Учебное пособие 1390

10. ПОНЯТИЕ О ПОДОБИИ ПОТОКОВ ЖИДКОСТИ

В гидромеханике особо важное значение имеет теория подобия и размерностей, так как для получения характеристик тел, обтекаемых потоком жидкости или газа, она устанавливает условия перенесения результатов экспериментальных данных, полученных на модели, на натурный объект.

Процесс изучения объекта или физического явления при помощи модели или другого явления называется моделированием. Таким образом, теория подобия и размерностей является научной основой моделирования.

Различают два вида моделирования: физическое и математическое. Если физика явлений в исследуемом объекте и его модели одинакова и если процессы, протекающие в модели и объекте, описываются одинаковыми математическими и логическими зависимостями, то такое моделирование называется физическим.

Основное достоинство физического моделирования состоит в том, что оно позволяет непосредственно наблюдать характер протекания физического процесса на модели.

Если объект и его модель имеют различную физическую природу, а описывающие их математические и логические зависимости идентичны, то такое моделирование называется математически.

Два явления называются физически подобными, если для них можно установить соответственные точки пространства и соответственные моменты времени так, чтобы в этих точках пространства в эти моменты времени все физические параметры, характерные для данных явлений, были пропорциональны. Физическое моделирование в гидродинамических исследованиях базируется на понятии физического (в данном случае механического) подобия, под которым понимается комплекс условий, обеспечивающих одновременно геометрическое, кинематическое и динамическое подобия.

Геометрическое подобие - подобие формы (расстояний или координат). Тела или системы называются геометрически

110

подобными, если отношения их сходственных линейных размеров одинаковы. Следует отметить, что к числу линейных размеров относятся и размеры, определяющие положение геометрически подобных тел в пространстве (например, пропорциональность и коллинеарность радиусов-векторов сходственных точек модели и натуры относительно начала координат).

В геометрически подобных телах и системах соответствующие углы равны.

Кинематическое подобие — подобие движения. Движе-

ния двух систем кинематически подобны, если при соблюдении геометрического подобия во всех сходственных точках этих систем в сходственные моменты времени векторы скоростей имеют одинаковые направлении, а отношения модулей скоростей постоянны. В частности, кинематически подобные потоки жидкости имеют линии тока одинаковой формы с подобными граничными условиями.

Динамическое подобие — подобие сил. Две системы динамически подобны, если при выполнении геометрического и кинематического подобия выполняются следующие три условия:

в сходственных точках этих систем в сходственные моменты времени (для стационарных процессов любые моменты времени являются сходственными) действуют одинаковые силы (одной и той же природы);

отношения между всеми одинаковыми силами во всех сходственных точках системы одинаковы;

движения систем должны описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями, а также одинаковыми начальными и подобными граничными условиями.

Таким образом, теория подобия дает возможность правильно обобщить экспериментальные или расчетные данные и по результатам исследований характеристик модели сделать заключения о характеристиках натурного объекта.

Подобие называется полным, если во всем пространстве, окружающем натурный объект и соответствующую модель, подобие картин движения соблюдается полностью, т. е. если

111

подобны многоугольники скоростей, ускорений, действующих сил, и все однородные физические величины, определяющие движение, находятся в определенном постоянном соотношении в сходственных точках пространства в сходственные моменты времени. Если это условие не соблюдается, т. е. если не все физические величины, характеризующие движение модели и натурного объекта, находятся в определенном постоянном соотношении, то подобие называется неполным или частичным. Полное динамическое подобие — редко достигаемый предел. Наиболее часто экспериментальные исследования приходится проводить лишь в условиях частичного подобия, определяющего для данного явления.

Для обеспечения механического подобия двух явлений, определяющихся имеющими единственное решение системами дифференциальных, алгебраических или функциональных уравнений, необходима и достаточна тождественность основных уравнений и тождественность безразмерных граничных и начальных условий.

Механическое подобие предусматривает подобие сил взаимодействия потока с обтекаемыми им твердыми телами. Это позволяет путем гидромеханического эксперимента на модели или, как его иногда называют в более узком смысле слова, гидродинамического эксперимента на модели делать вывод об гидродинамическом качестве натурного объекта.

В данном курсе будут изложены элементы теории подобия и размерностей. Необходимо иметь в виду, что не всегда имеются уравнения, описывающие исследуемый процесс. В этом случае полезным является метод анализа размерностей. Метод анализа размерностей позволяет определить критерии подобия и базируется на так называемой π-теореме, априорном утверждении о существовании некоторой функциональной связи между параметрами процесса и элементами системы; π - теорема устанавливает связь между функцией, выраженной через размерные параметры, и функцией в безразмерной форме.

112

10.1. Критерии подобия

Однородными физическими величинами называются ве-

личины, имеющие одинаковые размерности и физический смысл, т.е. отличающийся лишь по численной величине (например, координаты точек тела и его линейные размеры).

Одноименными физическими величинами называются ве-

личины, имеющие одинаковую размерность, но различный физический смысл. Примером одноименных величин могут служить коэффициент диффузии и кинематическая вязкость.

Безразмерными называются величины, численные значения которых не зависят от выбора системы единиц измерения. Например, отношение двух однородных или двух одноименных величин является безразмерной величиной. Отношение двух однородных величин называется симплексом.

Аксиомы теории размерностей.

а) Численное значение а физической величины А равно отношению этой величины к единице ее измерения [А]:

A

A

б) Физическая величина не зависит от выбора ее единицы измерения, т.е. при увеличении единицы измерения в q раз численное значение данной физической величины уменьшается в q раз.

в) Математическое описание какого – либо физического явления, указывающее функциональную зависимость между численными значениями физических величин, не зависит от выбора единиц измерения этих величин. Следовательно, все члены уравнения, описывающего физический процесс, должны иметь одинаковую размерность, так что они могут быть преобразованы к безразмерному виду путем деления обеих частей уравнения на какую – нибудь постоянную величину, имеющую ту же размерность.

π – теорема: всякое соотношение между n размерными величинами, для измерения которых использовано k основных

113

единиц измерения, можно представить в виде отношения между n- k безразмерными комбинациями π1,…, n k этих n вели-

чин.

Некоторые следствия π – теоремы: а) если n- k = 0, то это значит, что уравнение an f (a1,...,an 1) составлено неверно,

так как его нельзя привести к безразмерному виду; б) если n k 1, то n k const .

Два физических процесса называются подобными, если они подчинены одним и тем же физическим законам и все величины i , характеризующие один процесс, могут быть полу-

чены путем умножения однородных с ними величин i , ха-

рактеризующих другой процесс, на постоянные числа ci , ко-

торые называются константами подобия и одинаковы для всех однородных величин: i ci i .

Критериями подобия называются безразмерные степенные комплексы, которые входят в безразмерное математическое описание рассматриваемого процесса, составленное с помощью π – теоремы. Для установления вида критериев подобия в каждом конкретном случае необходимо с помощью дифференциальных уравнений процесса и условий однозначности их решения составить список всех размерных величин А1,…, Аn, характеризующих этот процесс, а затем применить π

– теорему к функциональной зависимости f (a1,...,an ) 0,

представляющей собой неизвестный интеграл (решение) задачи.

Определяющими критериями подобия называются крите-

рии, которые составлены только из величин, заданных в условиях однозначности, и независимых переменных.

Первая теорема подобия: для двух подобных процессов все критерии подобия попарно равны друг другу, т.е.

друг с другом уравнением подобия, которое является безраз-

114

мерным решением (интегралом) рассматриваемой задачи, справедливым для всех подобных процессов.

Третья теорема подобия: для того чтобы два процесса были подобны, необходимо и достаточно, чтобы они были качественно одинаковы, а их определяющие критерии – попарно равны.

Качественно одинаковыми называются процессы, мате-

матические описания которых отличаются только численными значениями содержащихся в них размерных величин.

Теория подобия является научной основой экспериментальных исследований сложных явлений методом моделирования и методом аналогии.

Метод моделирования состоит в воспроизведении и исследовании на модели процессов, качественно одинаковых с процессами, имеющими место в реальных объектах. Результаты эксперимента могут быть распространены на эти объекты, если соблюдены условия, сформулированные в третьей теореме подобия.

Метод аналогии состоит в изучении какого – либо процесса путем экспериментального исследования качественно других физических процессов, дифференциальные уравнения протекания которых и условия однозначности по своей форме совпадают с таковыми для изучаемого процесса. В настоящее время широко применяются экспериментальные методы исследования различных явлений, основанные на аналогии между электрическими, гидродинамическими, тепловыми, механическими и другими явления. Применительно к тепловым процессам метод аналогии страдает существенным недостатком, так как не позволяет учесть зависимость от температуры физических свойств среды (вязкость, теплопроводности, теплоемкости и т.д.).

Основными критериями подобия в гидродинамике являются число Рейнольдса Re, число Фруда Fr, число Струхаля St и число Маха М.

Число Рейнольдса Re l/ , где υ – характерная для данной задачи скорость жидкости, l – характерный линейный

115

размер, ν – кинематическая вязкость жидкости. Выбор характерной скорости и характерного размера в зависимости от рассматриваемой задачи можно производить по-разному. Например, при течении несжимаемой жидкости в круглой трубе диаметром d величина l d , а υ – средняя по сечению скорости жидкости ( 4Vсек / d2 ,где Vсек – секундный объемный расход жидкости); при поперечном обтекании жидкостью круглого цилиндра диаметром d величина l d , а υ – скорость невозмущенной жидкости, т.е. ее скорость вдали перед цилиндром. Число Рейнольдса характеризует соотношение между силами инерции и силами трения в потоке жидкости.

Число Фруда Fr = 2 / gl , где υ – скорость жидкости вдали от обтекаемого ею тела, l – характерный линейный размер тела, g – ускорение силы тяжести. Число Фруда характеризует соотношение между силами инерции и силами тяжести в потоке жидкости. Оно играет важную роль при моделировании процессов, связанных с работой различных гидротехнических сооружений, движением корабля и т.п. При моделировании газовых потоков этот критерий подобия не играет сколько – либо существенной роли, так как ввиду малой плотности газов влиянием силы тяжести обычно можно пренебречь.

Число Струхаля является критерием подобия неустановившихся движений жидкости. Оно равно St = T /l, где υ – характерная скорость, l – характерный линейный размер, а Т – характерный интервал времени (например, для периодических движений Т – период).

Число Маха М = /c, где υ – скорость жидкости в рассматриваемой точке, с – скорость звука (в жидкости) в той же точке. Число М является мерой влияния сжимаемости жидкости на ее движение. В тех случаях, когда М « 1, жидкость можно считать несжимаемой. Движение сжимаемой называется дозвуковым, если М < 1, и сверхзвуковым, если М >1. Число М является основным критерием подобия для установившихся движений сжимаемой жидкости, совершающихся с большими скоростями.

116

Основными критериями подобия в случае стационарной теплоотдачи при свободной конвекции несжимаемой жидкости являются критерии Нуссельта Nu, Грасгофа Gr и Прандтля Pr, а в случае стационарной теплоотдачи при вынужденной конвекции – критерии Nu, Re и Pr. Часто применяется также критерий Пекле Ре = Re Pr.

Критерий Нуссельта: Nu l/ K,где α – коэффициент теплоотдачи, l – характерный размер, К – коэффициент теплопроводности жидкости.

Критерий Прандтля характеризует физические свойства жидкости. Он равен Pr / c/ K , где ν – кинематическая вязкость жидкости, а – ее коэффициент температуропроводности, η и с – динамическая вязкость и удельная теплоемкость жидкости (для газов с = ср).

3

Критерий Грасгофа: Gr at gl T , где at - термодина-

2

мический коэффициент расширяемости жидкости, ν - ее кинематическая вязкость, g – ускорение свободного падения, l - характерный размер, T - температурный напор, равный абсолютной величине разности между температурами жидкости и стенки.

10.2. Закон подобия для теплопередачи

Процессы теплопередачи в жидкости осложняются по сравнению с теплопередачей в твердых телах возможностью движения жидкости. Погруженное в движущуюся жидкость нагретое тело охлаждается значительно быстрее, чем в неподвижной жидкости, где теплопередача происходит только с помощью процессов теплопроводности. О движении неравномерно нагретой жидкости говорят как о конвекции.

Будем предполагать, что имеющиеся в жидкости разности температур достаточно малы для того, чтобы ее физические свойства можно было считать не зависящими от температур. С другой стороны, эти разности будут предполагаться

117

настолько большими, чтобы по сравнению с ними можно было пренебречь изменениями температуры, обусловленными выделением тепла, связанными с диссипацией энергии путем внутреннего трения. Тогда в уравнении может быть опущен член, содержащий вязкость

дТ v T T

дt

где χ = / cр - температуропроводность. Это уравнение вме-

сте с уравнением Навье-Стокса и уравнением непрерывности полностью описывает конвекцию в рассматриваемых условиях. Будем рассматривать стационарное конвективное движение1. Тогда все производные по времени выпадают, и мы получаем следующую систему основных уравнений:

В эту систему, в которой неизвестными функциями являются ν, Т и р/ρ, входят всего два постоянных параметра: ν и χ. Кроме того, решение этих уравнений зависит, через посредство граничных условий, еще от некоторого характерного параметра длины l, скорости U и характерной разности температур Т1 – Т0. Первые два определяют, как всегда, размеры фигурирующих в задаче твердых тел и скорость основного потока жидкости, а третий – разность температур между жидкостью и твердыми телами.

При составлении безразмерных величин из имеющихся в нашем распоряжении параметров возникает вопрос о том, какую размерность следует приписать температуре. Температура определяется вышеприведенным уравнением, являющимся линейным и однородным по Т. Поэтому температура может быть умножена без нарушения уравнений на произвольный

1 При стационарной конвекции, необходимо, чтобы в соприкасающихся с жидкостью твердых телах находились источники тепла, поддерживающие их при постоянной температуре.

118

постоянный множитель. Другими словами, единицы для изменения температуры могут быть выбраны произвольным образом. Возможность такого преобразования температуры может быть учтена формально посредством приписывания ей некоторой особой размерности, которая бы не входила в размерности остальных величин. Таковой является как раз размерность градуса – единицы, в которой температура обычно и измеряется.

Таким образом, конвекция характеризуется в рассматриваемых условиях пятью параметрами со следующими размерностями:

Из них можно составить две независимые безразмерные комбинации. В качестве таковых мы выберем число Рейнольдса R = Ul /vи число Прандтля, определяемое как отношение

P v/

Всякая другая безразмерная величина может быть выражена через R и Р.

Что касается числа Прандтля, то оно представляет собой просто некоторую материальную константу вещества и не зависит от свойств самого потока. У газов это число – всегда порядка единицы. Значения же Р для различных жидкостей лежат в более широком интервале. У очень вязких жидкостей Р может достигать очень больших значений. Приведем в качестве примера значения Р при 200 С для ряда веществ:

воздух………………………….0,733

вода……………………………6,75

спирт………………………….16,6

глицерин………………….......7250 ртуть………………….………0,044

Следовательно, в стационарном конвекционном потоке (заданного типа) распределение температуры и скорости имеет вид

Безразмерная функция, определяющая распределение температуры, зависит как от параметров от обоих чисел R и P;

119