Учебное пособие 1199

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

Кафедра прикладной математики и механики

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

к контрольной работе № 5 по математике для студентов специальности

24.05.07«Самолето- и вертолетостроение» заочной формы обучения

Воронеж 2018

УДК 519.61(07) ББК 22.183я7

Составители: канд. физ.-мат. наук А.П. Бырдин, канд. техн. наук А.А. Сидоренко, канд. физ.-мат. наук С.С. Сумера

Методическая разработка к контрольной работе № 5 по математике для студентов специальности 24.05.07 «Самолето- и вертолетостроение» заочной формы обучения / ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»; cост. А.П. Бырдин, А.А. Сидоренко, С.С. Сумера. – Воронеж, 2018. – 50 с.

Методическая разработка предназначена для студентов специальности 24.05.07 «Самолето- и вертолетостроение» заочной формы обучения и содержит рекомендации по выполнению контрольной работы по спецглавам математики раздела «Численные методы», программу курса с указанием литературы, описание применяемых численных методов, примеры решения задач и двадцать вариантов контрольных заданий.

Табл. 5. Ил. 4. Библиогр.: 6 назв.

УДК 519.61(07) ББК 22.183я7

Рецензент: канд. физ.-мат. наук, доц. В.И. Кузнецова

Печатается по решению учебно-методического совета Воронежского государственного технического университета

2

ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ

К ИЗУЧЕНИЮ КУРСА МАТЕМАТИКИ

Данные методические указания предназначены для

численным методам. Для успешного выполнения контрольной работы, а также последующей сдачи экзамена необходимо изучить теоретические вопросы (ссылки на учебную литературу даны в каждом вопросе) и ознакомиться с методами решения типовых задач, которые приводятся в этих методических указаниях.

При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется вписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т.д. Указанный курс разбит на темы и пункты, в которых указана литература, рекомендуемая для изучения.

Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь. В пособии [3] имеется большое количество решенных задач, с которыми студентам рекомендуется ознакомиться при изучении соответствующего материала.

После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества задач, рекомендуется воспроизвести по памяти определения, формулы, формулировки теорем. Необходимый минимум вопросов для самопроверки приведен на страницах 5 – 6.

Зачет контрольной работы преподавателем осуществляется при выполнении следующих требований:

3

правильном и подробном решении задач в контрольной работе;

умении достаточно быстро и без помощи пособий решать задачи, аналогичные задачам, предложенным в контрольной работе;

твердом знании основных формул и определений, перечисленных в вопросах для самопроверки.

Если в процессе изучения теоретического материала или при решении задач у студентов возникают вопросы, справиться

скоторыми самостоятельно не удается, то за помощью можно обратиться к преподавателю на консультации.

Выбор варианта контрольной работы студентом производится по двум последним цифрам номера студенческого билета в соответствии со следующей таблицей.

4

ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

При выполнении контрольных работ требуется строгое соблюдение указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, могут быть не зачтены.

1.Контрольная работа выполняется в тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля для замечаний рецензента.

2.На обложке контрольной работы должны быть ясно написаны фамилия и инициалы студента, шифр, название дисциплины, номер и вариант контрольной работы, адрес студента. В конце работы ставится дата ее выполнения и подпись.

3.В работу включаются все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту.

4.Решения задач располагаются в порядке возрастания их номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.

5.Условия задач приводятся полностью. Решения излагаются подробно и аккуратно, объясняются все действия по ходу решения и делаются необходимые чертежи.

6.После получения проверенной работы исправляются отмеченные рецензентом ошибки и выполняются все рекомендации рецензента.

ПРОГРАММА КУРСА «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ

«САМОЛЕТО- И ВЕРТОЛЕТОСТРОЕНИЕ»

(ПЯТЫЙ СЕМЕСТР)

1. Задача и способы аппроксимации функций [4, гл.1,

§1.1].

2.Интерполяционный многочлен Лагранжа [2, гл. XIV, §12], [3, гл. VII, § 1], [4, гл.1, § 1.2].

3.Конечные разности и их свойства [2, гл. XIV, §1-2], [4, гл. 1, § 1.4].

5

4. Интерполяционные формулы Ньютона [2, гл. XIV, §§ 5-6], [3, гл.VII, § 3], [4, гл. 1, § 1.5].

5.Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений [2, гл. VIII, § 1].

6.Метод итераций. Приведение линейной системы к

виду, удобному для итераций [2, гл. VIII, §§ 10 – 11], [3, гл. III, § 8].

7.Метод Зейделя [2, гл. VIII, §12], [3, гл. III, § 9].

8.Общая характеристика методов решения нелинейных уравнений [2, гл. IV, §§ 1-2], [3, гл. V, § 1].

9.Метод половинного деления [2, гл.IV, § 3], [3, гл.V, §

2].

10.Метод Ньютона [2, гл. IV, § 5], [3, гл. V, § 3].

11.Метод итерации [2, гл. IV, § 8] , [3, гл. V, § 5].

12.Приближенное дифференцирование. Постановка вопроса [2, гл.XV, § 1], [4, гл. 6, §§ 6.1-6.2].

13.Формулы численного дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона [2, гл. XV, § 2], [3, гл. VIII, §1].

14.Задача численного интегрирования.

Квадратурные формулы прямоугольников [2, гл. XVI, §§ 1-2], [3, гл. VIII, § 2], [4, гл. 5, §§ 5.1-5.2].

15.Квадратурные формулы трапеций и Симпсона [2, гл. XVI, §§ 3-4, 6-7], [3, гл. VIII, § 3], [4, гл. 5, §§ 5.3-5.4].

16.Принцип Рунге практического оценивания погрешно-стей [4, гл. 5, § 5.5].

17.Постановка задачи решения обыкновенных диффере-нциальных уравнений [4, гл. 7, § 7.1].

18.Метод Эйлера [3, гл. IX, §§ 1-3], [4, гл. 7, §§ 7.2-

7.4].

19.Методы Рунге-Кутта произвольного и четвертого поря-дков [3, гл. IX, § 4], [4, гл. 7, §§ 7.5-7.6].

20.Постановка задачи приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений [4, гл. 10, § 10.1].

6

21.Методы сведения краевых задач к начальным [4,

гл.10, § 10.2].

22.Метод конечных разностей [3, гл. IX, §6], [4, гл.10, §

10.3].

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

1.Дайте определение аппроксимации функции. Что такое полиномиальная аппроксимация?

2.Сформулируйте задачу интерполирования. Дайте определение локальной и глобальной интерполяции.

2.Запишите интерполяционный многочлен Лагранжа.

3.Запишите конечные разности различных порядков, выразите их через табличные значения функции.

4.Напишите первую и вторую интерполяционные формулы Ньютона.

5.Назовите прямые и приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

6.Сформулируйте достаточные условия сходимости метода итераций.

7.Назовите основные этапы решения нелинейных уравнений.

8.Сформулируйте алгоритм решения нелинейных уравнений методом половинного деления, покажите его графически.

9.Запишите формулу Ньютона для решения нелинейных уравнений, сформулируйте достаточные условия сходимости метода касательных. Как выбирается начальное приближение для этого метода?

10.Сформулируйте достаточные условия сходимости метода итераций.

11.Сформулируйте задачу численного дифференцирования.

7

12.Запишите формулы численного дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона.

13.Запишите квадратурные формулы численного интегри-рования: прямоугольников, трапеций и Симпсона. Дайте оценки погрешностей этих формул.

14.Запишите формулы Эйлера и Рунге-Кутта четвертого порядков для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

15.Сформулируйте задачу приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

16.Назовите методы приближенного решения краевых

задач.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Задача № 1

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ МНОГОЧЛЕНА НЬЮТОНА

Задание. Дана таблица значений функции y f (x) . Построить для этой функции интерполяционный многочлен Ньютона и с помощью его найти приближенное значение функции для заданного аргумента x.

8

9

Используя метод наименьших квадратов, подобрать для заданных значений x и y

1) линейную функцию y A0 A1x;

10