Учебное пособие 1199

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Задача № 1

Дана таблица значений функции y f (x) . Построить для этой функции интерполяционный многочлен Ньютона и с помощью его найти приближенное значение функции для заданного аргумента x 3.57.

Эти значения могут быть получены в результате расчета, эксперимента, опыта и т.д. Значения же функции в промежуточных точках неизвестны и их получение может быть связано с проведением сложных расчетов и экспериментов. В некоторых случаях даже при известной зависимости y f (x) ее использование в практических расчетах затруднительно из-за ее громоздкости (содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т.д.).

В связи с этим возникает задача о приближении (аппроксимации) функций: функцию f (x), заданную таблично или аналитически, аппроксимировать функцией(x), так, чтобы отклонение (x) от f (x) в заданной области было наименьшим. Функция (x) при этом называется аппроксими-рующей.

21

На практике очень важен случай аппроксимации функции многочленом

функции. В этом случае будем говорить о полиномиальной аппроксимации или кусочно-полиномиальной аппроксимации.

точечной. К ней относятся интерполирование, среднеквадратичное приближение и др.

При построении приближения на непрерывном множестве точек (например, на отрезке [a,b]), аппроксимация называется непрерывной (или интегральной).

Одним из основных типов точечной аппроксимации

Точки xi называются узлами интерполяции, а многочлен

(x)– интерполяционным многочленом. Близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что

22

используется для интерполяции функции f (x) на всем рассматриваемом интервале аргумента x. Коэффициенты ai

многочлена (3) находятся из системы уравнений (2). Построим теперь интерполяционный многочлен, единый

Прежде чем получить такие формулы, рассмотрим элементы конечных разностей.

Составим разности значений заданной функции:

y0 y1 y0 f (x0 h) f (x0),y1 y2 y1 f (x0 2h) f (x0 h),

.............................................................

yn 1 yn yn 1 f (x0 nh) f x0 (n 1)h .

Эти разности называются конечными разностями первого порядка функции. Из них, в свою очередь, таким же образом можно получить n 1 конечных разностей второго порядка, или вторых разностей:

Аналогично определяются разности III и IV и т.д. порядков. Разность порядка k определяется формулой:

k yi 1 k 1yi k 1yi 1,

где k 1,2,...,n и 0 yi yi .

В некоторых случаях требуется знать выражения конечных разностей непосредственно через значения функции.

23

Для нескольких первых порядков разностей их можно получить непосредственной подстановкой

y0 y1 y0 ;

2 y0 y1 y0 (y2 y1) (y1 y0 ) y2 2y1 y0;

3y0 2 y1 2 y0 ( y2 y1) ( y1 y0) y2 2 y1 y0

(y3 y2) 2(y2 y1) (y1 y0) y3 3y2 3y1 y0.

разных порядков удобно помещать в одну общую таблицу с узлами и значениями функции. Обычно используют горизонтальную таблицу или диагональную таблицу конечных разностей

Интерполяционный многочлен Ньютона для заданной функции имеет вид

где q x x0 . h

Интерполяционную формулу (4) обычно используют для вычисления значений функции в левой половине отрезка. Дело

в том, что разности k yi вычисляются через значения

24

При составлении таблицы конечных разностей ограничиваемся разностями третьего порядка, так как они практически постоянны. Поэтому в формуле Ньютона полагаем n 3. Приняв x0 3.50, y0 3.50, будем иметь:

P3(x) 33.115 1.698 q 0.087 q(q 1) 0.005 q(q 1)(q 2) 2 6

или

P3(x) 33.115 1.698q 0.0435q(q 1) 0.00083q(q 1)(q 2),

где q x 3.50 20(x 3.5). 0.05

Подставим в выражение для q вместо x значение x 3.57.

Получим q 20(3.57 3.5) 1.4.

25

Тогда,

P3(1.57) 33.115 1.698 1.4 0.0435 1.4 (1.4 1)

0.00083 1.4 (1.4 1) (1.4 2) 33.115 2.372 0.02436

0.000278 35.511.

Используя метод наименьших квадратов, подобрать для заданных значений x и y

ляция позволяет аппроксимировать таблично заданную

выполнение этого условия затруднительно или даже нецелесообразно. При большом числе узлов интерполяции степень интерполирующего многочлена получается высокой. Поэтому точность такой аппроксимации гарантирована лишь в небольшом интервале порядка несколько шагов сетки. Для другого интервала приходится заново вычислять коэффициенты интерполяционной формулы. В практических приложениях желательно иметь единую приближенную

26

может оцениваться по разному. В основу обычно берется рассмотренное отклонение

f (xi ) (xi ) (i 0,1,...,m ).

В связи с этим возникает задача приближения таблично заданной функции f (x) многочленом Pn(x), который имеет

не слишком высокую степень n m 1 и дает в некотором смысле разумную точность аппроксимации.

Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов. В методе наименьших квадратов за меру отклонения многочлена Pn(x) от функции f (x)

принимается их среднее квадратичное отклонение m

Pn(xi) yi 2 .

i0

i 0

коэффициенты A0, A1,...,An выступают в роли независимых переменных функции , то необходимым условием минимума

является равенство нулю всех частных производных ,

A0

, …, . Приравнивая к нулю эти частные производные

A1 An

получим систему уравнений

27

.........................................................................................

Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому эта система имеет единственное решение A0, A1,...,An .

Составим систему для определения A0, A1

28

Предварительно вычисляем

6

xk 0.5 1 1.5 2 2.5 3 10.5,

k1 6

xk2 0.25 1 2.25 4 6.25 9 22.75,

k1 6

yk 0.31 0.82 1.29 1.85 2.51 3.02 9.8,

k 1

6

xkyk 0.5 0.31 1 0.82 1.5 1.29 2 1.85 2.5 2.51 3 3.02 21.94. k 1

Следовательно, 6A0 10.5A1 9.8

10.5A0 22.75A1 21.94.

Решая эту систему, находим A0 и A1: A0 0.28,

A1 1.09.

Составим систему для определения A0, A1, A2

29

Предварительно вычисляем

6

xk 0.5 1 1.5 2 2.5 3 10.5,

k1 6

xk2 0.25 1 2.25 4 6.25 9 22.75,

k 1

6

xk3 0.125 1 3.375 8 15.625 27 55.125,

k1 6

xk4 0.0625 1 5.0625 16 39.0625 81 142.1875,

k 1

6

yk 0.31 0.82 1.29 1.85 2.51 3.02 9.8, k 1

6

xk yk 0.5 0.31 1 0.82 1.5 1.29 2 1.85 2.5 2.51 3 3.02 21.94,

k 1

6

xk2yk 0.25 0.31 1 0.82 2.251.29 4 1.85 6.25 2.51 9 3.02 54.0675.

k 1

30