так как x et , то

yC1 C2 x2 . x3

3.Системы дифференциальных уравнений.

3.1.Основные понятия и определения.

Системой дифференциальных уравнений называется совокупность дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит независимую переменную,

разрешенных относительно производных от искомых функций,

называется нормальной.

Если в канонической системе, содержащей производные произвольного порядка

xi(ki ) fi (t, x1, x1,..., x1(k1 1) ,..., xm , xm , xm(km 1) ) ,

принять xi , xi ,..., xiki 1 за новые вспомогательные функции,

то общую каноническую систему (1.2) можно заменить эквивалентной ей нормальной системой, состоящей из

эквивалентную исходному уравнению.

Определение . Решением нормальной системы (1.1) на интервале (a,b) изменения аргумента t называется всякая система n функций

(1.2)

дифференцируемых на интервале a t b , обращающая уравнения системы (1.1) в тождества по t на интервале

(а,b).

Задача Коши для системы (1.1) формулируется так: найти решение (1.2) системы при начальных условиях

(1.3)

Теорема 1 (существования и единственности решения задачи Коши). Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений

и пусть функции fi (t, x1, x2 ,..., xn ),i 1,2,..., n определены в некоторой (n+1)-мерной области D изменения переменных t, x1, x2 ,..., xn . Если существует окрестность

точки M0 (t0 , x10 , x20 ,..., xn0 ) , в которой функции fi непрерывны по совокупности аргументов и имеют

изменения t, на котором существует единственное решение нормальной системы (1.1), удовлетворяющее начальным условиям (1.3).

Определение. Система n функций

xi xi (t,C1,C2 ,..., Cn ),i 1,2,..., n (1.4)

зависящих от t и n производных постоянных C1,C2 ,..., Cn ,

называется общим решением нормальной системы (1.1) в некоторой области существования и единственности решения задачи Коши, если

1)при любых допустимых значениях C1,C2 ,..., Cn система функций (1.4) обращает уравнения (1.1) в тождества,

2)в области функции (1.4) решают любую

называются частными решениями.

Обратимся для наглядности к нормальной системе двух уравнений:

трехмерного пространства, отнесенного к системе

определяет в пространстве некоторую линию, проходящую через точку M0 (t0 , x10 , x20 ) . Эта линия через

данную точку M0 (t0 , x10 , x20 ) . Теорема 1 устанавливает существование и единственность такой кривой.

3.2. Интегрирование нормальных систем

Один из методов интегрирования — метод исключения. Частным случаем канонической системы является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной,

x(n) f (t, x, x ,..., x(n 1) ).

Введя новые функции x1 x (t), x2 x(t),..., xn 1 x(n 1) (t) ,

заменим это уравнение следующей нормальной системой n уравнений:

одно уравнение n-го порядка эквивалентно нормальной системе (2.1).

Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система n уравнений первого порядка (1.1) эквивалентна одному уравнению порядка n. На этом и основан метод исключения для интегрирования систем дифференциальных уравнений.